第二次课动态规划.pptx

动动 态态 规规 划划 是是 19511951年年 由由 美美 国国 数数 学学 家家 贝贝 尔尔 曼曼（Richard Richard Bellman)Bellman)提提出出，它它是是解解决决一一类类多多阶阶段段决决策策问问题题的的优优化化方方法法，也是考察问题的一种途径。也是考察问题的一种途径。动动态态规规划划方方法法是是现现代代企企业业管管理理中中的的一一种种重重要要决决策策方方法法。如如果果一一个个问问题题可可将将其其过过程程划划分分为为若若干干个个相相互互联联系系的的阶阶段段问问题题，且且它它的的每每一一阶阶段段都都需需进进行行决决策策，则则这这类类问问题题均均可可用用动动态态规规划划方法进行求解。方法进行求解。根根据据多多阶阶段段决决策策过过程程的的时时序序和和决决策策过过程程的的演演变变，动动态态规规划划方方法法有有以以下下四四种种类类型型：离离散散确确定定型型、离离散散随随机机型型、连连续续确确定定型和连续随机型型和连续随机型。第1页/共83页几类算法的经典名言几类算法的经典名言动态规划：不做重复的事；动态规划：不做重复的事；动态规划：不做重复的事；动态规划：不做重复的事；贪心法：只选最好的；贪心法：只选最好的；贪心法：只选最好的；贪心法：只选最好的；分支定界法：没戏的就杀掉；分支定界法：没戏的就杀掉；分支定界法：没戏的就杀掉；分支定界法：没戏的就杀掉；回溯法：碰壁就回头。回溯法：碰壁就回头。回溯法：碰壁就回头。回溯法：碰壁就回头。作人生规划要善于利用动态规划；作人生规划要善于利用动态规划；找女朋友要善于利用好贪心算法；找女朋友要善于利用好贪心算法；人生重大决策要活学活用回溯法；人生重大决策要活学活用回溯法；第2页/共83页算法总体思想算法总体思想算法总体思想算法总体思想动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题子问题nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=第3页/共83页为什么动态规划比递归算法有效？为什么动态规划比递归算法有效？但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次，因此利用递归算法得到的算法往往是指数复杂度计算了许多次，因此利用递归算法得到的算法往往是指数复杂度的算法。的算法。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。n=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n)第4页/共83页POJ 2753 FibonacciPOJ 2753 FibonacciPOJ 2753 FibonacciPOJ 2753 Fibonacci数列例子：数列例子：数列例子：数列例子：确定确定Fibonacci sequence fnFibonacci sequence fn项的值项的值:考虑考虑Fibonacci sequenceFibonacci sequence的递归定义的递归定义:我们将得到如下的递归算法我们将得到如下的递归算法:在POJ上递交之后，返回的结果是：Time Limited。而不是可爱的ACWhy？第5页/共83页子问题的重叠性子问题的重叠性子问题的重叠性子问题的重叠性 将上述递归算法展开将上述递归算法展开:可以看出可以看出 f(n-1)f(n-1)被调用被调用 1 1次次,f(n-2),f(n-2)被调用被调用 2 2次次,等等等等.这将导致大量的调用这将导致大量的调用 最终解为：最终解为：第6页/共83页树形递归树形递归计算过程中存在冗计算过程中存在冗余计算，为了除去余计算，为了除去冗余计算，可以从冗余计算，可以从已知条件开始计算，已知条件开始计算，并记录计算过程中并记录计算过程中的中间结果。的中间结果。f(5)f(3)f(2)f(1)f(2)f(4)f(0)f(1)f(0)f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)11001010冗余计算冗余计算第7页/共83页动态规划动态规划例：例：POJ 2753 FibonacciPOJ 2753 Fibonacci数列数列int fn+1;int fn+1;f1=f2=1;f1=f2=1;int I;int I;for(i=3;i=n;i+)for(i=3;i=n;i+)fi=fi-1+fi-2;fi=fi-1+fi-2;cout fn endl;cout fn endl;用空间换时间用空间换时间第8页/共83页动态规划算法的基本要素一、最优子结构一、最优子结构一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其问题满足最优化原理又称其为为最优子结构性质最优子结构性质。