刘俊峰线性代数考前冲刺(学生用).pdf

2018 线性代数考前冲刺 复习要点：一、行列式的计算 1、数字型行列式（根据性质）2、抽象型行列式 爪型行列式（例 1、例 2）对于低阶(4 阶(含）以下）行列式，标准爪形利用对角线元素把第一行（列）化为只有一个非零元素，非标准的爪形按照非零行（列)展开;高阶的利用递推法或数学归纳法。三条对角线型（例 3）对于三对角线行列式，通过行列式性质可以利用对角线元素把对角线下方的元素划为0，把行列式化成上三角行列式；或者利用递推和数学归纳法来证明。每行（列）元素和相等的行列式 对于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第 1 行（列），提取公因子，然后通过第 1 列（行）把行列式变成下（上）三角行列式进行计算。范德蒙型行列式 通过行列式性质进行变形，把行列式变成范德蒙行列式进行计算。拉普拉斯型行列式（例 4）此行列式适合比较多的类型，通过行列互换，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。3、矩阵行列式（例 7）结合矩阵的运算，以及初等变换，来求行列式 4、已知特征值的矩阵行列式（例 6）1niiA，相似矩阵行列式相等 若A 与B相似，则AB，故可将 A 的行列式的计算转化为与其相似矩阵的行列式进行计算.一般地，)()(BfAf，其中)(Af为矩阵A的多项式。5、拉普拉斯矩阵的行列式 0000AACAA BBBCB 其中,A B分别是两个方阵 (1)m mm mmnn nn nOAOAA BBOBC 二、矩阵 1、矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，方阵行列式的计算 注：对于n阶矩阵 A，nkAkA 乘法不满足交换律 2、特殊向量的乘法 1122,nnababab，11 11 2122 12 221212nnTnnnnnnaa ba ba baa ba ba bbbbaa ba ba b ()1TR 1 122()TTTnna ba ba btr 若T，T的一个非零特征值为；（因()()TT ）特别的：T的唯一一个非零特征值T，又因为T是对称矩阵，因此T相似对角矩阵，且()()1TRR，故T的特征值为T 和0(1n 重）；单位矩阵E的特征值为 1（n重），因此若为单位向量，则TE 的特征值为 0，1（1n重）；TE 的特征值为 2，1（1n重），()TR En 3、转置、可逆、伴随矩阵的性质(),(),(),()TTTTTTTTTTAAABB AkAkAABAB 11111111(),(),(),AAABB AkAAk 11)()(TTAA EAAAAA*，AAAA1)()(*11*，*()()TTAA，*()ABB A 4、矩阵的初等变换 经过有限步初等变换得到的矩阵是等价的。()()R AR BAB 熟悉行阶梯形矩阵、行最简形矩阵的特点，主要用于解方程组、求极大无关组、求秩 5、矩阵的秩()R Ar存在r阶子式不等于 0，对于所有的（若存在）1r 阶子式等于 0；()R Ar存在r阶子式不等于 0；()R Ar对于所有的r阶子式等于 0；()R AA列秩A的行秩 6、矩阵秩的性质 0()min,m nR Am n()()TR AR A，()()TR A AR A（方程组同解）为n维非零列向量，()1TR 若AB，则()()R AR B 若,P Q为可逆矩阵，则()()()R PAR PAQR A max(),()(,)()()R A R BR A BR AR B()()()R ABR AR B()min(),()R ABR A R B 若m nn lABO，则()()R AR Bn A为n阶方阵，*A为A的伴随矩阵，则*()()1()10()1nR AnR AR AnR An 7、初等矩阵 初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵；初等矩阵是可逆的，其逆矩阵仍然是初等矩阵；可逆矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积；矩阵左乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的初等行变换，右乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的列变换；利用初等变换求逆矩阵；三、线性方程组 