高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案.doc

1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数章函数导数及其应用第及其应用第 3 3 讲函数的奇偶性与周期性学案讲函数的奇偶性与周期性学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 函数的奇偶性考点 2 函数的周期性1周期函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期必会结论1函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(4)在公共定义域内有：奇±奇奇，偶±偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇2周期性的三个常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a；(2)若 f(xa)，则 T2a；(3)若 f(xa)，则 T2a.(a>0)2 / 143对称性的三个常用结论(1)若函数 yf(xa)是偶函数，即 f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称；(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称；(3)若函数 yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )(3)函数 y既是奇函数又是偶函数( )(4)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x)，则 f(2018)2018.( )答案 (1)× (2) (3)× (4)×22017·北京高考已知函数 f(x)3xx，则 f(x)( )A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数答案 A解析 函数 f(x)的定义域为 R，f(x)3xxx3xf(x)，函数 f(x)是奇函数函数 yx 在 R 上是减函数，函数 yx 在 R 上是增函数又y3x 在 R 上是增函数，函数 f(x)3xx 在 R 上是增函数故选 A.3课本改编如果 f(x)是定义在 R 上的奇函数，那么下列函3 / 14数中，一定为偶函数的是( )Byxf(x)Ayxf(x) Dyx2f(x)Cyx2f(x) 答案 B解析 设 g(x)xf(x)因为 f(x)f(x)，所以 g(x)xf(x)xf(x)，所以 g(x)g(x)，所以 B 正确4课本改编若函数 f(x)ax2bx3ab 是偶函数，定义域为a1,2a，则 a_，b_.答案 0解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a12a，解得 a.又函数 f(x)x2bxb1 为偶函数，所以二次函数的对称轴0，易得 b0.52016·四川高考若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 00，则 x 的取值范围是_答案 (1,3)解析 f(2)0，f(x1)>0，f(x1)>f(2)，又f(x)是偶函数，f(|x1|)>f(2)，又 f(x)在0，)上单调递减，|x1|0 时，f(x)x2x，则当 x0，故 f(x)x2xf(x)；当 x0 时，x0 时，f(x)2x23x1，求 f(x)的解析式解 当 x0，则 f(x)2(x)23(x)6 / 1412x23x1.由于 f(x)是奇函数，故 f(x)f(x)，所以当 xf(a)，则实数 a 的取值范围是( )A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)答案 C解析 f(x)是奇函数，当 xf(a)，得 2a2>a，解得2f()，则 a 的取值范围是_9 / 14解题视点 由已知可得出 f(x)在(0，)上单调递减，且f()f()，利用单调性将 f(2|a1|)>f()转化为 2|a1|f()故有 2|a1|0 时，f(x)x38，则x|f(x2)>0( )Ax|22Bx|04Cx|x2答案 B解析 当 x2 时，有 f(2)0，又因为 f(x)为奇函数，所以f(2)0，作出 f(x)的大致图象，由图象可知，当22，即 04 时，有 f(x2)>0.故选 B.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标12018·合肥质检下列函数中，既是偶函数，又在(0，)上单调递增的函数是( )By|x|1Ayx3 Dy2|x|Cyx21 10 / 14答案 B解析 因为 yx3 是奇函数，y|x|1，yx21，y2|x|均为偶函数，所以 A 错误；又因为 yx21，y2|x|x|在(0，)上均为减函数，只有 y|x|1 在(0，)上为增函数，所以 C，D 两项错误，只有B 正确22018·南宁模拟设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )Bf(x)|g(x)|是奇函数Af(x)g(x)是偶函数 D|f(x)g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是奇函数 答案 B解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故 f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数故选 B.32017·齐鲁名校模拟已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2xm，则 f(2)( )B A3 D3C. 答案 A解析 因为 f(x)为 R 上的奇函数，所以 f(0)0，即 f(0)20m0，解得 m1，则 f(2)f(2)(221)3.4已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递减，则满足不等式 f(2x1)>f 成立的 x 的取值范围是( )B.A. (1 3，4 3)D.C. 1 3，4 3)答案 B解析 因为偶函数 f(x)在区间0，)上单调递减，所以 f(x)在区间(，0上单调递增，若 f(2x1)>f，则0，f(x)x(1x)，那么x0，f(x)(x)(1x)又f(x)f(x)，f(x)x(1x)62018·贵阳模拟已知函数 f(x)x3sinx1(xR)，若f(a)2，则 f(a)的值为( )B0 A3 D2C1 答案 B解析 设 F(x)f(x)1x3sinx，显然 F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以 F(a)f(a)11，从而 f(a)0.故选 B.72018·德州模拟设偶函数 f(x)在(0，)上为增函数，且 f(1)0，则不等式>0 的解集为( )B(，1)(0,1)A(1,0)(1，) D(1,0)(0,1)C(，1)(1，) 答案 A解析 由>0，可得>0，即>0，当 x0 时，f(x)>0，即 f(x)>f(1)，解得 x>1.故不等式>0 的解集为(1,0)(1，)82017·全国卷已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则 f(2)_.答案 12解析 令 x>0，则x0)f(2)2×232212.f(2)f(2)2×(2)3(2)212.解法二：92017·豫东十校联考若 f(x)a 是奇函数，则a_.答案 1 2解析 依题意得 f(1)f(1)0，由此得aa0，解得a.102018·衡水模拟已知 yf(x)x2 是奇函数，且 f(1)1，若 g(x)f(x)2，则 g(1)_.答案 1解析 yf(x)x2 是奇函数，且 f(1)1，f(1)(1)2f(1)12，f(1)3.因此 g(1)f(1)21.B 级 知能提升12018·金版创新已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数，若函数 f(x2016)为偶函数，且 f(x)对任意 x1，x22016，)(x1x2)，都有f(2018)>f(2019)又因为 f(x2016)为偶函数，所以 f(x2016)13 / 14f(x2016)，所以 f(22016)f(22016)，即 f(2014)f(2018)，所以 f(2017)>f(2014)>f(2019)故选 A.2若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)g(x)ex，则 g(x)( )B.(exex)Aexex D.(exex)C.(exex) 答案 D解析 由 f(x)g(x)ex，可得 f(x)g(x)ex.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得 f(x)g(x)ex，则两式相减，可得 g(x).选 D.32018·苏州模拟定义在 R 上的偶函数 f(x)满足f(x2)·f(x)1 对于 xR 恒成立，且 f(x)>0，则 f(119)_.答案 1解析 f(x2)，f(x4)f(x)，周期 T4，f(119)f(3)令 x1，f(1)f(1)1，f(1)1，f(3)1.4已知奇函数 f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足 f(1m)f(1m2)m21，解得2<m<1.综合可知1m1.即实数 m 的取值范围是1,1)52018·大同检测函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对任意 x1，x2D，有 f(x1·x2)f(x1)f(x2)14 / 14(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)<2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解 (1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1·x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令 x1x21，有 f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令 x11，x2x，有 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有 f(4×4)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)<2f(|x1|)<f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数，0<|x1|<16，解之得15<x<17 且 x1.x 的取值范围是(15,1)(1,17)