高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第3讲合情推理与演绎推理学案.doc

1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 1111 章算法初步章算法初步复数推理与证明第复数推理与证明第 3 3 讲合情推理与演绎推理学案讲合情推理与演绎推理学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 合情推理考点 2 演绎推理1定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理2特点：演绎推理是由一般到特殊的推理3模式：“三段论”是演绎推理的一般模式：必会结论1合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确2合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适( )(3)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确( )(4)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数” ，这是三段论推理，但其结论是错误的( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)答案 A3课本改编下面图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4 的2 / 15规律，并依此规律，写出第 n 个图形中小正方形的个数是_答案 解析 由题图知第 1 个图形的小正方形个数为 1，第 2 个图形的小正方形个数为 12，第 3 个图形的小正方形个数为 123，第 4 个图形的小正方形个数为 1234，则第 n 个图形的小正方形个数为 123n.4课本改编在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_答案 18解析 因为两个正三角形是相似的三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方所以它们的体积比为 18.52015·陕西高考观察下列等式11 211 411 6据此规律，第 n 个等式可为_答案 11 2n解析 观察所给等式的左右可以归纳出1.62018·东北三省模拟在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀” ；乙说：“我得了优秀” ；甲说：“丙说的是真话”事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀3 / 15的同学是_答案 丙解析 分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙板块二 典例探究·考向突破考向 归纳推理命题角度 1 数字的归纳例 1 2018·浙江模拟“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300 多年如图是杨辉三角数阵，记 an 为图中第 n 行各个数之和，则 a5a11 的值为( )A528 B1020 C1038 D1040答案 D解析 第一行数字之和为 a11211，第二行数字之和为 a22221，第三行数字之和为 a34231，第四行数字之和为 a48241，第 n 行数字之和为 an2n1，a5an242101040.故选 D.命题角度 2 式子的归纳例 2 设函数 f(x)(x>0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)ff1(x)，f3(x)ff2(x)，f4(x)ff3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN*且 n2 时，fn(x)ffn1(x)_.4 / 15答案 解析 根据题意知，各式中分子都是 x，分母中的常数项依次是 2,4,8,16，可知 fn(x)的分母中常数项为 2n，分母中 x 的系数为 2n1，故 fn(x)ffn1(x).命题角度 3 图形的归纳例 3 如图，在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处：点(1,0)处标 b1，点(1，1)处标 b2，点(0，1)处标b3，点(1，1)处标 b4，点(1,0)处标 b5，点(1,1)处标b6，点(0,1)处标 b7，以此类推，则 b963 处的格点的坐标为_答案 (16,13)解析 观察已知点(1,0)处标 b1，即 b1×1，点(2,1)处标 b9，即 b3×3，点(3,2)处标 b25，即 b5×5，由此推断点(n，n1)处标 b(2n1)×(2n1)，因为 96131×31 时，n16，故 b961处的格点的坐标为(16,15)，从而 b963 处的格点的坐标为(16,13)触类旁通归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与式子有关的归纳推理与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(3)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性【变式训练 1】 2018·泉州模拟已知如下等式：246；810121416；18202224262830；以此类推，则 2020 会出现在第_个等式中( )5 / 15A30 B31 C32 D33答案 B解析 246；810121416；18202224262830，其规律为：各等式首项分别为 2×1,2(13)，2(135)，所以第 n 个等式的首项为 213(2n1)2×2n2，当 n31 时，等式的首项为 2×3121922，当 n32 时，等式的首项为 2×3222048，所以 2020 在第 31 个等式中故选 B.考向 类比推理例 4 2018·抚顺模拟若数列an是等差数列，则数列bn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则 dn 的表达式应为( )BdnAdn c1·c2··cn nDdnCdn nc1·c2··cn答案 D解析 若an是等差数列，则 a1a2anna1d，所以bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1·c2··cnc·q12(n1)c·q) ，所以dnc1·q) ，即dn为等比数列故选 D.触类旁通类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入6 / 15手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移【变式训练 2】 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理 c2a2b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为 S，类比平面的结论有_答案 S2SSS2 3解析 三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2SSS.考向 演绎推理例 5 2018·山东调研数列an的前 n 项和记为 Sn，已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明 (1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.2·，(小前提)故是以 2 为公比，1 为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4·(n2)，Sn14(n1)·4··Sn14an(n2)，(小前提)又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)触类旁通7 / 15演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提【变式训练 3】 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有 A，B，C，D，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶已知 E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )B今天是周四A今天是周六 DC 车周五限行CA 车周三限行 答案 B解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为 B 车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为 A，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选 B.核心规律1.合情推理的过程概括为从具体问题出发提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数8 / 15学问题的证明主要通过演绎推理来进行满分策略1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性3.