同一个问题可以有多种方式刻划它的最优子结构，有些表示方法的求解速度更快（空间占用小，问题的维度低）例如：最短路径问题。a b c在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普遍性：首在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普遍性：首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解，从设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更好的解，从而导致矛盾。而导致矛盾。第9页/共83页动态规划算法的基本要素二、重叠子问题二、重叠子问题递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。些子问题被反复计算多次。这种性质称为这种性质称为子问题的重叠性质子问题的重叠性质。动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在动态规划算法，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时一个表格中，当再次需要解此子问题时，只是简单地用常数时间查看一下结果。间查看一下结果。通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动通常不同的子问题个数随问题的大小呈多项式增长。因此用动态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。态规划算法只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。第10页/共83页一、例子（最短路问题）一、例子（最短路问题）假如上图是一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点假如上图是一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间的距离（或费用），我们的问题是要将货物从间的距离（或费用），我们的问题是要将货物从A A地运往地运往E E地，地，中间通过中间通过B B、C C、D D三个区域，在区域内有多条路径可走，现三个区域，在区域内有多条路径可走，现求一条由求一条由A A到到E E的线路，使总距离最短（或总费用最小）。的线路，使总距离最短（或总费用最小）。AB1B2B3C1C2C3D1D2E24374632426534633334第11页/共83页将该问题划分为将该问题划分为4 4个阶段的决策问题个阶段的决策问题第第一一阶阶段段为为从从A A到到B Bj j（j=1j=1，2 2，3 3），有有三三种种决决策策方方案案可可供供选选择；择；第二阶段为从第二阶段为从B Bj j到到C Cj j（j=1,2,3j=1,2,3），也有三种方案可供选择；），也有三种方案可供选择；第第三三阶阶段段为为从从C Cj j到到D Dj j(j=1,2)(j=1,2)，有有两两种种方方案案可可供供选选择择；第第四四阶阶段为从段为从D Dj j到到E E，只有一种方案选择。，只有一种方案选择。AB1B2B3C1C2C3D1D2E24374632426534633334第12页/共83页如如果果用用完完全全枚枚举举法法，则则可可供供选选择择的的路路线线有有3321=183321=18（条），将其一一比较才可找出最短路线：（条），将其一一比较才可找出最短路线：ABAB1 1CC2 2DD3 3EE其长度为其长度为1212。AB1B2B3C1C2C3D1D2E24374632426534633334第13页/共83页显然，这种方法是不经济的，特别是当阶段数显然，这种方法是不经济的，特别是当阶段数很多，各阶段可供的选择也很多时，这种解法很多，各阶段可供的选择也很多时，这种解法甚至在计算机上完成也是不现实的。甚至在计算机上完成也是不现实的。由于我们考虑的是从全局上解决求由于我们考虑的是从全局上解决求A A到到E E的最短的最短路问题，而不是就某一阶段解决最短路线，因路问题，而不是就某一阶段解决最短路线，因此可考虑从最后一阶段开始计算，由后向前逐此可考虑从最后一阶段开始计算，由后向前逐步推至步推至A A点：点：第14页/共83页第四阶段，由第四阶段，由D D1 1到到E E只有一条路线，其长度只有一条路线，其长度f f4 4（D D1 1）=3=3，同理同理f f4 4（D D2 2）=4=4。