高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和学案.doc

1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 5 5 章数列第章数列第 2 2讲等差数列及其前讲等差数列及其前 n n 项和学案项和学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 等差数列的有关概念1定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d 为常数)2等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A，其中 A 叫做 a，b 的等差中项考点 2 等差数列的有关公式1通项公式：ana1(n1)d.2前 n 项和公式：Snna1d.必会结论等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若 mn2p(m，n，pN*)，则 aman2ap.(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d, 则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为 md 的等差数列(6)等差数列an的前 n 项和为 Sn, 则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为 n2d.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)2 / 13(1)等差数列的公差是相邻两项的差( )(2)若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( )(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有2an1anan2.( )(5)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的( )答案 (1)× (2)× (3)× (4) (5)2课本改编在等差数列an中，已知 a4a816，则该数列前 11 项和 S11( )A58 B88 C143 D176答案 B解析 因为an是等差数列，所以 a4a82a616a68，则该数列的前 11 项和为 S1111a688.故选 B.3设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则a7a8a9 等于( )A63 B45 C36 D27答案 B解析 S3，S6S3，S9S6 成等差数列，即 9,27，a7a8a9成等差数列，a7a8a954945.故选 B.4若等差数列an的前 5 项之和 S525，且 a23，则 a7( )A12 B13 C14 D15答案 B解析 由 S5，得 25，解得 a47，所以 732d，即d2，所以 a7a43d73×213.故选 B.5课本改编在数列an中，a12,2an12an1，则a101_.答案 52解析 由 2an12an1，得 an1an，故数列an是首3 / 13项为 2，公差为的等差数列，所以 a1012100×52.62018·苏北四市模拟在等差数列an中，已知a2a811，则 3a3a11 的值为_答案 22解析 设等差数列an的公差为 d，由题意可得a2a8112a5，则 a5，所以 3a3a113(a52d)a56d4a54×22.板块二 典例探究·考向突破考向 等差数列的基本运算例 1 (1)2017·全国卷记 Sn 为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公差为( )A1 B2 C4 D8答案 C解析 设an的公差为 d，则由得解得 d4.故选 C.(2)2018·吉林模拟已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若6a32a43a25，则 S7( )A28 B21 C14 D7答案 D解析 由 6a32a43a25，得 6(a12d)2(a13d)3(a1d)5a115d5(a13d)5，即 5a45，所以 a41，所以 S77a47.故选 D.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，4 / 13而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【变式训练 1】 (1)2016·全国卷已知等差数列an前 9项的和为 27，a108，则 a100( )A100 B99 C98 D97答案 C解析 设an的公差为 d，由等差数列前 n 项和公式及通项公式，得解得Error!ana1(n1)dn2，a100100298.故选 C.(2)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，a128，S99，则S16_.答案 72解析 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由已知，得解得Error!S1616×3×(1)72.考向 等差数列的性质命题角度 1 等差数列项的性质例 2 (1)等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则 a9a11 的值是( )A14 B15 C16 D17答案 C解析 因为an是等差数列，所以a4a6a8a10a125a8120，a824.所以a9a11a8d(a83d)a816.(2)若两个等差数列an和bn的前 n 项和分别是 Sn，Tn，已知，则_.答案 21 4解析 .命题角度 2 等差数列前 n 项和性质的应用5 / 13例 3 (1)已知等差数列an的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为( )A10 B20 C30 D40答案 A解析 设这个数列有 2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于 nd，即 25152n，故 2n10，即数列的项数为 10.故选 A.