1、齐次线性方程组0m nAx解的判定：()只有零解有非零解rnR Arrn 2、齐次线性方程组解的性质：12,是0m nAx的解，则1 122kk也是0m nAx的解；会求基础解系；若()R Ar，则基础解系解向量的个数为nr 3、非齐次线性方程组m nAxb的解的判定：(|)()=(|)()无穷多解有解唯一解无解rnR A bR ArrnR A bR A 4、非齐次线性方程组解的性质及结构 若123,是m nAxb的解，则当1230kkk时，1 12233kkk是0m nAx的解，当1231kkk时，1 12233kkk是m nAxb的解 非齐次方程m nAxb的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解构成。5、矩阵方程AXOX的列向量就是0Ax 的基础解系 矩阵方程1212(,)(,)ssAXBAb bb，即(1,2,)iiAb is 6、公共解问题 求两个方程组的公共解，也就是要找到一个解既是方程组（1）的解，也是方程组（2）的解，因此对于这类题目就是联立两个方程组，组成一个新的方程组求通解 四、向量 1、线性表示 向量b可以由向量组12,r 线性表示1122rrbkkkAxb有解()(|)R AR A b 向量组12:,sB 可以由向量组12:,rA 线性表示，即向量组B中每个向量都可以由向量组A线性表示()(|)()()R AR A BR AR B 向量组等价：向量组A与向量组B可以相互线性表示()()(|)R AR BR A B 若ABC，则C的列向量可以由A的列向量线性表示；C的行向量可以由B的行向量线性表示 2、线性相（无）关 对于向量组12:,rA，若存在一组不全为 0 的数12,rk kk，使得11220rrkkk成立，则线性相关，否则线性无关 线性相关0Ax有非零解()R Ar 线性无关0Ax只有零解()R Ar 若向量组12:,rA 线性无关，向量组12,r 线性相关，则向量可以由向量组12:,rA 线性表示，且表示唯一 3、极大无关组 极大无关组的定义，求法 向量组的秩的定义 4、向量空间 向量空间、基、维数的定义 基变换和坐标变换 标准正交基（施密特正交化）正交矩阵1TTAAEAAA的行（列）向量是单位正交的向量组 五、特征值与特征向量 1、定义：(0)A，是特征值，是特征值对应的特征向量 2、求法：0AE，解出n个（含重根）特征值12,n 解()0iAE x得i的基础解系 注：若i是k重根，则()iR AEnk，即特征向量的个数小于等于k个；若()iR AEnk，矩阵A可以相似对角化，否则不能。3、相似的定义：1P APB，则A相似于B 相似对角化充要条件A存在n个线性无关的特征向量。对任意对称矩阵存在正交矩阵P，使得1P AP 相似矩阵的特征值、行列式、秩、对角线元素和均相等，反之不成立。两个对称矩阵如果特征值相等，则必相似。4、特征值的性质 不同特征值对应的特征向量线性无关；特殊地，对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交 对于n阶矩阵A，1niiA，11nniiiiia；特殊地，若矩阵A可逆，则矩阵A的所有特征值不为 0 若是矩阵A的特征值对应的特征向量，则 mmAAAkk 111111()(1)mmmmmmmmk AkAk AEkkk 若1110mmmmk AkAk AE，则11110mmmmkkk 若矩阵A可逆，则1*1AAAA 对称矩阵A非零特征值的个数等于()R A，T的唯一的非零特征值为T 5、对称矩阵的相似对角化步骤 求出A的特征值、特征向量：1212,;,nn 对于任意一个k重特征值i，其特征向量为1,iik先正交化1,iik，得1,iik；再把所有特征向量单位化，得12,n 存在正交矩阵12(,)nP ，使得TAP P，其中12n 六、二次型 1、二次型矩阵 对称矩阵 2、把二次型利用正交变换化为标准型也就是对称矩阵相似对角化的过程 3、正惯性指数 二次型对任意可逆变换，其正惯性指数的个数不变，即大于 0 的特征值的个数不变。