第三阶段，由第三阶段，由C Cj j到到D Di i分别均有两种选择，即分别均有两种选择，即，决策点为D1AB1B2B3C1C2C3D1D2E24374632426534633334第15页/共83页,决策点为D1，决策点为D2AB1B2B3C1C2C3D1D2E24374632426534633334第16页/共83页第二阶段，由Bj到Cj分别均有三种选择，即：决策点为C2 AB1B2B3C1C2C3D1D2E24374632426534633334第17页/共83页决策点为C1或C2决策点为C2 AB1B2B3C1C2C3D1D2E24374632426534633334第18页/共83页第一阶段，由A到B，有三种选择，即：决策点为B3f1（A）=15说明从A到E的最短距离为12，最短路线的确定可按计算顺序反推而得。即AB3C2D2E上述最短路线问题的计算过程，也可借助于图形直观的表示出来：AB1B2B3C1C2C3D1D2E24374632426534633334第19页/共83页图图中中各各点点上上方方框框的的数数，表表示示该该点点到到E E的的最最短短距距离离。图图中中红红箭箭线表示从线表示从A A到到E E的最短路线。的最短路线。从引例的求解过程可以得到以下启示：从引例的求解过程可以得到以下启示：对对一一个个问问题题是是否否用用上上述述方方法法求求解解，其其关关键键在在于于能能否否将将问问题题转化为相互联系的决策过程相同的多个阶段决策问题。转化为相互联系的决策过程相同的多个阶段决策问题。AB1B2B3C1C2C3D1D2E2437463242653463333434676991112第20页/共83页所所谓谓多多阶阶段段决决策策问问题题是是：把把一一个个问问题题看看作作是是一一个个前前后后关关联联具具有有链链状状结结构构的的多多阶阶段段过过程程，也也称称为为序序贯贯决决策策过过程程。如如下下图图所所示：示：在在处处理理各各阶阶段段决决策策的的选选取取上上，不不仅仅只只依依赖赖于于当当前前面面临临的的状状态态，而而且且还还要要注注意意对对以以后后的的发发展展。即即是是从从全全局局考考虑虑解解决决局局部部（阶段）的问题。（阶段）的问题。各各阶阶段段选选取取的的决决策策，一一般般与与“时时序序”有有关关，决决策策依依赖赖于于当当前前的的状状态态，又又随随即即引引起起状状态态的的转转移移，整整个个决决策策序序列列就就是是在在变变化化的的状状态态中中产产生生出出来来，故故有有“动动态态”含含义义。因因此此，把把这这种种方方法称为动态规划方法。法称为动态规划方法。决策过程是与阶段发展过程逆向而行。决策过程是与阶段发展过程逆向而行。第21页/共83页拦截导弹（poj1887）某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。第22页/共83页输入输入数据为导弹依次飞来的高度，所有高度值均为不大于30000的正整数。输出输出只有一行是这套系统最多能拦截的导弹数。第23页/共83页输入样例389 207 155 300 299 170 158 65输入样例6第24页/共83页题目分析因为只有一套导弹拦截系统，并且这套系统除了第一发炮弹能到达任意高度外，以后的每一发炮弹都不能高于前一发炮弹的高度；所以，被拦截的导弹应该按飞来的高度组成一个非递增序列。题目要求我们计算这套系统最多能拦截的导弹数，并依次输出被拦截导弹的高度，实际上就是要求我们在导弹依次飞来的高度序列中寻找一个最长非递增子序列。第25页/共83页设X=x1,x2,xn为依次飞来的导弹序列，Y=y1,y2,yk为问题的最优解（即X的最长非递增子序列），s为问题的状态（表示导弹拦截系统当前发送炮弹能够到达的最大高度，初值为s=第一发炮弹能够到达任意的高度）。第26页/共83页如果y1=x1，即飞来的第一枚导弹被成功拦截。那么，根据题意“每一发炮弹都不能高于前一发的高度”，问题的状态将由s=变成sx1（x1为第一枚导弹的高度）；第27页/共83页在当前状态下，序列Y1=y2,yk也应该是序列X1=x2,xn的最长非递增子序列（大家用反证法很容易证明）。也就是说，在当前状态sx1下，问题的最优解Y所包含的子问题（序列X1）的解（序列Y1）也是最优的。这就是拦截导弹问题的最优子结构性质。第28页/共83页设D(i)为第i枚导弹被拦截之后，这套系统最多还能拦截的导弹数（包含被拦截的第i枚）。我们可以设想，当系统拦截了第k枚导弹xk，而xk又是序列X=x1,x2,xn中的最小值，即第k枚导弹为所有飞来的导弹中高度最低的，则有D(k)=1；当系统拦截了最后一枚导弹xn，那么，系统最多也只能拦截这一枚导弹了，即D(n)=1；其它情况下，也应该有D(i)1。第29页/共83页根据以上分析，可归纳出问题的动态规划递归方程为：第30页/共83页假设系统最多能拦截的导弹数为dmax（即问题的最优值），则 dmax （i为被系统拦截的第一枚导弹的顺序号）第31页/共83页所以，要计算问题的最优值dmax，需要分别计算出D（1）、D（2）、D（n）的值，然后将它们进行比较，找出其中的最大值。第32页/共83页根据上面分析出来的递归方程，我们完全可以设计一个递归函数，采用自顶向下的方法计算D（i）的值。然后，对i从1到n分别调用这个递归函数，就可以计算出D（1）、D（2）、D（n）。第33页/共83页但这样将会有大量的子问题被重复计算。