合情推理中运用猜想不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列 9演绎推理中的创新问题2015·福建高考一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中 xk(k1,2，n)称为第 k 位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0)已知某种二元码 x1x2x7 的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定 k 等于_解题视点 求解此类问题的关键是读懂新定义，在领会新定义的基础上，明晰新定义的内涵和外延，将其转化并运用到新情境中，进而判断参数 k 的值解析 因为x4x5x6x711010010110，所以二元码1101101 的前 3 位码元都是对的；因为x2x3x6x71001101110，所以二元码1101101 的第 6、7 位码元也是对的；因为x1x3x5x710111110110，所以二元码1101101 的第 5 位码元是错误的，所以 k5.9 / 15答案 5答题启示 与演绎推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点，解决此类问题时，一定要读懂新定义的本质含义及符号语言，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当的转化，注意推理过程的严密性.跟踪训练在平面直角坐标系中，若点 P(x，y)的坐标 x，y 均为整数，则称点 P 为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L.例如图中的ABC 是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S，N，L 分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为 SaN bLc，其中a，b，c 为常数，若某格点多边形对应的 N71，L18，则S_(用数值作答)答案 (1)3,1,6 (2)79解析 (1)由定义知，四边形 DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有 1 个，边界上格点有 6 个，四边形 DEFG 的面积为 3，所以 S3，N1，L6.(2)由待定系数法可得Error!Error!当 N71，L18 时，S1×71×18179.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标1(1)已知 a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是 ah，如果把扇形的弧长 l，半径 r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为 lr；(2)由112,1322,13532，可得到 135(2n1)n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )10 / 15A类比推理、归纳推理 B类比推理、演绎推理C归纳推理、类比推理 D归纳推理、演绎推理答案 A解析 (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理故选 A.2把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A27 B28 C29 D30答案 B解析 观察归纳可知第 n 个三角形数为1234n，第七个三角形数为28.32018·太原模拟观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10( )A121 B123 C231 D211答案 B解析 令 ananbn，则 a11，a23，a34，a47，得 an2anan1，从而a618，a729，a847，a976，a10123.42018·临沂期末已知 n2 且 nN*，对 n2 进行“分拆”：22(1,3)，32(1,3,5)，42(1,3,5,7)，那么 289 的“分拆”所得的中位数是( )A29 B21 C19 D17答案 D解析 自然数 n2 的分裂数中最大的数是 2n1.289 分裂的数中最大的数是 2×17133，289 的“分拆”所得的数的中位数是17.故选 D.11 / 1552018·南昌模拟已知13232,1323332,132333432，若13233343n33025，则 n( )A8 B9 C10 D11答案 C解析 132322，13233322，1323334322，132333n32，13233343n33025，3025，n2(n1)2(2×55)2，n(n1)110，解得 n10.6若等差数列an的公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列为等差数列，公差为.类似，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前 n 项的积为 Tn，则等比数列的公比为( )A. Bq2 C. D.nq答案 C解析 由题设有，Tnb1·b2·b3··bnb1·b1q·b1q2··b1qn1bq12(n1)bq) . b1q) ，等比数列的公比为，故选 C.72018·南通模拟将自然数 0,1,2，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从 2016 到 2018 的箭头方向是( )答案 A解析 从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的12 / 15走向是一样的，比如说，01，箭头垂直指下，45，箭头也是垂直指下，89 也是如此，而 20164×504，所以 20162017 也是箭头垂直指下，之后 20172018 的箭头是水平向右故选 A.8中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外 ”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613 用算筹表示就是，则 5288 用算筹可表示为_答案 解析 根据题意知，5288 用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的 2，横式的 8，纵式的 8，即.92018·常州模拟36 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 3622×32，所以 36 的所有正约数之和为(1332)(22×32×32)(2222×322×32)(1222)(1332)91，参照上述方法，可求得 200 的所有正约数之和为_答案 465解析 类比求 36 的所有正约数之和的方法，200 的所有正约数之和可按如下方法求得：因为 20023×52，所以 200 的所有正约数之和为(122223)(1552)465.10如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意 x1，x2，xn，都有f.若 ysinx 在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC 中，sinAsinBsinC 的最大值是_13 / 15答案 3 32解析 由题意知，凸函数满足f，又 ysinx 在区间(0，)上是凸函数，则sinAsinBsinC3sin3sin.B 级 知能提升12018·徐州模拟观察下列事实：|x|y|1 的不同整数解(x，y)的个数为 4，|x|y|2 的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|y|3 的不同整数解(x，y)的个数为 12，则|x|y|20 的不同整数解(x，y)的个数为( )A76 B80 C86 D92答案 B解析 由|x|y|1 的不同整数解的个数为 4，|x|y|2的不同整数解的个数为 8，|x|y|3 的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|y|n 的不同整数解的个数为 4n，故|x|y|20 的不同整数解的个数为 80.故选 B.22018·中山模拟古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A289 B1024 C1225 D1378答案 C解析 观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为an，则a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)，14 / 15an123n，观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为bn，则 bnn2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得 n 都为正整数的只有 1225.32018·洛阳期末设 x>0，由不等式x2，x3，x4，推广到 xn1，则 a( )A2n B2n Cn2 Dnn答案 D解析 设 x>0，由不等式 x2，x3，x4，推广到 xn1，所以 ann，故选 D.4在锐角三角形 ABC 中，求证：sinAsinBsinC>cosAcosBcosC.证明 ABC 为锐角三角形，AB>，A>B，ysinx 在上是增函数，sinA>sincosB，同理可得 sinB>cosC，sinC>cosA，sinAsinBsinC>cosAcosBcosC.5在 RtABC 中，ABAC，ADBC 于 D，求证：，那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由解 如图，由射影定理得AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2DC·BC，故.在四面体 ABCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AH底面 BCD，垂足为 H.则.证明：连接 BH 并延长交 CD 于 E，连接 AE.15 / 15AB，AC，AD 两两垂直，AB平面 ACD，又AE平面 ACD，ABAE，在 RtABE 中，1 AH2又易证 CDAE，故在 RtACD 中，把式代入式，得.