高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算学案.doc

1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 4 4 章平面向量章平面向量第第 1 1 讲平面向量的概念及其线性运算学案讲平面向量的概念及其线性运算学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量考点 2 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ab bb ba a；结合律：(a ab b)c ca a(b bc c)减法求a a与b b的相反向量b b的和的运算a ab ba a(b b)续表向量运定义法则(或几何意义)运算律2 / 13算数乘求实数与向量a a的积的运算|a a|a a|，当0 时，a a与a a的方向相同；当0 时，a a与a a的方向相反；当0 时，a a0(a a)()a a；()a aa aa a；(a ab b)a ab b考点 3 共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使ba.必会结论1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则()考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小( )(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量( )(3).( )(4)向量 ab 与 ba 是相反向量( )(5)向量与向量是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上( )(6)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立( )答案 (1) (2)× (3) (4) (5)× (6)2课本改编如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( )B.A. AC3 / 13D.0C. 答案 C解析 由，故 C 错误3课本改编设 P 是ABC 所在平面内的一点，2，则( )B.0A.0 D.0C.0 答案 B解析 2，P 为 AC 的中点，0.选 B.42018·温州模拟已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量ab 与(b3a)共线，则 _.答案 1 3解析 设 abk(b3a)3kakb，13k，且k，.52015·北京高考在ABC 中，点 M，N 满足2，.若xy，则 x_；y_.答案 1 6解析 由题中条件得()xy，所以x，y.板块二 典例探究·考向突破考向 平面向量的概念例 1 给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则，则 ABCD 为平行四边形；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；已知 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中真命题的序号是_4 / 13答案 解析 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误，若 b0，则 a 与 c 不一定共线正确，因为，所以|且；又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形错误，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件错误，当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足ab，但 a 与 b 不一定共线故填.触类旁通对于向量的概念应注意的问题(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也可以用坐标表示(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的【变式训练 1】 设 a0 为单位向量，下列命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|·a0；若 a 与 a0 平行，则a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.假命题的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方5 / 13向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.考向 平面向量的线性运算命题角度 1 向量加减法的几何意义例 2 2017·全国卷设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则( )B|a|b|Aab D|a|b|Cab 答案 A解析 解法一：|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22a·ba2b22a·b.a·b0.ab.故选 A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD 中，设a，b，由|ab|ab|知|，从而四边形 ABCD 为矩形，即 ABAD，故 ab.故选 A.命题角度 2 向量的线性运算例 3 2015·全国卷设 D 为ABC 所在平面内一点，3，则( )B.A. AC4 3D.C. AC1 3答案 A解析 ().故选 A.AB命题角度 3 利用向量的线性运算求参数6 / 13例 4 2018·唐山模拟在直角梯形 ABCD 中，A90°，B30°，AB2，BC2，点 E 在线段 CD 上，若，则 的取值范围是_答案 01 2解析 由题意可求得 AD1，CD，所以2.点 E 在线段 CD 上，(01)，又2，1，即 .01，0.触类旁通平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解考向 共线向量定理的应用例 5 设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D 三点共线；(2)若3e1ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值解 (1)证明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，2.又与有公共点 B，A，B，D 三点共线7 / 13(2)由(1)可知e14e2，3e1ke2，且 B，D，F 三点共线，(R)，即 3e1ke2e14e2，得解得 k12.触类旁通怎样用向量证明三点共线问题两向量共线且有公共点(起点相同或终点相同，或一个向量的起点是另一个向量的终点)，则可以得到三点共线；反之由三点共线也可得到向量共线【变式训练 2】 已知 O，A，B 是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若 mn1，求证：A，P，B 三点共线；(2)若 A，P，B 三点共线，求证：mn1.