比如在调用递归函数计算D（1）的时候，可能需要先计算D（5）的值；之后在分别调用递归函数计算D（2）、D（3）、D（4）的时候，都有可能需要先计算D（5）的值。如此一来，在整个问题的求解过程中，D（5）可能会被重复计算很多次，从而造成了冗余，降低了程序的效率。第34页/共83页其实，通过以上分析，我们已经知道：D（n）=1。如果将n作为阶段对问题进行划分，根据问题的动态规划递归方程，我们可以采用自底向上的方法依次计算出D（n-1）、D（n-2）、D（1）的值。这样，每个D（i）的值只计算一次，并在计算的同时把计算结果保存下来，从而避免了有些子问题被重复计算的情况发生，提高了程序的效率。第35页/共83页int main（）int h2000,d2000,count,c,max,i,j;/h表示高度值，d表示最优值，c是能拦截得最多导弹数 count=0;while（scanf（%d,h+count+）!=EOF）;/输入高度 dcount-1=1;c=1;for（i=count-2;icount;j+）if（(hi=hj)&maxdj）max=dj;di=max+1;if(cdi)c=di;printf（%dn,c）;第36页/共83页思考题上述问题修改成：要求拦截所有导弹，则需要多少套上述系统？第37页/共83页实例POJ2122：Flight PlanningYour job is to write a program that plans airplane flights.Each flight consists of a series of one or more legs.Your program must choose the best altitude for each leg to minimize the amount of fuel consumption during the trip.第38页/共83页The airplane has a fixed airspeed,given by the constant VCRUISE,and a most-efficient cruising altitude,AOPT.When flying at altitude AOPT,fuel consumption in gallons per hour is given by GPHOPT.When flying at an altitude that is different from AOPT,fuel consumption increases by GPHEXTRA for each 1000 feet above or below AOPT.第39页/共83页The flight starts and finishes at an altitude of 0.Each 1000 foot climb burns an extra amount of fuel given by CLIMBCOST(there is no reduction in fuel consumption when you descend).Make the approximation that all climbing and descending is done in zero time at the beginning of each flight leg.第40页/共83页Thus each leg is flown at a constant airspeed and altitude.For this problem,the airplane characteristics are given by the following constants:第41页/共83页 VCRUISE 400 knots(a knot is one nautical mile(1.852km)per hour)AOPT 30,000 feetGPHOPT 2000 gallons per hourGPHEXTRA 10 gallons per hour for each 1000 feetCLIMBCOST 50 gallons per 1000 feet of climb第42页/共83页Before each flight,you are given the length of each leg and the tailwind expected for each leg.A positive tailwind increases the airplanes speed over the ground,and a negative tailwind decreases its speed over the ground.For example,if airspeed is 400 knots and the tailwind is-50 knots,speed over the ground is 350 knots.