4、正定矩阵的判定：顺序主子式大于 0；特征值大于 0 5、矩阵的等价、相似、合同 两个n阶矩阵,A B存在常见的几个关系：等价、相似和合同（1）A与B等价A经过一系列初等变换得到BAPBQ，其中,P Q都是可逆矩阵()()R AR B（2）,A B相似存在可逆矩阵P，使得1P APB（3）,A B合同若存在可逆矩阵C，使得TC ACB二次型Tx Ax与Tx Bx有相同的正、负惯性指数 对于对称矩阵而言，相似必合同，合同必等价；对于一般矩阵，相似必等价，合同必等价，相似与合同没有必然联系 冲刺题型：例 1 1000100014321 答案：432234 例 2 证明nnnnnnnnaxaxaxaxaaaaxxxxD11112211000000000100001 例 3 设aaaaaaaaaA2121212122222是n阶矩阵，证明nanA)1(注：两类数学归纳法介绍（一）（1）验证1n时，命题成立；（2）假设1 kn时，命题成立；（3）利用（2），证明当kn 时，命题成立。（二）（1）验证2,1nn时，命题成立；（2）假设kn 时，命题成立；（3）利用（2），证明当kn 时，命题成立。例 4 dcdcbaba00000000 答案：2()bcad 例 5 设BA,均为n阶矩阵，且,2,3BA*,BA分别是A和B的伴随矩阵，则1*1BABA=答案：(1)6n 例 6 已知矩阵A和B相似，其中003020100B，则 EA 答案：6 例 7 设,都是n维非零列向量，矩阵2TAE，若223AAEO，则T 答案：2 例 8 三阶矩阵A可逆，把矩阵A的第 2 行与第 3 行互换得矩阵B，把矩阵B的第 1 列的2倍加到第 3 列得到单位矩阵E，则*A 答案：*120001010A 例 9 设A为mn矩阵，且nmAR)(,则下列命题错误的是（）（A）方程组0 xAT只有零解 （B）方程组0AxAT必有无穷多解（C）对任意的m维列向量b，m nAxb必有无穷多解（D）对任意的n维列向量b，TA xb总有唯一解 答案：选D 例 10 设A是nm矩阵，B是mn矩阵，则0ABx （A）mn 时仅有零解 （B）mn 时必有非零解（C）nm 时仅有零解 （D）nm 时必有非零解 答案：选D 例 11 设A是n阶矩阵，是n维列向量，若秩)(0ARART，则线性方程组（A）Ax必有无穷多解 （B）Ax必有唯一解（C）00TAxy仅有零解 （D）00TAxy必有非零解 答案：选D 例 12 设123,是0Ax的一组基础解系，考查下列向量组 1213,；123213,；12313,；13123,上述向量组中，仍是0Ax的基础解系的是()A ()B ()C ()D 答案：选C 例 13 已 知123,是 非 齐 次 线 性 方 程 组Axb的 三 个 解，()3R A，若12231,2,3,4,22,3,4,5TT，则方程组Axb的通解（A）11021324k （B）1223104315k （C）11011121k （D）10210213k 答案：选B 例 14 已知齐次方程组（）040203221321321xaxxaxxxxxx；方程（）12321axxx有公共解，求a的值及所有的公共解 答案：1a时，公共解为Tk101；2a时，公共解为T110 例 15 设四元线性齐次方程组()为 122400 xxxx ,又已知某线性齐次方程组()的通解为120,1,1,01,2,2,1TTkk (1)求线性方程组()的基础解系.(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.答案：（1）方程组()的基础解系为120,0,1,0,1,1,0,1TT (2)所有公共解为1,1,1,1Tc 例 16 设矩阵2332205926Aaaa，122211364Baaa，当a为何值时，方程AXBBX无解；当a为何值时，方程AXBBX有解，并求全部解 答案：1a 时，方程无解；当1a 时，方程有唯一解，解为13311113221111111aaaaaaaaaaaa 例17 求一 个 齐次线 性方 程 组，使 它的 基 础解系 为TT0123,321021 答案：12312420230 xxxxxx 例 18 已知A是 3 阶实对称矩阵，0A，若112111212141A，求0Ax 的通解 答案：0Ax 的通解110k 例 19 设12301214Aaa且()2R A，求齐次方程组*0A x 的通解 答案：*0A x 的通解为12150314kk 例 20 设1(1,0,1)T，2(0,1,1)T，3(1,3,5)T不能由1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,)Ta线性表出。