高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书文新人教A版.doc

1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 3 3 章三角函数解三章三角函数解三角形第角形第 1 1 节任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书文新节任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书文新人教人教 A A 版版深研高考·备考导航 为教师授课、学生学习提供丰富备考资源五年考情考点2016 年2015 年2014 年2013 年2012年任意角和弧度制及任意角的三角函数全国卷·T2同角关系、诱导公式全国卷·T2三角函数的图象和性质全国卷·T3全国卷·T14全国卷·T8全国卷·T11全国卷·T7全国卷·T9全国卷·T9全国卷·T16正弦型函数及应用全国卷·T16简单的三角恒等变换全国卷·T12全国卷·T13全国卷·T11全国卷·T6全国卷·T14全国卷·T16全国卷·T6正弦定理和余弦定理全国卷·T4全国卷·T15全国卷·T17全国卷·T16全国卷·T10全国卷·T12 / 14全国卷·T9全国卷·T17全国卷·T17全国卷·T47重点关注1三角函数、解三角形是全国卷高考命题的重点，分值为 15分或 17 分，一般是三道客观题或一道客观题、一道解答题，以中档题为主2主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新3客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识4高考命题中，三角函数常与解三角形相结合，既可以考查三角恒等变换，又可以考查正、余弦定理的综合应用，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求导学心语1立足基础，着眼于提高：立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背2突出数学思想方法：应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能3抓住关键：三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理4注意交汇：三角函数与解三角形知识的交汇渗透，这也是高3 / 14考命题的热点之一第一节第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲传真 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类Error!(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k·360°，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.(2)公式：角度与弧度的换算：a1° rad；b.1 rad°.弧长公式：lr|.扇形面积公式：Slrr2.3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义y叫做的正弦，记作 sin x叫做的余弦，记作 cos 叫做的正切，记作 tan y x各象4 / 14限符号三角函数线 有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)小于 90°的角是锐角( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然( )(3)角 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关( )(4)若 为第一象限角，则 sin cos 1.( )答案 (1)× (2)× (3) (4)2(2017·西宁复习检测(一)若 cos 0，且 sin 20，则角 的终边所在象限为( )A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限D 由 cos >0，sin 22sin cos 0 得 sin 0，则角 的终边在第四象限，故选 D.3(教材改编)已知角 的终边与单位圆的交点为 M，则 sin ( )A.B±32C.D±22B 由题意知|r|22y21，所以 y±.由三角函数定义知5 / 14sin y±.4在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A10B9C.D.D 单位圆的半径 r1,200°的弧度数是 200×，由弧度数的定义得 ，所以 l.5已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧长是 144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为_rad.12 由题意知 1.2 rad.角的有关概念及其集合表示(1)若角 是第二象限角，则是( )A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角(2)已知角 的终边在如图 3­1­1 所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角 用集合可表示为_图 3­1­1(1)C (2)(kZ) (1) 是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当 k 为偶数时，是第一象限角；当 k 为奇数时，是第三象限角综上，是第一或第三象限角(2)在0,2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所求角的集合为(kZ)规律方法 1.与角 终边相同的角可以表示为2k(kZ)的形式， 是任意角；相等的角终边一定相同，6 / 14终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用2由 所在象限，判定所在象限，应先确定的范围，并对整数 k 的奇、偶情况进行讨论变式训练 1 (1)设集合 M，N，那么( )AMNBMNCNMDMN(2)已知角 45°，在区间720°，0°内与角 有相同终边的角 _. 【导学号：31222101】(1)B (2)675°或315° (1)法一：由于M，45°，45°，135°，225°，N，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，显然有 MN，故选 B.法二：由于 M 中，x·180°45°k·90°45°(2k1)·45°，2k1 是奇数；而 N 中，x·180°45°k·45°45°(k1)·45°，k1 是整数，因此必有 MN，故选 B.(2)由终边相同的角的关系知 k·360°45°，kZ，取 k2，1，得 675°或 315°.扇形的弧长、面积公式(1)已知扇形周长为 10，面积是 4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解 (1)设圆心角是 ，半径是 r，则Error!解得(舍去)或Error!扇形的圆心角为.5 分7 / 14(2)设圆心角是 ，半径是 r，则 2rr40.7 分又 Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.9分当且仅当 r10 时，Smax100，此时2×101040，2，当 r10，2 时，扇形的面积最大.12 分规律方法 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于 R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解2利用公式：(1)lR；(2)SlR；(3)SR2.