高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲椭圆学案.doc

1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析章平面解析几何第几何第 5 5 讲椭圆学案讲椭圆学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 椭圆的概念在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a>0，c>0，且 a，c 为常数：(1)若 a>c，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x0 时，|OP|有最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x±a 时，|OP|有最大值a，P 点在长轴端点处(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 为斜边，a2b2c2.(3)已知过焦点 F1 的弦 AB，则ABF2 的周长为 4a.(4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为.(5)椭圆离心率 e.考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹2 / 17是椭圆( )(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形( )(3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成PF1F2 的周长为2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)( )(4)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( )(5)方程 mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲线是椭圆( )答案 (1)× (2) (3) (4)× (5)22017·浙江高考椭圆1 的离心率是( )A. B. C. D.5 9答案 B解析 椭圆方程为1，a3，c.e.故选 B.32018·广东模拟已知椭圆1(m>0)的左焦点为F1(4,0)，则 m( )A2 B3 C4 D9答案 B解析 由 4(m>0)m3，故选 B.4课本改编已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于，则椭圆 C 的方程是( )B.1A.1 D.1C.1 答案 D解析 依题意，设椭圆方程为1(a>b>0)，所以Error!解得 a29，b28.故椭圆 C 的方程为1.5椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m_.3 / 17答案 1 4解析 椭圆 x2my21 可化为 x21，因为其焦点在 y 轴上，所以 a2，b21，依题意知 2，解得 m.62018·上海联考若椭圆的方程为1，且此椭圆的焦距为 4，则实数 a_.答案 4 或 8解析 当焦点在 x 轴上时，10a(a2)22，解得a4；当焦点在 y 轴上时，a2(10a)22，解得 a8.板块二 典例探究·考向突破考向 椭圆的定义及标准方程 例 1 (1)2018·杭州模拟已知椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为( )B.y21A.1 D.1C.1 答案 A解析 由题意及椭圆的定义知 4a4，则 a，又，c1，b22，C 的方程为1，选 A.(2)设 F1，F2 分别是椭圆1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，|OM|3，则 P 点到椭圆左焦点的距离为_答案 4解析 连接 PF2，则 OM 为PF1F2 的中位线，|OM|3，|PF2|6.|PF1|2a|PF2|1064.触类旁通(1)在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数4 / 172a>|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系(2)待定系数法求椭圆方程，若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A>0，B>0，AB)【变式训练 1】 (1)2018·厦门模拟已知椭圆y21，F1，F2 为其两焦点，P 为椭圆上任一点则|PF1|·|PF2|的最大值为( )A6 B4 C2 D8答案 B解析 设|PF1|m，|PF2|n，则mn2a4，|PF1|·|PF2|mn24(当且仅当 mn2 时，等号成立)故选 B.(2)已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是 2，则椭圆 C 的方程是_答案 1解析 设椭圆 C 的方程为1(a>b>0)由题意知解得 a216，b212.所以椭圆 C 的方程为1.(3)2017·豫北六校联考设 F1，F2 分别是椭圆E：1(a>b>0)的左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，|AF1|3|F1B|，且|AB|4，ABF2 的周长为 16.则|AF2|_.答案 5解析 由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3.ABF2 的周长为 16，4a16，a4.则|AF1|AF2|2a8，|AF2|8|AF1|835.5 / 17考向 椭圆的几何性质 例 2 (1)2017·全国卷已知椭圆 C：1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.1 3答案 A解析 由题意知以 A1A2 为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 da，解得 ab，e 1(ba)2.故选 A.