第43页/共83页By policy,altitude for each leg must be some integer multiple of 1000 feet,between 20,000 and 40,000 feet,inclusive.Your program must compute the best altitude for each leg to minimize overall fuel consumption for the trip,and must compute the fuel required for the trip.第44页/共83页InputThe first line contains an integer N,representing the number of flights you are required to plan.Each flight consists of the following input lines:The first input line in a flight contains an integer K(0 K 10),representing the number of legs in the flight.The next K input lines each contain the following three integers:(1)The length of the leg,in nautical miles(2)The expected tailwind at 20,000 feet,in knots(3)The expected tailwind at 40,000 feet,in knots第45页/共83页The expected tailwind at altitudes between 20,000 and 40,000 feet is computed by linear interpolation.For example,the expected tailwind at 30,000 feet is halfway between the expected tailwind at 20,000 feet and the expected tailwind at 40,000 feet.第46页/共83页OutputYour program must produce one output line for each flight.The output line must contain the flight number(counting from the beginning of the problem),the chosen altitude for each leg(in thousands of feet),and the fuel required for the trip(in gallons,to the nearest gallon).第47页/共83页Sample Input221500-50 501000 0 031000 50 02000 0 201800-50 100Output for the Sample InputFlight 1:35 30 13985Flight 2:20 30 40 23983第48页/共83页图例：第49页/共83页转换为多段图问题Flight PlanFlight Plan可以转换为多段图问题，每一条边代表某可以转换为多段图问题，每一条边代表某段由前一段飞行高度飞到本段的某一飞行高度的燃油消段由前一段飞行高度飞到本段的某一飞行高度的燃油消耗量耗量第50页/共83页Analysis 一、计算飞机在地域一、计算飞机在地域i i的耗油量的耗油量 假设飞机在地域假设飞机在地域i-1i-1（2 2ik+1ik+1）的海拔高度为）的海拔高度为l l，飞到地域飞到地域i i的海拔高度为的海拔高度为m m，计算飞机在地域，计算飞机在地域i i的耗油量的耗油量gi,l,mgi,l,m必须考虑如下几个因素必须考虑如下几个因素：（注意：为了方便：（注意：为了方便计算，飞行高度和风速以计算，飞行高度和风速以1000feet1000feet为单位）为单位）1.1.上升过程增加的耗油量上升过程增加的耗油量a a 由于飞机每上升一个单位，需要增加由于飞机每上升一个单位，需要增加climbcostclimbcost的耗的耗油量，因此油量，因此 第51页/共83页Analysis 2.2.每小时的实际耗油量每小时的实际耗油量b b 飞机在海拔高度飞机在海拔高度aoptaopt飞行时每小时耗油飞行时每小时耗油gphopt.gphopt.当飞当飞机在机在m m高度飞行时，与高度飞行时，与aoptaopt的垂直距离为的垂直距离为 个单位。每垂直偏离个单位。