高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题4三角函数与平面向量第19练平面向量中的线性问题文.doc

1 / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 4 4 三角函数与平面向量第三角函数与平面向量第 1919 练平练平面向量中的线性问题文面向量中的线性问题文题型分析·高考展望 平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性” ，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键体验高考体验高考1(2015·课标全国)设 D 为ABC 所在平面内一点，3，则( )A. B.4 3ACC.D.1 3AC答案 A解析 3，3()，即 43，.2(2016·课标全国甲)已知向量 a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则 m 等于( )A8 B6 C6 D8答案 D解析 由题知 ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)·b0，2 / 11即 4×3(2)×(m2)0，解之得 m8，故选 D.3(2016·山东)已知非零向量 m，n 满足4|m|3|n|，cosm，n.若 n(tmn)，则实数 t 的值为( )A4 B4 C. D9 4答案 B解析 n(tmn)，n·(tmn)0，即 tm·n|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20，又 4|m|3|n|，t×|n|2×|n|20，解得 t4，故选 B.4(2015·北京)在ABC 中，点 M，N 满足2，.若xy，则x_；y_.答案 1 6解析 1 2CB()，x，y.高考必会题型高考必会题型题型一 平面向量的线性运算及应用例 1 (1)在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且3，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若x(1x)，则 x 的取值范围是( )A. B.(0，1 3)C. D.(1 3，0)3 / 11(2)已知在ABC 中，D 是 AB 边上的一点，若2，则_.答案 (1)D (2)2 3解析 (1)设y，COyy()y(1y).3，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，y，x(1x)，xy，x.(2)因为2，所以()，所以 .点评 平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(3)(， 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1.变式训练 1 (1)如图，两块全等的直角边长为 1 的等腰直角三角形拼在一起，若k，则 k 等于( )A1B22C2 D.2(2)在ABC 中，0，a，b.若ma，nb，CGPQH，2，则_.答案 (1)A (2)64 / 11解析 (1)根据向量的基本定理可得，()AD() ()·，所以 ，k1，所以 k1.故选 A.(2)由0，知点 G 为ABC 的重心，取 AB 的中点 D(图略)，则()，由 P，H，Q 三点共线，得1，则6.题型二 平面向量的坐标运算例 2 (1)已知点 A(3,0)，B(0，)，点 O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且AOC30°，则实数 的值为_答案 1解析 由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30°，知xOC150°，tan 150°，即，1.(2)平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：求满足 ambnc 的实数 m，n；若(akc)(2ba)，求实数 k；若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|，求 d.解 由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，得Error!akc(34k,2k)，2ba(5,2)，5 / 11(akc)(2ba)，2×(34k)(5)(2k)0，k.设 d(x，y)，则 dc(x4，y1)，ab(2,4)，由题意得Error!解得或d(3，1)或 d(5,3)点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1y2x2y10；若 ab(a0)，则 ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则变式训练 2 (1)如图所示，在ABC 中，D 为 AB 的中点，F 在线段CD 上，设a，b，Axayb，则的最小值为( )A82B8C6 D622(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C 能构成三角形，则实数 m 满足的条件是_答案 (1)B (2)m1 2解析 (1)因为点 D 为 AB 的中点，所以2，因为xayb，所以2xy.因为点 F 在线段 CD 上，所以 2xy1，又 x，y0，所以(2xy)(1 x2 y)6 / 114428，当且仅当 y2x时取等号，所以的最小值为 8.(2)因为(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，OC所以(3,1)，(m1，m)由于点 A、B、C 能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得 m，故当点 A、B、C 能构成三角形时，实数 m 满足的条件是 m.高考题型精练高考题型精练1设 a 是非零向量， 是非零实数，下列结论中正确的是( )Aa 与 a 的方向相反Ba 与 2a 的方向相同C|a|a|D|a|a答案 B解析 对于 A，当 0 时，a 与 a 的方向相同，当 0 时，a与 a 的方向相反，B 正确；对于 C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a 是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小2设点 M 是ABC 所在平面上的一点，且0，点 D 是 AC 的中点，则的值为( )A. B.1 27 / 11C1 D2答案 A解析 D 是 AC 的中点，延长 MD 至 E，使得 DEMD，四边形 MAEC 为平行四边形，()0，()3，故选 A.3已知点 A(3,0)，B(0,2)，点 O 为坐标原点，点 C 在AOB 内，|OC|2，且AOC，设(R)，则 的值为( )A1 B. C. D.2 3答案 D解析 过点 C 作 CEx 轴于点 E(图略)由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故 .4在四边形 ABCD 中，a2b，4ab，5a3b，则四边形 ABCD 的形状是( )A矩形B平行四边形C梯形D以上都不对答案 C解析 由已知，得8a2b8 / 112(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形 ABCD 是梯形5设向量 a，b 满足|a|2，b(2,1)，则“a(4,2)”是“ab”成立的( )A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件答案 C解析 若 a(4,2)，则|a|2，且 ab 都成立；ab，设 ab(2，)，由|a|2，知42220，24，±2，a(4,2)或 a(4，2)因此“a(4,2)”是“ab”成立的充分不必要条件6在四边形 ABCD 中，ABCD，AB3DC，点 E 为 BC 的中点，则等于( )A.B.2 3ADC.D.5 6AD答案 A解析 ，AE1 2(AD23AB) .7给出下列命题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则是四边形 ABCD 为平行四边9 / 11形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；若 ab，bc，则 ac.其中正确命题的序号是( )A B C D答案 A解析 方向不一定相同；方向可能相反；若 b0，则不对8在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若5e1，3e2，则_.(用 e1，e2 表示)答案 (5e13e2)解析 在矩形 ABCD 中，因为点 O 是对角线的交点，所以()()(5e13e2)9在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点，若，则 _.答案 4 5解析 依题意得，AM1 4AB，.AN又，于是有(AB12BC).10 / 11又与不共线，因此有Error!由此解得 ，2，所以 .10.已知点 G 是ABC 的外心， ， ，是三个单位向量，且 20，如图所示，ABC 的顶点 B，C 分别在x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动，点 O 是坐标原点，则|的最大值为_答案 2解析 因为点 G 是ABC 的外心，且 20，所以点 G 是 BC 的中点，ABC 是直角三角形，且BAC 是直角又， ，是三个单位向量，所以 BC2，又ABC 的顶点 B，C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动，所以点 G 的轨迹是以原点为圆心、1 为半径的圆弧又|1，所以当 OA 经过 BC 的中点 G 时，|取得最大值，且最大值为 2|2.11设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.CB(1)求证：A，B，D 三点共线；(2)若3e1ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值(1)证明 由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又与有公共点 B，A，B，D 三点共线(2)解 由(1)可知e14e2，3e1ke2，且 B，D，F 三点共线， (R)，即 3e1ke2e14e2，得解得 k12.12已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.11 / 11(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当 t11 时，不论 t2 为何实数，A，B，M 三点都共线；(3)若 t1a2，求当且ABM 的面积为 12 时，a 的值(1)解 t1t2ABt1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点 M 在第二或第三象限时，有Error!故所求的充要条件为 t2<0 且 t12t20.(2)证明 当 t11 时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，AM又与有公共点 A，不论 t2 为何实数，A，B，M 三点共线(3)解 当 t1a2 时，(4t2,4t22a2)又(4,4)，4t2×4(4t22a2)×40，t2a2，故(a2，a2)|4，点 M 到直线 AB：xy20 的距离d|a21|.SABM12，|AB|·d×4×|a21|12，解得 a±2，故所求 a 的值为±2.