高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列教师用书理.doc

- 1 -第六节第六节 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。2016，天津卷，16,13 分(古典概型、分布列、数学期望)2015，重庆卷，18,13 分(古典概型、分布列、数学期望)2015，山东卷，18,12 分(古典概型、分布列、数学期望)2013，全国卷，19,12 分(相互独立事件概率、分布列)1.以考查离散型随机变量的分布列及分布列性质的应用为主，常与期望、方差一起考查，另外超几何分布也是考查的热点；2.题型主要是解答题，解题时要求有较强的分析问题、解决问题的能力，要求会依据题设确定离散型随机变量的值及其相应概率。微知识 小题练自|主|排|查1随机变量的有关概念如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；若变量的所有值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。2离散型随机变量的分布列(1)概念若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2,3，n)的概率P(Xxi)pi，则称表Xx1x2xixnPp1p2pipn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列。(2)性质pi0，i1,2,3，n；i1。n i1p- 2 -3常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布X01P1pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率。(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN N*。Ck MCnkNM Cn NX01mPC0MCn0NM Cn NC1MCn1NM Cn NCm MCnmNM Cn N如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布。微点提醒 1某一变量为离散型随机变量满足的条件：(1)随着试验结果变化而变化；(2)所有取值可以一一列出。2离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各个值的概率。在求离散型随机变量的分布列时，可以用它的两条性质检验分布列的正误：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 23P68A 组 T2改编)设随机变量X的概率分布列为X1234P1 3m1 41 6则P(|X3|1)( )A. B.7 125 12C. D.1 41 6【解析】 根据概率分布的定义得出： m 1，得m ，随机变量X的概率分1 31 41 61 4布列为X1234- 3 -P1 31 41 41 6所以P(|X3|1)P(X4)P(X2)。故选 B。5 12【答案】 B2(选修 23P47例 2 改编)在含有 3 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，则取到次品数X的分布列为_。【解析】 由题意，X服从超几何分布，其中N10，M3，n4，所以分布列为P(Xk)，k0,1,2,3。Ck3·C4k7 C 4 10即X0123P1 61 23 101 30【答案】 X0123P1 61 23 101 30二、双基查验110 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是( )A取到产品的件数 B取到正品的概率C取到次品的件数 D取到次品的概率【解析】 对于 A 中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D 也是一个定值，而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2，是随机变量。故选 C。【答案】 C2设随机变量Y的分布列为Y123P1 4m1 4则“ Y ”的概率为( )3 27 2A. B.1 41 2C. D.3 42 3【解析】 因为 m 1，所以m ，1 41 41 2- 4 -所以PP(2)P(3) 。(3 2Y7 2)3 4【答案】 C3从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数，两数之和为X，则P(X5)_。【解析】 从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数，共有 6 种选法，基本事件空间(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，X3,4,5,6,7，所以P(X5) 。2 61 3【答案】 1 34从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为X012P【解析】 P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3。C2 2 C2 5C1 3·C1 2 C2 5C2 3 C2 5【答案】 0.1 0.6 0.3微考点 大课堂考点一 随机变量的概念【典例 1】 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义。(1)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数X；(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y。【解析】 (1)X可取 0,1,2。X0 表示所取的三个球没有白球；X1 表示所取的三个球是 1 个白球，2 个黑球；X2 表示所取的三个球是 2 个白球，1 个黑球。(2)X的可能取值有 2,3，12，Y的可能取值为 1,2,3，6。若以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则X2 表示(1,1)；X3 表示(1,2)，(2,1)；X4 表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；- 5 -X12 表示(6,6)。Y1 表示(1,1)；Y2 表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；Y3 表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；Y6 表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，(6,6)，(6,5)，(6,1)。反思归纳 所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件。写随机变量表示的结果，要看三个特征：可用数来表示；试验之前可以判断其可能出现的所有值；在试验之前不能确定值。【变式训练】 某校为学生定做校服，规定凡身高不超过 160 cm 的学生交校服费 80 元。凡身高超过 160 cm 的学生，身高每超过 1 cm 多交 3 元钱(不足 1 cm 时按 1 cm 计)。若学生应交的校服费为，学生身高用表示，则和是否为离散型随机变量？【解析】 由于该校的每一个学生对应着唯一的身高，并且取整数值(不足 1 cm 按 1 cm 计)，因此是一个离散型随机变量。而Error!所以也是一个离散型随机变量。【答案】 是离散型随机变量考点二 随机变量的性质【典例 2】 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X101P1 212qq2则q等于( )A1 B1±22C1 D12222(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求|X1|的分布列。【解析】 (1)由分布列的性质知Error!所以q1。22(2)由分布列的性质，- 6 -知 0.20.10.10.3m1，m0.3。列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3。因此|X1|的分布列为：0123P0.10.30.30.3【答案】 (1)C (2)见解析反思归纳 利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数。【变式训练】 随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_。【解析】 由题意知Error!则 2b1b，则b ，ac ，1 32 3所以P(|X|1)P(X1)P(X1)ac 。2 3【答案】 2 3考点三 求离散型随机变量的分布列【典例 3】 (2016·天津高考)某小组共 10 人，利用假期参加义工活动。