每垂直偏离aoptaopt高度一个单位，需要增加耗高度一个单位，需要增加耗油量油量gphextra.gphextra.因此因此第52页/共83页3.3.在地域在地域i i的实际飞行时间的实际飞行时间c c c=c=地域地域i i的长度的长度 /地域地域i i的实际飞行速度的实际飞行速度 由于地域由于地域i i的风速垂直反向线性变化，的风速垂直反向线性变化，m m单位单位处的风速为在处的风速为在2020单位处的风速与单位处的风速与4040单位处的风单位处的风速的平均数，因此地域速的平均数，因此地域i i的等高风速为的等高风速为 第53页/共83页 而飞机的实际速度为而飞机的实际速度为VCRUISEVCRUISE与地域与地域i i等高风速等高风速的矢量和，因此的矢量和，因此 c=c=地域地域i i的长度的长度 /(/(地域地域i i的等高风速的等高风速VCRUISE)VCRUISE)显而易见，显而易见，第54页/共83页二规划飞行方案二规划飞行方案 设设 为在确定地域为在确定地域i i的飞行高度为的飞行高度为j j的情况下，飞机由地域的情况下，飞机由地域l l飞至地域飞至地域i i所耗费的最所耗费的最小总耗油量；小总耗油量；为记忆表。飞机由地域为记忆表。飞机由地域i-li-l的的 高度到达地域高度到达地域i i的的j j高度，可高度，可使总耗油量最小，即使总耗油量最小，即 第55页/共83页问题是怎么才能计算问题是怎么才能计算 呢？呢？首先我们必须明确，按最优性要求确定了首先我们必须明确，按最优性要求确定了飞机在地域飞机在地域i-1i-1的飞行为高度为的飞行为高度为 ;由于由于 为一个定值，因此为一个定值，因此 的值必须最小。不然的话，将它替换到的值必须最小。不然的话，将它替换到 表达式中，则可使表达式值变得更小，出现矛表达式中，则可使表达式值变得更小，出现矛盾，这就说明问题的最优解包含了子问题的最盾，这就说明问题的最优解包含了子问题的最优解，即该问题具备了最优子结构。优解，即该问题具备了最优子结构。第56页/共83页 下面我们来分析一下最优表达式的构造：飞机由地域1起飞，因此data1,j=g1,0,j(20j40).然后顺序计算，data2,20 data2,40,data3,20,data3,40,.datak,20,datak,40.第57页/共83页 在计算datai,j时，我们无法预计飞机在地域i-1应以怎样的高度飞行方可使表达式的值最小。因此只能一一假设飞机在地域i-1的高度为20,21,40,即分别求出从上述21个表达式中选出值最小的一个，即：将满足上式的飞行高度L存入记忆表data2i,j第58页/共83页 由此可见，在求datai,j的过程中不断查阅子问题的解datai-1,20.datai-1,40。显然这个最优化问题包含了重叠子问题，采用动态程序设计方法是最合适不过的了，按照上述分析，我们可以直接写出动态规划的方程：1ik 20j40 20l40第59页/共83页 求解data表和data2表的算法十分简单：for j:=20 to 40 do data1,j g1,0,j;/*构造记忆表*/for i:=2 to k do for j:=20 to 40 do for i:=20 to 40 do begin 计算datai,j=mindatai-1,l,gi,l,j;将满足上式的l记入记忆表data2i,j;end:for第60页/共83页三三.输出飞行计划输出飞行计划 有了记忆表有了记忆表data2data2我们便可以从地域我们便可以从地域k k出发倒推飞机在各出发倒推飞机在各地域的飞行高度地域的飞行高度data3:data3:for j:=20 to 40 do data3k for j:=20 to 40 do data3k 计算满足计算满足mindatak,jmindatak,j的的j;j;for i:=k downto 2 do data3i-for i:=k downto 2 do data3i-lldata2i,data3i;data2i,data3i;最后输出飞行计划：最后输出飞行计划：for i=1 to k do for i=1 to k do 输出飞机在地域输出飞机在地域i i的飞行高度的飞行高度data3i;data3i;输出最小的总耗油量输出最小的总耗油量datak,data3k;datak,data3k;每输入一条航线信息，我们便使用上述方法规划该航每输入一条航线信息，我们便使用上述方法规划该航线的飞行方案，直至线的飞行方案，直至n n条航线规划完毕条航线规划完毕第61页/共83页Uxuhul的表决 Uxuhul印第安人是世界上最古老的文明之一。在中美洲丛林中，大约从公元前3200年的黄金时代，Uxuhul文化繁荣了近千年。每年代表各阶层的高级牧师都会聚集在首都，投票表决重要事情。每次严格限定表决三个议案，每个议案只有是/否的回答。三个议案在议论表决中同时决定，遵循下列形式：第62页/共83页所有牧师聚集在一大房间，房间中央有一张桌子。在桌子上放了三片石块，一面黑，一面白。