其中 R 是扇形的半径，l 是弧长，(02)为圆心角，S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量变式训练 2 若扇形的圆心角 120°，弦长 AB12 cm，则弧长 l_cm. 设扇形的半径为 r cm，如图8 33由 sin 60°，得 r4 cm，l|·r×4 cm.三角函数的定义(1)(2014·全国卷)若 tan 0，则( )Asin 0Bcos 0Csin 20Dcos 20(2)(2016·河南中原名校第三次联考)已知角 的终边经过点A(，a)，若点 A 在抛物线 yx2 的准线上，则 sin ( )AB.328 / 14CD.1 2(1)C (2)D (1)由 tan 0 知角 是第一或第三象限角，当 是第一象限角时，sin 22sin cos 0；当 是第三象限角时，sin 0，cos 0，仍有 sin 22sin cos 0，故选 C.(2)抛物线方程 yx2 可化为 x24y，抛物线的准线方程为 y1.点 A 在抛物线 yx2 的准线上，A(，1)，由三角函数的定义得 sin .规律方法 1.用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题2确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断变式训练 3 (1)(2016·山东聊城期中)设 是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos x，则 tan 2( )A.B24 7C.D12 7(2)函数 y的定义域为_(1)A (2)(kZ) (1)由三角函数的定义可得 cos .cos x，x，9 / 14又 是第二象限角，x0，故可解得 x3，cos ，sin ，tan ，tan 2.故选 A.(2)2cos x10，cos x.由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)思想与方法1在利用三角函数定义时，点 P(x，y)可取终边上任意一点，若点 P 在单位圆上，则 sin y，cos x，tan ；若|OP|r，则 sin ，cos ，tan .2三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦3利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法易错与防范1第一象限角、锐角、小于 90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角2角度制与弧度制可利用 180° rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况课时分层训练课时分层训练( (十七十七) )任意角、弧度制及任意角的三角函数任意角、弧度制及任意角的三角函数A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)10 / 14一、选择题1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400°是第四象限角；315°是第一象限角其中正确命题的个数有( )A1 个 B2 个C3 个D4 个C 是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确400°360°40°，从而正确315°360°45°，从而正确2已知弧度为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是( ) 【导学号：31222102】A2Bsin 2C.D2sin 1C 由题设知，圆弧的半径 r，圆心角所对的弧长 l2r.3(2016·湖南衡阳一中模拟)已知点 P(cos ，tan )在第三象限，则角 的终边在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限B 由题意可得则所以角 的终边在第二象限，故选 B.4(2017·河北石家庄质检)已知点 P 在角 的终边上，且0,2)，则 的值为( )A.B.2 311 / 14C.D.5 3C 因为点 P 在第四象限，根据三角函数的定义可知 tan ，则 .5已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y2x 上，则 cos 2( )【导学号：31222103】AB3 5C.D.4 5B 取终边上一点(a,2a)(a0)，根据任意角的三角函数定义，可得 cos ±，故 cos 22cos21.二、填空题6已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_. 【导学号：31222104】设扇形半径为 r，弧长为 l，则Error! 3解得7已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若P(4，y)是角 终边上一点，且 sin ，则 y_.8 因为 sin ，所以 y0，且 y264，所以 y8.8在(0,2)内，使 sin xcos x 成立的 x 的取值范围为_如图所示，找出在(0,2)内，使 sin ( 4，54)xcos x 的 x 值，sin cos ，sin cos .根12 / 14据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角 x.三、解答题9一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长 AB. 【导学号：31222105】解 设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，则解得 4 分圆心角 2.如图，过 O 作 OHAB 于 H，则AOH1 rad.8 分AH1·sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)圆心角的弧度数为 2，弦长 AB 为 2sin 1 cm.12 分10已知角 的终边上有一点 P(x，1)(x0)，且 tan x，求 sin cos .解 的终边过点 P(x，1)(x0)，tan ，2 分又 tan x，x21，即 x±1.4 分当 x1 时，sin ，cos ，因此 sin cos 0；8 分当 x1 时，sin ，cos ，因此 sin cos .故 sin cos 的值为 0 或.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2016·河北衡水二中模拟)已知角 的终边经过点13 / 14P(4,3)，函数 f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则 f 的值为( )A.B.4 5CD4 5D 由于角 的终边经过点 P(4,3)，所以 cos .再根据函数 f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得2×，所以 2，所以 f(x)sin(2x)，所以 fsincos .故选 D.2函数 y的定义域是_【导学号：31222106】(kZ) 由题意知即Error! 32k，2kx 的取值范围为2kx2k，kZ.3已知 sin 0，tan 0.(1)求 角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断 tan sin cos 的符号解 (1)由 sin 0，知 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上由 tan 0，知 在第一、三象限，故 角在第三象限，其集合为.3 分(2)由 2k2k，kZ，得 kk，kZ，故终边在第二、四象限.6 分(3)当在第二象限时，tan 0，14 / 14sin 0，cos 0，所以 tan sin cos 取正号；9 分当在第四象限时，tan 0，sin 0，cos 0，所以 tan sin cos 也取正号因此，tan sin cos 取正号.12 分