(2)2018·杭州学军中学月考设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若，则( )A. B. C. D.1 9答案 A解析 令 S31，则S63，S91236.S12S9410，.故选 A.触类旁通等差数列性质的应用技巧(1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将anam2ak(nm2k，n，m，kN*)与amanapaq(mnpq，m，n，p，qN*)相结合，可减少运算量(2)等差数列和的性质：在等差数列an中，Sn 为其前 n 项和，则数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列，且有S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an；若 n为偶数，则 S 偶S 奇；若 n 为奇数，则 S 奇S 偶a 中(中间项)考向 等差数列的判定与证明例 4 2018·辽宁大连双基测试数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；6 / 13(2)求数列的前 n 项和 Sn，并证明：>.解 (1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以 1 为首项，2 为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，所以 Snn2.证明：>(1 n1 n1)11 n1.触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 anan1 为同一常数；(2)等差中项法：验证 2an1anan2(n3，nN*)成立；(3)通项公式法：验证 anpnq；(4)前 n 项和公式法：验证 SnAn2Bn.提醒 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断【变式训练 2】 2018·昆明模拟在数列an中，a1，an12，设 bn，数列bn的前 n 项和是 Sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求 Sn；(2)比较 an 与 Sn7 的大小解 (1)证明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为 1 的等差数列由 a1，bn，得 b1，7 / 13Sn3n.(2)由(1)知，bnn1n.由 bn，得 an11.anSn73n6.当 n4 时，y3n6 是减函数，y也是减函数，当n4 时，anSn7a4S470.又a1S170，S3S11，则当 n 为多少时，Sn 最大？解题视点 可利用 Snna1d 及二次函数的性质求解；也可以利用首项 a1>0，公差 d0，所以0，S3S11 可知 d0，a80，且 SpSq(pq)，则：若 pq 为偶数，则当 n时，Sn 最大；若 pq 为奇数，则当n或 n时，Sn 最大跟踪训练9 / 13(1)2018·江西模拟已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn 达到最大的 n 值是_答案 20解析 a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当 Sn 取得最大值时，n20.(2)在等差数列an中，a17，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n8 时 Sn 取得最大值，则 d 的取值范围为_答案 (1，7 8)解析 当且仅当 n8 时 Sn 取得最大值，即解得10，a7a100，即 a8>0，又 a7a10a8a9S7，当 n8 时，an的前 n 项和最大92018·金版创新题已知数列an中，a37，a73，且是等差数列，则 a10_.答案 7 3解析 设等差数列的公差为 d，则，.是等差数列，4d，即4d，解得 d，故7d7×，解得 a10.10一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227，则该数列的公差 d_.答案 5解析 设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇，偶数项的和为 S 偶，等差数列的公差为 d.由已知条件，得解得Error!又 S 偶S 奇6d，所以 d5.B 级 知能提升12018·唐山统考已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若S1122，则 a3a7a8( )12 / 13A18 B12 C9 D6答案 D解析 设等差数列an的公差为 d，由题意得 S1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6.故选 D.22018·洛阳统考设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a70 的最大自然数 n 的值为( )A6 B7 C12 D13答案 C解析 a1>0，a6a70，a70，a1a132a70，S130 的最大自然数 n 的值为 12.故选 C.3已知等差数列an中，an0，若 n2 且an1an1a0，S2n138，则 n 等于_答案 10解析 2anan1an1，又 an1an1a0，2ana0，即 an(2an)0.an0，an2.S2n12(2n1)38，解得 n10.42018·云南模拟设数列an的前 n 项积为 Tn，且Tn2an2(nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)设 bn(1an)(1an1)，求数列bn的前 n 项和 Sn.解 (1)证明：Tn2an2，当 n1 时，T12a12，T1，即.又当 n2 时，Tn22×，得 Tn·Tn12Tn12Tn，13 / 13数列是以为首项，为公差的等差数列(2)由(1)知，数列为等差数列，(n1)，an，bn(1an)(1an1)，Sn. 5已知数列an的前 n 项和 Sn2an2n1.(1)证明：数列是等差数列；(2)若不等式 2n2n30，所以不等式 2n2n3.记 bn，b1，b2，当 n2 时，则，即 b3>b2，所以当 n3 时，<1，所以(bn)maxb3，所以 <.