每个石块代表一个议案，黑表示“否”，白表示“是”。最初所有的石块都是黑色的面朝上，表示所有的议案都是否定的结果。根据年龄，从年轻的到年长者，每位牧师通过翻动一块石块来表决，也就是改变某个议案的结果。不允许不表决。最年长的牧师做出选择后，石块朝上的颜色决定了三个议案的最终结果。第63页/共83页Uxuhul的政治相当复杂，大量代表不同利益的游说（和行贿），影响三个议案的八种结果。宗教规则强制每位牧师在投票表决前公开他们对三个议案的八种结果的表决倾向。由于彼此间都知道表决倾向，每位牧师都争取对自己最有利的结果，而且Uxuhul人具有高超的逻辑推理能力，对游戏规则又很了解，每个牧师都能找到最理想的方法！第64页/共83页最后，复杂刻板行政系统导致Uxuhul文明的崩溃。只留下他们的城市和庙宇，历史学家和考古学家试图通过研究每年议案的表决结果来弄清他们的历史。不管怎么说，只有牧师们的表决倾向留下来了，没有实际的表决结果。那么你的任务就是揭示出表决结果。第65页/共83页输入输入从一个整数n开始,1=n=100，代表表决的次数。后面跟着n个问题。每次表决由一个整数m开始，1=m=100，表示牧师的数目。后面m行，按照顺序代表每位投票者的表决倾向。对于每种结果（NNN,NNY,NYN,NYY,YNN,YNY,YYN,YYY,N表示否，Y表示是）,给一个18之间的数，越小的数字表示选择可能性越大。对8种结果的表决倾向按照前面列举的顺序的给出。第66页/共83页输出对于每个问题，输出三个议案的表决结果。N表示否，Y表示是。第67页/共83页输入样例2 48 7 6 5 4 3 2 18 6 3 1 2 4 5 78 3 6 5 1 2 7 41 2 3 4 5 6 7 811 2 3 4 5 6 7 8第68页/共83页输出样例NYYNNY第69页/共83页解题思路这个题似乎可以采用贪心来做。每一个牧师都从可能的结果中选择对自己最有利的结果，最后的结果似乎就是人人都满意的结果？仔细分析就发现这种思路不正确。假如有两个人来选择，选择倾向是：2 1 7 4 5 8 3 63 8 6 4 5 1 2 7第70页/共83页如果按照贪心的思想去做，第一个人应该选择NNY,但第二个人肯定会选择成YNY，结果是第一个人最不满意的。如果第一个人选择NYN，表面上是他不满意的选择（排在第七位的结果），但第二个人会选择YYN（这是他在这种情况下的最好选择，排在第二位）,而对于第一个人来说，YYN也是一个不错的结果。第71页/共83页所以，贪心的思路不行。在解决这个题之前，让我们先看看海盗的传说：第72页/共83页有5个海盗，多年的海上生活使他们积攒了100颗宝石。他们决定将宝石分掉之后就分手，洗手不干了。他们商量许久，最后决定：首先抽签，每个人抽得一个号码（1号到5号），然后1号海盗提出一个分配方案，所有海盗举手表决，如果过半数的海盗同意该分配方案，则按此方案分配，否则将1号海盗扔到大海。再由2号海盗提出他的分配方案，重复以上过程，直到找到分配方案止。海盗都是很聪明的，而且彼此知道别人的聪明，每个海盗都希望得到最多的宝石。如果你是1号海盗，你会提出怎样的分配方案，使你获得最多的宝石且保住性命？第73页/共83页因为海盗很聪明，所以你能想到的别的也能想到。我们从简单情况出发：首先看4号海盗分配方案，只可能是0 100（少1颗5号可不会投票支持）所以3号海盗分配方案，99 1 0（首先5号一颗都不用给，因为只有100颗才能合他的胃口，4号一颗足矣，总比没有强）第74页/共83页2号海盗分配方案，97 0 2 1（首先3号一颗都不用给，因为只有100颗才能合他的胃口，4号两颗，5号一颗，要比3号分得多）所以1号海盗最佳分配方案，97 0 1 0 2（原因同上，1，3，5号海盗投票支持）第75页/共83页和海盗问题一样，要倒过来思考，我们以杨例中的第一组数据来说明牧师是怎么思考的48 7 6 5 4 3 2 18 6 3 1 2 4 5 78 3 6 5 1 2 7 41 2 3 4 5 6 7 8第76页/共83页首先最后投票的很简单，从可能出现的结果里找个最喜欢的。倒数第二怎么投？假设他面对的是NYY，他可以变为NNY，NYN，YYY，这其中他最喜欢的是NNY，但他就会选择NNY吗？不会！因为选择NNY，最后（通过最后牧师表决）的结果就是NNN，是他最不喜欢的，他的选择是YYY，因为最后的结果将是NYY，是可以得到的最好结果。从后往前，记录当前祭司面对每种情况（NNN,NNY,NYN,NYY,YNN,YNY,YYN,YYY）下选择能得到的最好结果。倒数第二个：8 3 6 5 1 2 7 4倒数第一个：1 2 3 4 5 6 7 8NNN,NNY,NYN,NYY,YNN,YNY,YYN,YYY第77页/共83页得到的状态序列将是NNY NNN NNN NNY NNN NNY NYN NYYNNN NNY NNY NYY NNY NYY NYY NNYNNY NYY NYY NNY NYY NNY NNY