高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算教师用书文新人教A版.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数及其章函数导数及其应用第应用第 1010 节变化率与导数导数的计算教师用书文新人教节变化率与导数导数的计算教师用书文新人教 A A版版考纲传真 1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数 yC(C 为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数：定义：称函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率 为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或limx0y|xx0 即 f(x0) .几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)函数 f(x)的导函数：称函数 f(x) 为 f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ*)f(x)n·xn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_x2 / 12f(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)1 xln af(x)ln xf(x)1 x3.导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同( )(2)求 f(x0)时，可先求 f(x0)再求 f(x0)( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点( )(4)若 f(a)a32axx2，则 f(a)3a22x.( )答案 (1)× (2)× (3) (4) 2(教材改编)有一机器人的运动方程为 s(t)t2(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为( ) 【导学号：31222075】A. B. C. D.13 4D 由题意知，机器人的速度方程为 v(t)s(t)2t，故当 t2 时，机器人的瞬时速度为 v(2)2×2. 3(2016·天津高考)已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则 f(0)的值为_3 因为 f(x)(2x1)ex，3 / 12所以 f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以 f(0)3e03.4(2016·豫北名校期末联考)曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_5xy20 y5ex，所求曲线的切线斜率ky5e05，切线方程为 y(2)5(x0)，即5xy20.4(2015·全国卷)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.1 f(x)3ax21，f(1)3a1.又 f(1)a2，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得 a1.导数的计算求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)y.解 (1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex·ex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)ycos xexcos xex ex2.4 / 12规律方法 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错2如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导变式训练 1 (1)f(x)x(2 017ln x)，若 f(x0)2 018，则 x0 等于( )Ae2 B1 Cln 2 De(2)(2015·天津高考)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_(1)B (2)3 (1)f(x)2 017ln xx×2 018ln x，故由 f(x0)2 018，得 2 018ln x02 018，则 ln x00，解得 x01.(2)f(x)aa(1ln x)由于 f(1)a(1ln 1)a，又 f(1)3，所以 a3.导数的几何意义角度 1 求切线方程已知曲线 yx3.(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程思路点拨 (1)点 P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点 P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为，由此求出切线方程，再把点 P(2,4)代入切线方程求 x0.5 / 12解 (1)根据已知得点 P(2,4)是切点且 yx2，在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y4，3 分曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.5 分(2)设曲线 yx3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A，则切线的斜率为 yx，切线方程为 yx(xx0)，即 yx·xx.7 分点 P(2,4)在切线上，42xx，即 x3x40，9 分xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 xy20 或 4xy40.12 分角度 2 求切点坐标若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线2xy10，则点 P 的坐标是_【导学号：31222076】(e，e) 由题意得 yln xx·1ln x，直线2xy10 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1ln m2，解得 me，所以 neln ee，即点 P 的坐标为(e，e)角度 3 求参数的值(1)已知直线 yxb 与曲线 yxln x 相切，则 b的值为( )6 / 12A2 B1CD1(2)(2017·西宁复习检测(一)已知曲线 y在点(3,2)处的切线与直线 axy10 垂直，则 a( )A2 B2 C D.1 2(1)B (2)A (1)设切点坐标为(x0，y0)，y，则 y|xx0，由得 x01，切点坐标为，又切点在直线 yxb 上，故b，得 b1.(2)由 y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为，又切线与直线 axy10 垂直，则 a2，故选 A.规律方法 1.