高考数学 25个必考点 专题21 抛物线检测.doc
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高考数学 25个必考点 专题21 抛物线检测.doc
1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学精选高考数学 2525 个必考点个必考点 专题专题 2121 抛物线抛物线检测检测一、基础过关题一、基础过关题1.(2018 全国卷 III)已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于,两点若,则_【答案】【解析】依题意得,抛物线的焦点为,故可设直线,联立消去得,设, ,则, ,.又, ,.2(2017·昆明调研)已知抛物线 C 的顶点是原点 O,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,经过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点,如果·12,那么抛物线 C 的方程为( )2 / 12Ax28y Bx24yCy28x Dy24x【答案】 C3已知抛物线 y22px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1 Cx2 Dx2【答案】 B【解析】 y22px(p>0)的焦点坐标为(,0),过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx,即 xy,将其代入 y22px,得 y22pyp2,即 y22pyp20.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y22p,p2,抛物线的方程为 y24x,其准线方程为 x1.4已知抛物线 y22px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于( )3 / 12A4 B4 Cp2 Dp2【答案】 A5.如图,过抛物线 y22px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点A、B,交其准线 l 于点 C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则此抛物线的方程为( )Ay29xBy26xCy23xDy2x【答案】 C【解析】 如图,分别过 A、B 作 AA1l 于 A1,BB1l 于 B1,6抛物线 y24x 的焦点为 F,点 P(x,y)为该抛物线上的动点,若点 A(1,0),则的最小值是( )A. B. C. D.Error!4 / 12【答案】 B【解析】 抛物线 y24x 的准线方程为 x1,如图,过 P 作 PN 垂直直线 x1 于 N,由抛物线的定义可知|PF|PN|,连接 PA,在 RtPAN 中,sinPAN,当最小时,sinPAN 最小,即PAN 最小,即PAF 最大,此时,PA 为抛物线的切线,设 PA 的方程为 yk(x1),联立得 k2x2(2k24)xk20,所以 (2k24)24k40,解得 k±1,所以PAFNPA45°,Error!cosNPA,故选 B. 7设 F 为抛物线 C:y23x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|_.5 / 12【答案】 128已知抛物线 C:y22px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为的直线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B,若,则 p_.【答案】 2【解析】 如图, 由 AB 的斜率为,知60°,又,M 为 AB 的中点过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P,则ABP60°,BAP30°,|BP|AB|BM|.M 为焦点,即1,p2.9已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为,E 的右焦点与抛物线C:y28x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|_.【答案】 66 / 12【解析】 抛物线 y28x 的焦点为(2,0),准线方程为 x2.设椭圆方程为1(a>b>0),由题意,c2,可得 a4,b216412.故椭圆方程为1.把 x2 代入椭圆方程,解得 y±3.从而|AB|6. 10(2016·沈阳模拟)已知过抛物线 y22px(p>0)的焦点,斜率为2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则抛物线 C的方程为( )Ay24x 或 y28x By22x 或 y28xCy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x7 / 12【答案】 C2.设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A,B 两点,与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是_【答案】 (2,4)【解析】 如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则两式相减得,(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当 l 的斜率 k 不存在时,符合条件的直线 l 必有两条3设 P,Q 是抛物线 y22px(p>0)上相异两点,P,Q 到 y 轴的距离的积为 4,且·0.(1)求该抛物线的标准方程;(2)过点 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R,与 x 轴的交点为 T,且Q 为线段 RT 的中点,试求弦 PR 长度的最小值【答案】(1)该抛物线的方程为 y22x;(2) |PR|最小值为 4.8 / 12【解析】(1)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),·0,则 x1x2y1y20.又点 P,Q 在抛物线上,y2px1,y2px2,代入得 1·2y1y20,y1y24p2,|x1x2|4p2.又|x1x2|4,4p24,p1,抛物线的标准方程为 y22x.(2)设直线 PQ 过点 E(a,0)且方程为 xmya,联立方程组消去 x 得 y22my2a0,设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b,0),则可设直线 PR 的方程为xnyb,并设 R(x3,y3),同理可知,Error!由可得.由题意得,Q 为线段 RT 的中点,y32y2,b2a.又由(1)知,y1y24,代入,9 / 12可得2a4,a2,b4,y1y38,|PR|y1y3|·2·4.当 n0,即直线 PR 垂直于 x 轴时,|PR|取最小值 4.4.如图,由部分抛物线:y2mx1(m>0,x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线 C”,若“黄金抛物线 C”经过点(3,2)和(,)(1)求“黄金抛物线 C”的方程;(2)设 P(0,1)和 Q(0,1),过点 P 作直线 l 与“黄金抛物线 C”相交于 A,P,B 三点,问是否存在这样的直线 l,使得 QP 平分AQB?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由【答案】(1) 黄金抛物线 C 的方程为 y2x1(x0)和x2y21(x0);(2) 存在直线 l:y(1)x1,使得 QP 平分AQB.(2)假设存在这样的直线 l,使得 QP 平分AQB,显然直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l:ykx1,联立消去 y,得 k2x2(2k1)x0,xB,yB,即 B(,),kBQ,10 / 12联立消去 y,得(k21)x22kx0,xA,yA,即 A(,),kAQ,QP 平分AQB,kAQkBQ0,0,解得 k1±,由图形可得 k1应舍去,k1,存在直线 l:y(1)x1,使得 QP 平分AQB.5. (2018 高考北京卷 19)已知抛物线 C:=2px 经过点(1,2) 过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,且直线PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N()求直线 l 的斜率的取值范围;()设 O 为原点,求证:为定值()设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由(I)知, 直线 PA 的方程为 y2=令 x=0,得点 M 的纵坐标为同理得点 N 的纵坐标为11 / 12由,得, 所以所以为定值 6 (2018 高考浙江卷 21)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y2=4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上()设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴;()若 P 是半椭圆 x2+=1(x<0)上的动点,求PAB 面积的取值范围()由()可知所以, 因此,的面积因为,所以因此,面积的取值范围是点评本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位点评本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位12 / 12置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。