(2)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_答案 3 5解析 由题意知，2a2c2(2b)，即 ac2b，又c2a2b2，消去 b，整理得 5c23a22ac，即 5e22e30，解得 e或 e1(舍去)触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出 a，c 的值；二是由已知条件得出关于 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率【变式训练 2】 (1)2016·全国卷直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )6 / 17A. B. C. D.3 4答案 B解析 不妨设直线 l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b>0，c>0，则直线 l 的方程为 bxcybc0，由已知得×2b，解得 b23c2，又 b2a2c2，所以，即 e2，所以 e(e舍去)，故选 B.(2)2018·锦州模拟设椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230°，则 C 的离心率为_答案 33解析 在 RtPF2F1 中，令|PF2|1，因为PF1F230°，所以|PF1|2，|F1F2|.所以 e.考向 椭圆中的焦点三角形例 3 2018·××县校级月考椭圆y21 上的一点 P 与两焦点 F1，F2 所构成的三角形称为焦点三角形(1)求·的最大值与最小值；(2)设F1PF2，求证：SF1PF2tan.解 (1)设 P(x，y)，F1(，0)，F2(，0)，则·(x，y)·(x，y)x2y23x22.x20,4，x222,1·的最大值为 1，最小值为2.(2)证明：由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，在F1PF2 中，由余弦定理可得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|(1cos)，可得 4c24a22|PF1|·|PF2|(1cos)|PF1|·|PF2|，即有F1PF2 的面积S|PF1|·|PF2|sinF1PF2b2b2tantan.7 / 17触类旁通椭圆的焦点三角形：椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理以椭圆1(a>b>0)上一点 P(x0，y0)(y00)和焦点 F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的PF1F2 中，若F1PF2，则(1)|PF1|PF2|2a；(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|·cos；(3)SPF1F2|PF1|PF2|·sin，当|y0|b，即 P 为短轴端点时，SPF1F2 取最大值，为 bc；(4)焦点三角形的周长为 2(ac)；(5)当 P 为短轴端点时， 最大；(6)若焦点三角形的内切圆圆心为 I，延长 PI 交 F1F2 于点 Q，则，所以(e 为离心率)【变式训练 3】 (1)如图所示椭圆中，P 为椭圆上一点，F 为其一个焦点，PF 为直径的圆与长轴为直径的圆的关系为_答案 内切解析 设椭圆的方程为1(a>b>0)，F、F分别是椭圆的左、右焦点，作出以线段 PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆 x2y2a2，如图所示设 PF 中点为 M，连接 PF，OM 是PFF的中位线，可得|OM|PF|，即两圆的圆心距为|PF|根据椭圆定义，可得|PF|PF|2a，圆心距|OM|PF|(2a|PF|)a|PF|，即两圆的圆心距等于它们的半径之差，因此，以 PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆 x2y2a2 相内8 / 17切(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且.若PF1F2 的面积为 9，则 b_.答案 3解析 由题意知|PF1|PF2|2a，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，所以 2|PF1|PF2|4a24c24b2，所以|PF1|PF2|2b2，所以 SPF1F2|PF1|PF2|×2b2b29.所以 b3.考向 直线与椭圆的综合问题命题角度 1 弦的中点问题 例 4 2018·南昌模拟已知椭圆：x21，过点 P 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为( )B9xy50A9xy40 Dxy50C2xy20 答案 B解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆x21 上，所以两式相减得xx0，得(x1x2)(x1x2)0，又弦 AB 被点 P 平分，所以 x1x21，y1y21，将其代入上式得x1x20，得9，即直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB 的方程为 y9，即 9xy50.命题角度 2 弦长问题 例 5 2018·陕西咸阳模拟在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1(a>b>0)过点 P(2,1)，且离心率 e.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 的斜率为，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点求PAB面积的最大值9 / 17解 (1)e2，a24b2.又椭圆 C：1(a>b>0)过点 P(2,1)，1，a28，b22.故所求椭圆方程为1.(2)设 l 的方程为 yxm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error!整理，得 x22mx2m240.4m28m216>0，解得|m|b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 14椭圆离心率范围的求解技巧2018·衡中模拟F1，F2 是椭圆1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点 P，使F1PF290°，则椭圆的离心率的取值范围是_解题视点 将垂直问题转化为向量的数量积，再借助于椭圆本身的属性|x|a 破解解析 解法一：设 P(x0，y0)为椭圆上一点，则1.