高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入学案.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 1111 章算法初步章算法初步复数推理与证明第复数推理与证明第 2 2 讲数系的扩充与复数的引入学案讲数系的扩充与复数的引入学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 复数的有关概念1复数的概念形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 abi 为实数，若 b0，则 abi 为虚数，若 a0，b0，则 abi 为纯虚数2复数相等abicdiac 且 bd(a，b，c，dR)3共轭复数abi 与 cdi 共轭ac 且 bd(a，b，c，dR)4复数的模向量的模 r 叫做复数 zabi 的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，rR)考点 2 复数的几何意义考点 3 复数的运算设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则1加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；2减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；3乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i；4除法：i(cdi0)必会结论1(1±i)2±2i；i；i.2baii(abi)2 / 123i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)4i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)方程 x210 没有解( )(2)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.( )(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模( )(4)已知复数 z 的共轭复数12i，则 z 在复平面内对应的点位于第三象限( )(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )答案 (1)× (2)× (3) (4)× (5)×22017·全国卷复平面内表示复数 zi(2i)的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 C解析 zi(2i)12i，复数 z12i 所对应的复平面内的点为 Z(1，2)，位于第三象限故选 C.32017·全国卷( )B12iA12i D2iC2i 答案 D解析 2i.故选 D.42018·榆林模拟设复数 z2i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为，则|(1z)·|等于( )A. B2 C5 D.103 / 12答案 D解析 z2i，2i，|(1z)·|(12i)·(2i)|3i|，故选 D.52017·江苏高考已知复数 z(1i)(12i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是_答案 10解析 z(1i)(12i)12ii213i，|z|.|z|1i|12i|×.解法二：62018·湖北高中联考已知复数 z1i(i 是虚数单位)，则z2 的共轭复数是_答案 13i解析 z2(1i)22i1i2i13i，其共轭复数是 13i.板块二 典例探究·考向突破考向 复数的有关概念例 1 (1)2017·全国卷下列各式的运算结果为纯虚数的是( )Ai(1i)2 Bi2(1i)C(1i)2 Di(1i)答案 C解析 A 项，i(1i)2i(12ii2)i×2i2，不是纯虚数B 项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数C 项，(1i)212ii22i，是纯虚数D 项，i(1i)ii21i，不是纯虚数故选 C.(2)2017·天津高考已知 aR，i 为虚数单位，若为实数，则a 的值为_答案 2解析 aR，i 为实数，0，a2.4 / 12触类旁通求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解【变式训练 1】 (1)若复数 za21(a1)i(aR)是纯虚数，则的虚部为( )A Bi C. D.i答案 A解析 由题意得所以 a1，所以i，根据虚部的概念，可得的虚部为.故选 A.(2)2018·福州调研已知 mR，i 为虚数单位，若>0，则m( )A1 B. C. D2答案 B解析 由已知得，由>0，可得 12m0，则 m，选 B.考向 复数的几何意义例 2 (1)2017·北京高考若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )B(，1)A(，1) D(1，)C(1，) 答案 B解析 (1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，解得 a1.故选 B.(2)2018·贵阳模拟已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z在复平面上对应的点在 y 轴上，则 a_.5 / 12答案 3解析 z，由 a30，得 a3.触类旁通复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值【变式训练 2】 (1)2018·邯郸模考已知 i 是虚数单位，若复数 z在复平面内对应的点在第四象限，则实数 a 的值可以是( )A2 B1 C2 D3答案 A解析 z，因为复数 z在复平面内对应的点在第四象限，所以解得41 Ba1.故选 A.核心规律1实轴上的点都表示实数除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2设 zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法3在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运7 / 12算法则进行，除法法则需分母实数化满分策略1判定复数是不是实数，仅注意虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不对了3注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若 z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z2<0 在复数范围内有可能成立. 