高考数学 25个必考点 专题21 抛物线检测.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学精选高考数学 2525 个必考点个必考点 专题专题 2121 抛物线抛物线检测检测一、基础过关题一、基础过关题1.（2018 全国卷 III）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_【答案】【解析】依题意得，抛物线的焦点为，故可设直线，联立消去得，设， ，则， ，.又， ，.2(2017·昆明调研)已知抛物线 C 的顶点是原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，经过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，如果·12，那么抛物线 C 的方程为( )2 / 12Ax28y Bx24yCy28x Dy24x【答案】 C3已知抛物线 y22px(p>0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1 Cx2 Dx2【答案】 B【解析】 y22px(p>0)的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx，即 xy，将其代入 y22px，得 y22pyp2，即 y22pyp20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22p，p2，抛物线的方程为 y24x，其准线方程为 x1.4已知抛物线 y22px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )3 / 12A4 B4 Cp2 Dp2【答案】 A5.如图，过抛物线 y22px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点A、B，交其准线 l 于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为( )Ay29xBy26xCy23xDy2x【答案】 C【解析】 如图，分别过 A、B 作 AA1l 于 A1，BB1l 于 B1，6抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P(x，y)为该抛物线上的动点，若点 A(1,0)，则的最小值是( )A. B. C. D.Error!4 / 12【答案】 B【解析】 抛物线 y24x 的准线方程为 x1，如图，过 P 作 PN 垂直直线 x1 于 N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接 PA，在 RtPAN 中，sinPAN，当最小时，sinPAN 最小，即PAN 最小，即PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设 PA 的方程为 yk(x1)，联立得 k2x2(2k24)xk20，所以 (2k24)24k40，解得 k±1，所以PAFNPA45°，Error!cosNPA，故选 B. 7设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|_.5 / 12【答案】 128已知抛物线 C：y22px(p>0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为的直线与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p_.【答案】 2【解析】 如图， 由 AB 的斜率为，知60°，又，M 为 AB 的中点过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P，则ABP60°，BAP30°，|BP|AB|BM|.M 为焦点，即1，p2.9已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|_.【答案】 66 / 12【解析】 抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，准线方程为 x2.设椭圆方程为1(a>b>0)，由题意，c2，可得 a4，b216412.故椭圆方程为1.把 x2 代入椭圆方程，解得 y±3.从而|AB|6. 10(2016·沈阳模拟)已知过抛物线 y22px(p>0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线 C的方程为( )Ay24x 或 y28x By22x 或 y28xCy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x7 / 12【答案】 C2.设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是_【答案】 (2,4)【解析】 如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条3设 P，Q 是抛物线 y22px(p>0)上相异两点，P，Q 到 y 轴的距离的积为 4，且·0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R，与 x 轴的交点为 T，且Q 为线段 RT 的中点，试求弦 PR 长度的最小值【答案】(1)该抛物线的方程为 y22x；(2) |PR|最小值为 4.8 / 12【解析】(1)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，·0，则 x1x2y1y20.又点 P，Q 在抛物线上，y2px1，y2px2，代入得 1·2y1y20，y1y24p2，|x1x2|4p2.又|x1x2|4，4p24，p1，抛物线的标准方程为 y22x.(2)设直线 PQ 过点 E(a,0)且方程为 xmya，联立方程组消去 x 得 y22my2a0，设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b,0)，则可设直线 PR 的方程为xnyb，并设 R(x3，y3)，同理可知，Error!由可得.由题意得，Q 为线段 RT 的中点，y32y2，b2a.又由(1)知，y1y24，代入，9 / 12可得2a4，a2，b4，y1y38，|PR|y1y3|·2·4.当 n0，即直线 PR 垂直于 x 轴时，|PR|取最小值 4.4.如图，由部分抛物线：y2mx1(m>0，x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线 C”，若“黄金抛物线 C”经过点(3,2)和(，)(1)求“黄金抛物线 C”的方程；(2)设 P(0,1)和 Q(0，1)，过点 P 作直线 l 与“黄金抛物线 C”相交于 A，P，B 三点，问是否存在这样的直线 l，使得 QP 平分AQB？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由【答案】(1) 黄金抛物线 C 的方程为 y2x1(x0)和x2y21(x0)；(2) 存在直线 l：y(1)x1，使得 QP 平分AQB.(2)假设存在这样的直线 l，使得 QP 平分AQB，显然直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：ykx1，联立消去 y，得 k2x2(2k1)x0，xB，yB，即 B(，)，kBQ，10 / 12联立消去 y，得(k21)x22kx0，xA，yA，即 A(，)，kAQ，QP 平分AQB，kAQkBQ0，0，解得 k1±，由图形可得 k1应舍去，k1，存在直线 l：y(1)x1，使得 QP 平分AQB.5. （2018 高考北京卷 19）已知抛物线 C：=2px 经过点（1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，求证：为定值（）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由（I）知， 直线 PA 的方程为 y2=令 x=0，得点 M 的纵坐标为同理得点 N 的纵坐标为11 / 12由，得， 所以所以为定值 6 （2018 高考浙江卷 21）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上（）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；（）若 P 是半椭圆 x2+=1(x<0)上的动点，求PAB 面积的取值范围（）由（）可知所以， 因此，的面积因为，所以因此，面积的取值范围是点评本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位点评本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位12 / 12置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。