(cx0，y0)，(cx0，y0)，PF1若F1PF290°，则·xyc20.xb2c2，x.0xa2，01.b2c2，a22c2，eb>0)的焦点 F1，F2 的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部(不包括边界)，则此椭圆离心率的取值范围是( )B.A(0,1) (0，22)D.C. (1 2，22)答案 B解析 设椭圆1 的短轴的一个端点为 B，中心为 O，椭圆上任意一点为 M，过焦点 F1，F2 的两条互相垂直的直线的交点为 P，则点 P 在以 O 为圆心，|F1F2|为直径的圆上，且该圆的半径r|OP|F1F2|c(其中 c)，则由椭圆的性质及题意可得 rb>0)的一个焦点是圆 x2y26x80的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( )B(4,0)A(3,0) D(5,0)C(10,0) 答案 D解析 圆的标准方程为(x3)2y21，圆心坐标是(3,0)，c3.又 b4，a5.椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的左顶点为(5,0)故选 D.52018·黑龙江双鸭山模拟过椭圆1(a>b>0)的两个焦点作垂直于 x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.314答案 B解析 过椭圆的两个焦点作垂直于 x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，c，即aca2c2，e2e10，02，解得 0b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于_答案 22解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别代入椭圆方程相减得0，根据题意有 x1x22×12，y1y22×12，且，所以×0，得 a22b2，所以 a22(a2c2)，整理得a22c2，得，所以 e.14 / 179已知椭圆 C：1(a>b>0)的离心率为 e，其左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|2，设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求证：xx 为定值，并求该定值解 (1)c，e，a2，b2a2c21，则椭圆 C 的方程为y21.(2)证明：由于·，则 x1x24y1y2，xx16yy.而y1，y1，则 1y，1y，yy，则(4x)(4x)16yy，(4x)(4x)xx，展开得 xx4 为一定值102018·山东模拟已知椭圆 C：1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆 x2y21 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若斜率为 k 的直线过点 M(2,0)，且与椭圆 C 相交于 A，B 两点，试探讨 k 为何值时，OAOB.解 (1)依题意 b1，c1，所以 a22.所以椭圆 C 的方程为y21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 yk(x2)由消去 y 得(12k2)x28k2x8k220.所以 x1x2，x1x2.因为 OAOB，所以 x1x2y1y20.而 y1y2k2(x12)(x22)，所以 x1x2k2(x12)(x22)0，即(1k2)x1x22k2(x1x2)4k20，所以4k20，解得 k2，此时 >0，所以 k±.B 级 知能提升12018·湖南郴州设 e 是椭圆1 的离心率，且 e，则15 / 17实数 k 的取值范围是( )B.A(0,3) (3，16 3)D(0,2)C(0,3) 答案 C解析 当 k>4 时，c，由条件知；当 0b>c>0.由右椭圆1(x0)的焦点 F0 和左椭圆1(x0)的焦点 F1，F2确定的F0F1F2 叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆1(x0)的离心率的取值范围为( )B.A. (23，1)D.C. (0，33)答案 C解析 连接 F0F1、F0F2，根据“果圆”关于 x 轴对称，可得F1F0F2 是以 F1F2 为底边的等腰三角形，F0F1F2 是锐角三角形，16 / 17等腰F0F1F2 的顶角为锐角，即F1F0F2.由此可得|OF0|>|OF1|，|OF0|、|OF1|分别是椭圆1、1 的半焦距，c>，平方得 c2>b2c2，又b2a2c2，c2>a22c2，解得 3c2>a2，两边都除以 a2，得 3·2>1，解之得>.右椭圆1(x0)的离心率 e(0,1)，所求离心率 e 的范围为.故选 C.42017·北京高考已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(2，0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M，N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证：BDE 与BDN 的面积之比为 45.解 (1)设椭圆 C 的方程为1(a>b>0)，由题意得解得 c，所以 b2a2c21，所以椭圆 C 的方程为y21.(2)证明：设 M(m，n)，则 D(m,0)，N(m，n)，由题设知 m±2，且 n0.直线 AM 的斜率 kAM，故直线 DE 的斜率 kDE，所以直线 DE 的方程为 y(xm)，直线 BN 的方程为 y(x2)联立解得点 E 的纵坐标 yE.由点 M 在椭圆 C 上，得 4m24n2，所以 yEn.又 SBDE|BD|·|yE|BD|·|n|，SBDN|BD|·|n|，所以BDE 与BDN 的面积之比为 45.17 / 175已知过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C：y21 交于 P，Q 两点(1)若直线 l 的斜率为 k，求 k 的取值范围；(2)若以 PQ 为直径的圆经过点 E(1,0)，求直线 l 的方程解 (1)依题意，直线 l 的方程为 ykx2，由消去 y 得(3k21)x212kx90，令 (12k)236(3k21)>0，解得 k>1 或 k0，故直线 l 的方程为 yx2，综上，所求直线 l 的方程为 x0 或 yx2.