板块三 启智培优·破译高考数学思想系列 12解决复数问题的实数化思想2018·金华模拟已知 zC，解方程 z·3i13i.解题视点 设 zabi(a，bR)，根据已知中恒等的条件，列出一组含 a，b 的方程，解方程组使问题获得解决解 设 zabi(a，bR)，则(abi)(abi)3i(abi)13i，即 a2b23b3ai13i.根据复数相等的定义，得Error!解之得或z1 或 z13i.答题启示 1 复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.2 本题求解的关键是先把 z 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法.3 本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.跟踪训练2018·金版创新设复数 z 满足 z|2i，则 z( )Ai B.i Ci D.i答案 B解析 设 zabi(a，bR)，由已知得 abi2i，由复8 / 12数相等可得故 zi，故选 B.板块四 模拟演练·提能增分A 级 基础达标12017·全国卷设复数 z 满足(1i)z2i，则|z|( )A. B. C. D2答案 C解析 由(1i)z2i，得 z1i，|z|.故选 C.2i(1i)2，解法二：由(1i)z2i(1i)2，得 z1i，|z|.故选 C.22018·湖南模拟已知1i(i 为虚数单位)，则复数 z( )A1i B1i C1i D1i答案 D解析 由1i，得 z1i.32018·江西模拟已知复数 z1cos23°isin23°和复数z2cos37°isin37°，则 z1·z2 为( )B.iA.i D.iC.i 答案 A解析 z1·z2(cos23°isin23°)·(cos37°isin37°)cos60°isin60°i.故选 A.4设复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，则( )B.iA1i D1iC1i 答案 B解析 因为复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，所以 z22i，所以i.故选 B.9 / 1252018·天津模拟已知复数 z 满足(i1)(zi3)2i(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( )Ai1 B12i C1i D12i答案 B解析 依题意可得 zi3i(i1)i12i，其共轭复数为 12i，故选 B.6已知 a 为实数，若复数 z(a21)(a1)i 为纯虚数，则( )A1 B0 C1i D1i答案 D解析 z(a21)(a1)i 为纯虚数，则有a210，a10，得 a1，则有1i，选 D.72018·郴州模拟设 z1i(i 是虚数单位)，若复数z2在复平面内对应的向量为，则向量的模是( )A1 B. C. D2答案 B解析 z1i(i 是虚数单位)，复数z2(1i)22i1i.向量的模：.故选 B.82018·温州模拟满足i(i 为虚数单位)的复数是_答案 i 2解析 由已知得 zizi，则 z(1i)i，即 z.9若1bi，其中 a，b 都是实数，i 是虚数单位，则|abi|_.答案 5解析 a，bR，且1bi，则 a(1bi)(1i)(1b)(1b)i，Error!10 / 12|abi|2i|.102017·浙江高考已知 a，bR，(abi)234i(i 是虚数单位)，则 a2b2_，ab_.答案 5 2解析 (abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得解得 a24，b21.所以 a2b25，ab2.B 级 知能提升12018·成都模拟已知复数 z126i，z22i，若z1，z2 在复平面内对应的点分别为 A，B，线段 AB 的中点 C 对应的复数为 z，则|z|( )A. B5 C2 D217答案 A解析 复数 z126i，z22i，若 z1，z2 在复平面内对应的点分别为 A(2,6)，B(0，2)，线段 AB 的中点 C(1，2)对应的复数为 z12i，则|z|.故选 A.22017·全国卷设有下面四个命题p1：若复数 z 满足R，则 zR；p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2R，则 z12；p4：若复数 zR，则R.其中的真命题为( )Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案 B解析 设 zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于 p1，若R，即R，则 b0zabiaR，所以 p1为真命题对于 p2，若 z2R，即(abi)2a22abib2R，则 ab0.当11 / 12a0，b0 时，zabibi/ R，所以 p2 为假命题对于 p3，若 z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则 a1b2a2b10.而 z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为 a1b2a2b10/ a1a2，b1b2，所以 p3 为假命题对于 p4，若 zR，即 abiR，则 b0abiaR，所以 p4 为真命题故选 B.32018·厦门模拟已知复数 zxyi，且|z2|，则的最大值为_答案 3解析 |z2|，(x2)2y23.由图可知 max.4已知复数 zbi(bR)，是实数，i 是虚数单位(1)求复数 z；(2)若复数(mz)2 所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范围解 (1)因为 zbi(bR)，所以i.又因为是实数，所以0，所以 b2，即 z2i.(2)因为 z2i，mR，所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2(m24)4mi，又因为复数(mz)2 所表示的点在第一象限，所以解得 m<2，即 m(，2)5若虚数 z 同时满足下列两个条件：z是实数；z3 的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明理由解 存在设 zabi(a，bR，b0)，则 zabi5 abiabi.12 / 12又 z3a3bi 实部与虚部互为相反数，z是实数，根据题意有Error!因为 b0，所以Error!解得或Error!所以 z12i 或 z2i.