高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲双曲线知能训练轻松闯关文北师大版.doc

1 / 4【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析几何章平面解析几何 第第 7 7 讲双曲线知能训练轻松闯关文北师大版讲双曲线知能训练轻松闯关文北师大版1(2016·石家庄一模)已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4，0)， (4，0)，则双曲线的方程为( ) B.1A.1 D.1C.1 解析：选 A.已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4，0)，(4， 0)， 则 c4，a2，b212，双曲线方程为1，故选 A. 2(2015·高考福建卷)若双曲线 E：1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于( ) B9A11 D3C5 解析：选 B.由题意知 a3，b4，所以 c5.由双曲线的定义有 |PF1|PF2|3|PF2|2a6.所以|PF2|9. 3(2016·惠州调研)若双曲线1 的离心率为，则其渐近线的斜 率为( ) B±A±2 2D±C± 22 解析：选 B.因为双曲线1 的离心率为， 所以 e，解得， 所以其渐近线的斜率为±.故选 B. 4(2015·高考湖南卷)若双曲线1 的一条渐近线经过点 (3，4)，则此双曲线的离心率为( )B.A. 5 4D.C. 5 3 解析：选 D.由双曲线的渐近线过点(3，4)知， 所以. 又 b2c2a2，所以， 即 e21， 所以 e2，所以 e. 5(2015·高考四川卷)过双曲线 x21 的右焦点且与 x 轴垂直的 直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|( ) B2A. 3 D4C6 32 / 4解析：选 D.由题意知，双曲线 x21 的渐近线方程为 y±x，将 xc2 代入得 y±2，即 A，B 两点的坐标分别为(2，2)， (2，2)，所以|AB|4. 6(2016·太原模拟)已知 F1，F2 分别是双曲线1(a>0，b>0)的 左、右焦点，点 P 在双曲线右支上，且·()0(O 为坐标原点)， 若|F1P|F2P|，则该双曲线的离心率为( )A. B.6 32C. D.6 22 解析：选 A.设线段 PF1 的中点为 D，则·()·(2)0，所以 ，又因为点 O 为线段 F1F2 的中点，所以 ODPF2，所以 F1PPF2，所以|F1P|2|PF2|24c2， 又因为点 P 在双曲线的右支上，所以|F1P|PF2|2a，又因为 |F1P|PF2|，联立得 e2，所以 e，故选 A. 7已知双曲线1 的右焦点的坐标为(，0)，则该双曲线的渐近 线方程为_ 解析：依题意知()29a，所以 a4， 故双曲线方程为1， 则渐近线方程为±0.即 2x±3y0. 答案：2x3y0 或 2x3y0 8已知双曲线1 的一个焦点是(0，2)，椭圆1 的焦距等于 4，则 n_ 解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在 y 轴上，所以双曲线 的方程为1，即 a23m，b2m，所以 c23mm4m4，解得 m1.所以椭圆方程为x21，且 n>0，又椭圆的焦距为 4，所以 c2n14 或 1n4，解得 n5 或3(舍去) 答案：5 9(2015·高考湖南卷)设 F 是双曲线 C：1 的一个焦点若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心 率为_ 解析：不妨设 F(c，0)，PF 的中点为(0，b)由中点坐标公式可 知 P(c，2b)又点 P 在双曲线上， 则1，故5，即 e. 答案：5 10(2016·南昌模拟)过原点的直线 l 与双曲线 C：1(a>0，b>0)的左、右两支分别相交于 A，B 两点，F(，0)3 / 4是双曲线 C 的左焦点，若|FA|FB|4，·0，则双曲线 C 的方 程是_ 解析：如图所示，设双曲线的右焦点为 F2(，0)，连接 F2A，F2B， 由双曲线的对称性和·0 知四边形 AFBF2 为矩形，由 |FA|FB|4 得|FA|AF2|4，又因为|FA|AF2|2a，所以 |FA|2a，|F2A|2a，由|F2A|2|FA|2(2a)2(2a) 2(2)2，得 a22，b21，所以双曲线的方程为y21. 答案：y21 11已知椭圆 D：1 与圆 M：x2(y5)29，双曲线 G 与椭圆 D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 M 相切，求双曲线 G 的方 程 解：椭圆 D 的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5. 设双曲线 G 的方程为1(a>0，b>0)， 所以渐近线方程为 bx±ay0 且 a2b225， 又圆心 M(0，5)到两条渐近线的距离为 r3. 所以3，得 a3，b4， 所以双曲线 G 的方程为1. 1已知双曲线 x21 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线 右支上一点，则·的最小值为_ 解析：由已知可得 A1(1，0)，F2(2，0)，设点 P 的坐标为(x，y) (x1)，则·(1x，y)·(2x，y)x2x2y2，因 为 x21，所以·4x2x54，故当 x1 时，·有最小值 2. 答案：2 2(2016·湛江模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为 F(c，0) (1)若双曲线的一条渐近线方程为 yx 且 c2，求双曲线的方程； (2)以原点 O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交 点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率 解：(1)因为双曲线的渐近线方程为 y±x，所以 ab， 所以 c2a2b22a24， 所以 a2b22， 所以双曲线方程为1. (2)设点 A 的坐标为(x0，y0)， 所以直线 AO 的斜率满足·()1， 所以 x0y0， 依题意，圆的方程为 x2y2c2，4 / 4将代入圆的方程得 3yyc2， 即 y0c，所以 x0c， 所以点 A 的坐标为， 代入双曲线方程得1， 即 b2c2a2c2a2b2， 又因为 a2b2c2， 所以将 b2c2a2 代入式，整理得c42a2c2a40，3 4 所以 3840，所以(3e22)(e22)0， 因为 e1，所以 e， 所以双曲线的离心率为. 3直线 l：y(x2)和双曲线 C：1(a>0，b>0)交于 A，B 两点， 且|AB|，又 l 关于直线 l1：yx 对称的直线 l2 与 x 轴平行 (1)求双曲线 C 的离心率 e； (2)求双曲线 C 的方程 解：(1)设双曲线 C：1 过一、三象限的渐近线 l1：0 的倾 斜角为 . 因为 l 和 l2 关于 l1 对称，记它们的交点为 P，l 与 x 轴的交点为 M. 而 l2 与 x 轴平行，记 l2 与 y 轴的交点为 Q. 依题意有QPOPOMOPM. 又 l：y(x2)的倾斜角为 60°，则 260°， 所以 tan 30°. 于是 e211， 所以 e. (2)由于，于是设双曲线方程为1(k0)， 即 x23y23k2. 将 y(x2)代入 x23y23k2 中， 得 x23×3(x2)23k2. 化简得到 8x236x363k20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|x1x2| 2（x1x2）24x1x2 2×， 解得 k21.故所求双曲线 C 的方程为y21.