证明 (1)若 mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点 B，A，P，B 三点共线(2)若 A，P，B 三点共线，存在实数 ，使，()又mn.故有 m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B 不共线，不共线，mn1.核心规律1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一8 / 13些有关的结论2.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量 a 与 b 共线是指 a 与 b 所在的直线平行或重合3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式 ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置满分策略1.两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点2.零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系向量与是共线向量，但 A，B，C，D 四点不一定在一条直线上4.向量共线的充要条件中要注意“a0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列 6向量线性运算中的易错点2018·铁岭模拟已知ABC 和点 M 满足0.若存在实数m 使得m 成立，则 m( )A2 B3 C4 D5错因分析 本题主要考查向量的有关运算以及向量运算的几何意义求解该题时容易出现两个问题：一是不能根据0 分析出点 M 与ABC 之间的关系；二是不能灵活利用三角形的性质和向量运算的几何意义找出，与之间的关系解析 解法一：由0，知点 M 为ABC 的重心，设点 D 为边 BC 的中点，则由向量加法，可知2.由重心的性质，可知|，9 / 13而且与同向，故，所以×()()，所以3，m3.故选 B.解法二：由已知得m，又，3m，m3.故选 B.答案 B答题启示 进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基底或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.跟踪训练在ABC 中，点 D 在边 CB 的延长线上，且4rs，则 sr等于( )A0 B. C. D3答案 C解析 因为4，所以.又因为，所以()，所以rs，sr.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标12018·南京模拟对于非零向量 a，b， “ab0”是“ab”的( )B必要不充分条件A充分不必要条件 D既不充分也不必要条件C充分必要条件 答案 A解析 若 ab0，则 ab，所以 ab；若 ab，则ab，ab0 不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件故选 A.10 / 132已知 O，A，B，C 为同一平面内的四个点，若 20，则向量等于( )BA. OB2 3D2C2 OB答案 C解析 因为，所以 22()()20，所以2.故选 C.32018·嘉兴模拟已知向量 a 与 b 不共线，且ab，ab，则点 A，B，C 三点共线应满足 ( )A2 B1 C1 D1答案 D解析 若 A，B，C 三点共线，则k，即 abk(ab)，所以 abkakb，所以 k,1k，故 1.故选 D.4设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则( )A. B. C. D.BC1 2答案 A解析 ()()().故选 A.5在四边形 ABCD 中，a2b，4ab，5a3b，则四边形 ABCD 的形状是( )B平行四边形A矩形 D以上都不对C梯形 答案 C解析 由已知得，a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形 ABCD 是梯形故选 C.6.2018·北京海淀期末如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 的中点，若，则 的值为( )11 / 13BA. 1 2D1C1 答案 A解析 因为 E 为 DC 的中点，所以，即，所以 ，1，所以 .故选 A.72018·绵阳模拟在等腰梯形 ABCD 中，2，M 为 BC 的中点，则( )B.A. AD1 2D.C. AD3 4答案 B解析 因为2，所以2.又 M 是 BC 的中点，所以()().故选 B.8若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC 的形状为_答案 直角三角形解析 因为2，所以|，即·0，故，ABC 为直角三角形92018·江苏模拟设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2 为实数)，则 12 的值为_答案 1 2解析 ()，12，1，2，故 12.10ABC 所在的平面内有一点 P，满足，则PBC 与ABC 的面积之比是_答案 2 3解析 因为，所以，所以22，即 P 是 AC12 / 13边的一个三等分点，且 PCAC，由三角形的面积公式可知，.B 级 知能提升12018·福建模拟设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于( )A. B2 C3 D4OM答案 D解析 ()()224.故选 D.2在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 与 AC 相交于点 F，若mn(m，nR)，则的值为( )A2 B C2 D.1 2答案 A解析 设a，b，则manb，ba，由向量与共线可知存在实数 ，使得，即 manbba，又 a 与 b 不共线，则所以2.故选 A.32018·泉州四校联考设 e1，e2 是不共线的向量，若e1e2，2e1e2，3e1e2，且 A，B，D 三点共线，则 的值为_答案 2解析 2e1e2，3e1e2，(3e1e2)(2e1e2)e12e2，若 A，B，D 三点共线，则与共线，存在 R 使得，即 e1e2(e12e2)，由 e1，e2 是不共线的向量，得解得 2.4已知|1，|，AOB90°，点 C 在AOB 内，且AOC30°.设mn(m，nR)，求的值解 如图所示，因为 OBOA，设|2，过点 C 作 CDOA 于点D，CEOB 于点 E，所以四边形 ODCE 是矩形，.OC因为|2，COD30°，所以|1，|.13 / 13又因为|，|1，所以，此时 m，n，所以3.OC52018·大同模拟若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 53，求ABM 与ABC 的面积之比解 设 AB 的中点为 D，如图，连接 MD，MC，由 53，得523 ，即，即1，故 C，M，D 三点共线，又 ，联立，得 53，即在ABM 与ABC 中，边 AB 上的高的比值为，所以ABM 与ABC 的面积的比值为.