已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4。现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会。(1)设A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望。【解析】 (1)由已知，有P(A) 。C1 3C1 4C2 3 C 2 101 3所以，事件A发生的概率为 。1 3- 7 -(2)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2。P(X0)，C2 3C2 3C2 4 C 2 104 15P(X1)，C1 3C1 3C1 3C1 4 C 2 107 15P(X2)。C1 3C1 4 C 2 104 15所以，随机变量X的分布列为X012P4 157 154 15随机变量X的数学期望E(X)0×1×2×1。4 157 154 15【答案】 (1) (2)见解析1 3反思归纳 求离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列。求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识。【变式训练】 (2016·广西质检)某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品，小于 82 为次品，现随机抽取这两种产品各 100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)94,100产品A81240328产品B71840296(1)试分别估计产品A、产品B为正品的概率；(2)生产一件产品A，若是正品可盈利 80 元，次品则亏损 10 元；生产一件产品B，若是正品可盈利 100 元，次品则亏损 20 元，在(1)的前提下，记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列。【解析】 (1)产品A为正品的概率约为 。40328 1004 5产品B为正品的概率约为 。40296 1003 4(2)随机变量X的所有取值为 180,90,60，30。P(X180) × ；4 53 43 5- 8 -P(X90) × ；1 53 43 20P(X60) × ；4 51 41 5P(X30) × 。1 51 41 20所以随机变量X的分布列为：X180906030P3 53 201 51 20【答案】 (1)产品A、B为正品概率分别为 ，4 53 4(2)见解析考点四 超几何分布母题发散【典例 4】 (2015·重庆高考改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同。从中任意选取 3 个。(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列。【解析】 (1)令A表示事件“三种粽子各取到 1 个” ，则由古典概型的概率计算公式有P(A) 。C1 2C1 3C1 5 C 3 101 4(2)X的所有可能值为 0,1,2，且P(X0)，P(X1)，C3 8 C 3 107 15C1 2C2 8 C 3 107 15P(X2)。C2 2C1 8 C 3 101 15综上知，X的分布列为X012P7 157 151 15【答案】 (1) (2)见解析1 4【母题变式】 若本典例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列。【解析】 由题意知X的所有可能值为 1,2,3，且P(X1)，C3 3C3 5 C 3 10110 12011 120- 9 -P(X3) ，C1 2C1 3C1 5 C 3 1030 1201 4P(X2)1P(X1)P(X3)1。11 12030 12079 120综上可知，X的分布列为X123P11 12079 1201 4反思归纳 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数。超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布。超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型。【拓展变式】 (2017·衡水模拟)PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的可入肺颗粒物。根据现行国家标准，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标。从某自然保护区某年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数311113(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽取 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率。(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数，求的分布列。【解析】 (1)记“10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)。C1 3·C2 7 C 3 1021 40(2)依据条件，服从超几何分布，其中N10，M3，n3，且随机变量可能取值为 0,1,2,3。P(k)(k0,1,2,3)，Ck3·C3k7 C 3 10所以P(0)，P(1)，C0 3C3 7 C 3 107 24C1 3C2 7 C 3 1021 40- 10 -P(2)，P(3)。C2 3C1 7 C 3 107 40C3 3C0 7 C 3 101 120因此的分布列为0123P7 2421 407 401 120【答案】 (1) (2)见解析21 40微考场 新提升1(2017·郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3,4)，则i 2aP(2X4)等于( )A. B.9 107 10C. D.3 51 2解析 由分布列的性质得1，则a5。所以，P(2X4)P(X3)1 2a2 2a3 2a4 2aP(X4)。3 104 107 10答案 B2某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( )A0.28 B0.88C0.79 D0.51解析 P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79。答案 C3(2016·邢台模拟)袋中装有编号为 1 的球 5 个，编号为 2 的球 3 个，这些球的大小完全一样。(1)从中任意取出四个，求剩下的四个球都是 1 号球的概率。(2)从中任意取出三个，记为这三个球的编号之和，求随机变量的分布列。解析 (1)记“任意取出四个，剩下的四个球都是 1 号球”为事件A，则P(A)C3 3C1 5 C4 8- 11 -。1 14(2)的可能取值为 3,4,5,6，则P(3)，P(4)。C3 5 C3 810 565 28C2 5C1 3 C3 830 5615 28P(5)，P(6)。C1 5C2 3 C3 815 56C3 3 C3 81 56概率分布列如下：3456P5 2815 2815 561 56答案 (2)见解析1 144某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 300 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球，1 个黄球，1 个白球和 1 个黑球。顾客不放回地每次摸出 1 个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止。规定摸到红球奖励 10 元，摸到白球或黄球奖励 5 元，摸到黑球不奖励。(1)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率；(2)记X为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列。解析 (1)设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件A，则P(A) ，A2 3 A3 41 4故 1 名顾客摸球 3 次停止摸球的概率为 。1 4(2)随机变量X的所有取值为 0,5,10,15,20。P(X0) ，P(X5) ，1 42 A2 41 6P(X10) ，1 A2 4A2 2 A3 41 6P(X15) ，C1 2·A2 2 A3 41 6P(X20) 。A3 3 A4 41 4所以，随机变量X的分布列为X05101520P1 41 61 61 61 4- 12 -答案 (1) (2)见解析14