导数 f(x0)的几何意义就是函数 yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点2曲线在点 P 处的切线是以点 P 为切点，曲线过点 P 的切线则点 P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标易错警示：当曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于 x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 xx0.思想与方法1f(x0)是函数 f(x)在 xx0 处的导数值；(f(x0)是函数值 f(x0)的导数，而函数值 f(x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意变换的等价性7 / 12易错与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点课时分层训练课时分层训练( (十三十三) )变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)一、选择题1函数 f(x)(x2a)(xa)2 的导数为( )【导学号：31222077】A2(x2a2) B2(x2a2)C3(x2a2)D3(x2a2)C f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2) 2已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)等于( )Ae B1 C1 DeB 由 f(x)2xf(1)ln x，得 f(x)2f(1)，8 / 12f(1)2f(1)1，则 f(1)1. 3曲线 ysin xex 在点(0,1)处的切线方程是( )Ax3y30Bx2y20C2xy10D3xy10C ycos xex，故切线斜率为 k2，切线方程为y2x1，即 2xy10. 4(2017·郑州模拟)已知曲线 y3ln x 的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A3 B2 C1 D.1 2B 因为 y3ln x，所以 y.再由导数的几何意义，有，解得 x2 或 x3(舍去)5已知 f(x)x32x2x6，则 f(x)在点 P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )【导学号：31222078】A4 B5 C. D.13 2C f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为 y28(x1)，即 8xy100，令 x0，得 y10，令 y0，得 x，所求面积 S××10.二、填空题6(2017·郑州二次质量预测)曲线 f(x)x3x3 在点P(1,3)处的切线方程是_9 / 122xy10 由题意得 f(x)3x21，则 f(1)3×1212，即函数 f(x)的图象在点 P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为 y32(x1)，即 2xy10.7若曲线 yax2ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则a_. 【导学号：31222079】因为 y2ax，所以 y|x12a1.因为曲线在点1 2(1，a)处的切线平行于 x 轴，故其斜率为 0，故 2a10，a.8如图 2­10­1，yf(x)是可导函数，直线 l：ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，其中 g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)_.图 2­10­10 由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于，即f(3).又因为 g(x)xf(x)，所以 g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知 f(3)1，所以 g(3)13×0.三、解答题9求下列函数的导数：(1)yxnlg x；(2)y；(3)y.解 (1)ynxn1lg xxn·1 xln 10xn1.(2)y10 / 12(x1)(2x2)(x3)x24x33x4.(3)yxnsin xxnsin x x2nxncos xnxn1sin x x2n.10已知点 M 是曲线 yx32x23x1 上任意一点，曲线在M 处的切线为 l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线 l 的倾斜角 的取值范围解 (1)yx24x3(x2)211，2 分所以当 x2 时，y1，y，所以斜率最小的切线过点，4 分斜率 k1，所以切线方程为 xy0.6 分(2)由(1)得 k1，9 分所以 tan 1，所以 .12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016·山东高考)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质，下列函数中具有 T 性质的是( )Aysin xByln x11 / 12CyexDyx3A 若 yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)·f(x2)1.对于 A：ycos x，若有 cos x1·cos x21，则当x12k，x22k(kZ)时，结论成立；对于 B：y，若有·1，即 x1x21，x>0，不存在 x1，x2，使得 x1x21；对于 C：yex，若有 ex1·ex21，即 ex1x21.显然不存在这样的 x1，x2；对于 D：y3x2，若有 3x·3x1，即 9xx1，显然不存在这样的 x1，x2.综上所述，选 A.2(2016·全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ex1x，则曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_2xy0 设 x0，则x0，f(x)ex1x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)ex1x.当 x0 时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程为 y22(x1)，即 2xy0.3已知函数 f(x)x，g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线 yg(x)在 x1 处的切线斜率相同，求 a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线12 / 12【导学号：31222080】解 根据题意有 f(x)1，g(x).2 分曲线 yf(x)在 x1 处的切线斜率为 f(1)3，曲线 yg(x)在 x1 处的切线斜率为 g(1)a，所以 f(1)g(1)，即 a3.6 分曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为yf(1)3(x1)，所以 y13(x1)，即切线方程为 3xy40.9 分曲线 yg(x)在 x1 处的切线方程为yg(1)3(x1)，所以 y63(x1)，即切线方程为 3xy90，所以，两条切线不是同一条直线.12 分