高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第三节二元一次不等式组与简单的线性规划问题教师用书理.doc

- 1 -第三节第三节 二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。2016，全国卷，16,5 分(线性规划的实际应用)2016，全国卷，13,5 分(求最优解)2015，全国卷，15,5 分(非线性规划求最值)2015，全国卷，14,5 分(求目标函数最值)2014，全国卷，9,5 分(求目标函数最值)线性规划问题是高考命题的热点，难度中等偏下，主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及数形结合的思想。微知识 小题练自|主|排|查1二元一次不等式(组)表示的平面区域- 2 -不等式表示区域AxByC>0不包括边界直线AxByC0直线AxByC0 某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2线性规划中的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如zx2y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。(1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直线不在区域内。(2)特殊点定域，在直线上方(下方)取一点，代入不等式成立，则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。特别地，当C0 时，常把原点作为测试点；当C0 时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点。微点提醒 1判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把AxByC>0 或AxByCkxb或ykxb则区域为直线AxByC0 上方。(2)若y0，则直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；若b0，则必有1 29 2BCAB，因为xy40 的斜率为1，所以直线kxy0 的斜率为 1，即k1。故选 A。【答案】 A考点二 求目标函数的最值多维探究角度一：线性目标函数的最值【典例 2】 (2016·全国卷)若x，y满足约束条件Error!则zx2y的最小值为_。【解析】 解法一：作出可行域，如图中阴影部分所示，由zx2y得yxz，作直线yx并平移，观察可知，当直线1 21 21 2经过点A(3,4)时，zmin32×45。解法二：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得zmin5。【答案】 5反思归纳 解决简单的线性规划问题的基本方法是图象法，即作出可行域后，要求目标函数zaxby的最值，先作出直线axby0，然后平行移动直线axby0，使它与可行域有公共点，可得到z的取值范围，则最值易得。在确定z的取值范围时应注意两点：一是斜率，即由zaxby(当b0 时)得l：yx ，在确定za bz b- 8 -的取值范围时，需要比较斜率k 与可行域边界的斜率的大小关系，从而确定直线l移动a b的范围；二是截距，即z的最值可由l在y轴上的截距来确定，但需要注意的是当b5C8b0，x，y满足约束条件Error!若z2xy的最小值为 1，则a( )A. B.1 21 3C1 D2解析 如图所示，目标函数z2xy在点(1，2a)处取得最小值，2×12a1，解得a 。1 2答案 A4(2015·全国卷)若x，y满足约束条件Error!则 的最大值为y x_。解析 作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1,3)处， 取得最大值 3。y x答案 35(2016·郑州模拟)已知实数x，y满足Error!设bx2y，若b的最小值为2，则b的最大值为_。解析 画出可行域，如图中阴影部分所示。由bx2y得，yx 。易知在点(a，a)处1 2b 2b取最小值，故a2a2，可得a2。在点(2，4)处b取最大值，于是b的最大值为2810。- 13 -答案 10微专题 巧突破破解含参变量的线性规划问题线性规划是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现。传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点。但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向：一方面将它与函数、方程、不等式、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起；另一方面在这些问题背景中引进参变量，变换设问角度，提高思维强度，增加题目难度。下面我们对线性规划中参变量的新情景设置给出深度分析，帮助同学们走出思维误区，正确求解线性规划问题。一、约束条件中设置的参变量不等式组中含有参变量是线性规划命题的新动向之一，由于不能明确可行域的形状，因此增加了解题时画图分析的难度。求解这类问题时要有全局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向。1制约可行域的形状【典例 1】 已知实数x，y满足Error!若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为 的5 4- 14 -直角三角形，则n的值是( )A B2 3 2C2 D.1 2【解析】 不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示。当直线xmyn0与直线x2y4 垂直时，m ，直线方程变为 2xy2n0，与x轴交点坐标为(n,0)，1 2与直线x2y4 交点的纵坐标为。此时三角形的面积为82n 5(4n)· ，解得n (n舍去)。当直线xmyn0 与x轴1 282n 54n2 55 43 213 2垂直或与直线xy1 垂直时，求出的值均不符合条件。故选 A。【答案】 A2制约目标函数的最值【典例 2】 设变量x，y满足约束条件Error!其中a>1，若目标函数zxy的最大值为 4，则a的值为_。【解析】 根据题意作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。令yxz，则z的几何意义是直线yxz的纵截距，则欲使z最大，只需使直线yxz的纵截距最大即可。因为a>1，所以直线xay7 的斜率大于1，于是当直线yxz经过直线y3x与直线xay7 的交点时，目标函数z取得最大(7 13a，21 13a)值，最大值为。由题意得4，解得a2。故填 2。28 13a28 13a- 15 -【答案】 2二、目标式中设置的参变量目标函数中设置参变量是线性规划命题的又一种新动向，旨在增加探索问题的动态性和开放性，考查考生的探究性思维能力。从目标函数的结论入手，对图形的动态分析和对变化过程中的相关量的准确定位是求解这类问题的主要思维方法。1求解目标式中的参数值【典例 3】 已知实数x，y满足约束条件Error!若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为_。【解析】 实数x，y满足约束条件表示的可行域如图所示，将zyax化成斜截式为yaxz，要使z取得最大值的最优解不唯一，则yaxz在平移过程中与直线xy20 重合或与直线 2xy20 重合，所以a1 或 2。故填1 或 2。【答案】 1 或 2【易错总结】 目标函数的最优解不唯一的问题，往往是指目标函数取得最值时所表示的直线过可行域中的一条边。据此，求解这类问题的方法可以让目标函数所表示的直线与可行域中的每条边界直线重合，从而求解。利用这种方法求解时，切记要进行检验，区分何时- 16 -取得最大值的最优解不唯一，何时取得最小值的最优解不唯一，不能出错。2探究目标式中的参数范围【典例 4】 已知点O是坐标原点，点A(1，2)，若点M(x，y)是平面区域Error!上的一个动点，·() 0 恒成立，则实数m的取OAOAMA1 m值范围是_。【解析】 因为(1，2)，(x，y)，所以OAOM·(O)·x2y。所以不等式·(OAAMAOAOMOAOA) 0 恒成立等价于x2y 0，即 x2y恒成MA1 m1 m1 m立。设zx2y，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数zx2y表示的直线经过点D(1,1)时取得最小值，最小值为 12×13；当目标函数zx2y表示的直线经过点B(1,2)时取得最大值，最大值为 12×25。所以x2y3,5，于是要使 x2y恒成立，只需1 m3，解得m 或m<0，即实数m的取值范围是(，0)。1 m1 31 3，)【答案】 (，0)1 3，)【易错总结】 目标函数以向量的形式出现是一种新的创意，本题易错点是面对目标中的向量关系不知道如何转化。求解线性规划问题的基本形式是探究二元目标函数的最值，因此转化向量关系的主要思路和基本目标就是找到其中对应的二元目标函数，然后结合可行域求解最值。高考中的线性规划问题，既继承了传统的由二元不等式组构成条件，探究二元目标函数最值 的基本形式，同时还赋予了创新的命题形式。变更题设条件或目标式中的线性关系为非线性 关系，同时渗透参变量的命题风格，增加了可行域条件的动态变化方式，转化了目标函数的 探求类型，提升了对问题探究的能力要求，这就要求同学们在面对这些全新的问题时要与时 俱进地进行创新分析，增加应变智慧，才能提升我们的解题能力。