（1）求a （2）将123,由123,线性表出 例 21 设A是mn矩阵，12,t 是齐次方程组0Ax 的基础解系，是非齐次线性方程组Axb的解.（1）证明：12,t 线性无关（2）证明方程组Axb的任一解均可由12,t 线性表示 例 22 已知100010001A，则下列矩阵中与A相似共有（）个 100100100010,012,210001001001 答案：2 例 23 设A为 4 阶实对称矩阵,且2AAO,若A的秩为 3,则A相似于()(A)1110.(B)1110.(C)1110.(D)1110.答案：选D 例 24 设A是n阶矩阵，先交换A的第i行和第j行，再交换A的第i列和第j列得到B，则下列关系中正确的有 个。AB()()R AR B A等价于B A相似于B A合同B 答案：5 例 25 设矩阵02313312Aa 相似于矩阵12000031Bb（1）求,a b的值；（2）求可逆矩阵P，使1P AP为对角矩阵 答案：（1）4,5ab （2）231101011P，（P不唯一）则1100010.005P AP 例 26 已知矩阵011230000A（1）求99A；（2）设 3 阶矩阵123,B 满足2BBA.记100123,B ，将123,分别表示为123,的线性组合.答案：9999989910010099221222221222000A 99100112(22)(22)，99100212(12)(12)，9899312(22)(22)。例 27 设A是 3 阶方阵，9,18,18Tb 方程组Axb通解为：122,1,02,0,11,2,2TTTkk，其中12,k k为任意常数，求A和100A 答案：91818183636183636A，1001001229244144A 例 28 若二次曲面的方程为22232224xyzaxyxzyz，经正交变换化为221144yz，则_a 答案：1a 例 29 二次型222123123121323(,)3222f x xxxxxx xx xx x，则f的正惯性指数为_ 答案：2 例 30 设二次型123(,)Tf x xxx Ax的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下xQy的标准型为_ 答案：标准形为213y 例 31 设二次型222123123121323(,)444f x xxxxxx xx xx x，则123(,)2f x xx在空间直角坐标系下的二次曲面为（）（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面（C）椭球面 （D）柱面 答案：选B 例 32 已知1010111001Aaa，二次型123(,)()TTf x xxxA A x的秩为 2（1）求实数a的值；（2）求利用正交变换xQy将f化为标准型 答案：1a ；123111326111,32612036Q ，在正交变换xQy下，标准型为222326fyy 例 33 已知二次型AXXxxxfT),(321在正交变换QYX 下的标准型为2221yy，且Q的第三列为T)22,0,22(.（1）求矩阵A；（2）证明EA为正定矩阵，其中E为 3 阶单位矩阵 答案：2102101021021A 例 34 已知二次型123(,)Tf x xxx Bx，其中10221011aBa的正负惯性指数都是 1.（1）求a的值；（2）用正交变换xQy化二次型为标准型，并求出Q；（3）若AkE是正定矩阵，求k的范围（4）判断A是否与矩阵012100200合同 答案：2a ；32632636033326326Q，即xQy时，222333fyy；3k；合同 例 35 设123(,),Tf x xxX AX312,iiia且,ABO110112101B（1）用正交变换化二次型为标准型，并求正交变换（2）求该二次型 答案：（1）32632632632636033P当XPY时，21233(,)3TTf x xxX AXYYy（2）二次型为222123123121323114244(,)333333Tf x xxX AXxxxx xx xx x