高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第5节直接证明与间接证明教师用书文新人教A版.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 6 6 章不等式推理与章不等式推理与证明第证明第 5 5 节直接证明与间接证明教师用书文新人教节直接证明与间接证明教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件思维过程由因导果执果索因框图表示PQ1Q1Q2QnQQP1P1P2得到一个明显 成立的条件书写格式因为，所以或由，得要证，只需证，即证2.间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)2 / 12(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件( )(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾( )(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程( )答案 (1) (2)× (3)× (4)2要证明b，则与的大小关系是_> >0，bx ax>.3 / 125(教材改编)在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 A，B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，则ABC的形状为_三角形等边 由题意 2BAC，又 ABC，B，又 b2ac，由余弦定理得 b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC 为等边三角形综合法已知正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F 分别为 D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E 四点共面；(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线证明 (1)如图所示，因为 EF 是D1B1C1 的中位线，所以 EFB1D1.2 分在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，B1D1BD，所以 EFBD，4 分所以 EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面.5 分(2)在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，设平面 A1ACC1 确定的平面为，又设平面 BDEF 为 .因为 QA1C1，所以 Q.又 QEF，所以 Q，则 Q 是 与 的公共点.8 分同理，P 点也是 与 的公共点.9 分所以 PQ.4 / 12又 A1CR，所以 RA1C，则 R 且 R，则 RPQ，故 P，Q，R 三点共线.12 分规律方法 综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用变式训练 1 已知函数 f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求 a，b 的值；(2)证明：f(x)g(x)解 (1)f(x)，g(x)bxx2，2 分由题意得Error!解得 a0，b1.5 分(2)证明：令 h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x>1)h(x)x2x1.8 分所以 h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即 f(x)g(x).12 分分析法已知 a>0，求证：a2.【导学号：31222227】证明 要证a2，只需要证2a.2 分因为 a>0，故只需要证 22，5 / 12即 a244a2222，8 分从而只需要证 2，只需要证 42，即 a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.12 分规律方法 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法2分析法的特点和思路是“执果索因” ，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性变式训练 2 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.求证：.证明 要证，即证3，也就是1，3 分只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证 c2a2acb2，5 分又ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，10 分即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2 成立于是原等式成立.12 分反证法设an是公比为 q 的等比数列(1)推导an的前 n 项和公式；6 / 12(2)设 q1，证明数列an1不是等比数列【导学号：31222228】解 (1)设an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sna1a1a1na1；当 q1 时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn5 分(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1·a1qk1a1qk1a1qk1.8 分a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列.12 分规律方法 用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)变式训练 3 已知 a1，求证三个方程：7 / 12x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0 中至少有一个方程有实根证明 假设三个方程都没有实数根，则Error!6 分ab>b2C.a bB B a2a2ababa(aa(ab)b)，a0，a2>ab.又 abb2b(ab)>0，ab>b2，由得 a2>ab>b2.4分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a>b>c，且abc0，求证0Bac>09 / 12C(ab)(ac)>0D(ab)(ac)0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.5设 x，y，z>0，则三个数，( )A都大于 2B至少有一个大于 2C至少有一个不小于 2D至少有一个不大于 2C C 因为因为 x>0x>0，y>0y>0，z>0z>0，所以6，当且仅当 xyz 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.二、填空题6用反证法证明“若 x210，则 x1 或 x1”时，应假设_x1 且 x1 “x1 或 x1”的否定是“x1 且x1” 7设 a>b>0，m，n，则 m，n 的大小关系是_. 【导学号：31222229】ma0，显然成立8下列条件：ab>0，ab0，b>0，a0，且>0，即 a，b 不为 0 且同号即可，故有 3 个三、解答题9已知 ab>0，求证：2a3b32ab2a2b.【导学号：31222231】证明 要证明 2a3b32ab2a2b 成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即 2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.8 分ab>0，ab0，ab>0,2ab>0，从而(ab)(ab)(2ab)0 成立，2a3b32ab2a2b.12 分10.(2017·南昌一模)如图 6­5­1，四棱锥 S­ABCD 中，SD底面 ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，M，N 分别为SA，SC 的中点，E 为棱 SB 上的一点，且 SE2EB.图 6­5­1(1)证明：MN平面 ABCD；(2)证明：DE平面 SBC.证明 (1)连接 AC，M，N 分别为SA，SC 的中点，MNAC，又MN平面 ABCD，AC平面 ABCD，MN平面 ABCD.5 分(2)连接11 / 12BD，BD212122，BC212(21)22，BD2BC2224DC2，BDBC.又 SD底面 ABCD，BC底面 ABCD，SDBC，SDBDD，BC平面 SDB.8 分DE平面 SDB，BCDE.又 BS，当 SE2EB 时，EB，在EBD 与DBS 中，.10 分又EBDDBS，EBDDBS，DEBSDB90°，即 DEBS，BSBCB，DE平面 SBC.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1已知函数 f(x)x，a，b 是正实数，Af，Bf()，Cf，则 A，B，C 的大小关系为( ) 【导学号：31222232】AABC BACBCBCADCBAA A ，又，又 f(x)f(x)x x 在在 R R 上是减函数上是减函数ff()f，即 ABC.2在不等边三角形 ABC 中，a 为最大边，要想得到A 为钝角的结论，三边 a，b，c 应满足_a2>b2c2 由余弦定理 cos Ab2c2.3若 f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数 h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由解 (1)由题设得 g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增.2 分由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即 b2bb，解得 b1 或 b3.因为 b>1，所以 b3.5 分(2)假设函数 h(x)在区间a，b(a>2)上是“四维光军”函数，因为 h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即 10 分解得 ab，这与已知矛盾故不存在.12 分