高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-1函数及其表示教师用书.doc

1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数基本初等函数 I2-1I2-1 函数及其表示教师用书函数及其表示教师用书1函数与映射函数映射两集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段2 / 15函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数【知识拓展】1函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广2函数图象的特征：与 x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象3分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数( × )(3)映射是特殊的函数( × )(4)若 AR，Bx|x>0，f：xy|x|，其对应是从 A 到 B 的映射( × )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的( × )1(教材改编)若函数 yf(x)的定义域为 Mx|2x2，值域为 Ny|0y2，则函数 yf(x)的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是2,2，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是0,2，故选 B.2(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数3 / 15y10lg x 的定义域和值域相同的是( )Ayx Bylg x Cy2x Dy1x答案 D解析 函数 y10lg x 的定义域为x|x>0，值域为y|y>0，所以与其定义域和值域分别相同的函数为 y，故选 D.3已知 f()x25x，则 f(x)_.答案 (x0)解析 令t(t0)，则 f(t)5，f(x)(x0)4(2016·诸暨期末)已知函数 f(x)则 ff(0)_；若ff(x0)2，则 x0_.答案 6 2 或2解析 由题意知 f(0)4，f(4)6，设 f(x0)t，则 f(t)2，当t>0 时，t102，得 t8，当 t0时，由x0108，得 x02，当 x00 时，由 x48，得x02，所以 x02 或2.题型一 函数的概念例 1 有以下判断：f(x)与 g(x)表示同一函数；函数 yf(x)的图象与直线 x1 的交点最多有 1 个；f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 是同一函数；若 f(x)|x1|x|，则 f0.其中正确判断的序号是_答案 4 / 15解析 对于，由于函数 f(x)的定义域为x|xR 且 x0，而函数 g(x)的定义域是 R，所以二者不是同一函数；对于，若x1 不是 yf(x)定义域内的值，则直线 x1 与 yf(x)的图象没有交点，如果 x1 是 yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线 x1 与 yf(x)的图象只有一个交点，即 yf(x)的图象与直线x1 最多有一个交点；对于，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以 f(x)和 g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以 ff(0)1.综上可知，正确的判断是.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定，当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)(1)下列所给图象中函数图象的个数为( )A1 B2C3 D4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是( )Ayx1 和 yx21 x1Byx0 和 y1Cf(x)x2 和 g(x)(x1)2Df(x)和 g(x)x x2答案 (1)B (2)D解析 (1)中当 x>0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象，中当 xx0 时，y 的值有两个，因此不是函数图5 / 15象，中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象，故选B.(2)A 中两个函数的定义域不同；B 中 yx0 的 x 不能取 0；C 中两函数的对应关系不同故选 D.题型二 函数的定义域问题命题点 1 求函数的定义域例 2 (2016·临安中学一模)(1)函数 f(x)的定义域为( )A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)若函数 yf(x)的定义域为0,2，则函数 g(x)的定义域是_答案 (1)A (2)0,1)解析 (1)由题意得解得3x0.所以函数 f(x)的定义域为(3,0(2)由 02x2，得 0x1，又 x10，即 x1，所以 0x1，即 g(x)的定义域为0,1)引申探究例 2(2)中，若将“函数 yf(x)的定义域为0,2”改为“函数yf(x1)的定义域为0,2” ，则函数 g(x)的定义域为_答案 ，1)(1，解析 由函数 yf(x1)的定义域为0,2，得函数 yf(x)的定义域为1,3，令得x且 x1，6 / 15g(x)的定义域为，1)(1，命题点 2 已知函数的定义域求参数范围例 3 (1)若函数 f(x)的定义域为 R，则 a 的取值范围为_2221xax a(2)若函数 y的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_答案 (1)1,0 (2)0,3)解析 (1)因为函数 f(x)的定义域为 R，所以对 xR 恒成立，22210xax a 即，x22axa0 恒成立，22022xax a因此有 (2a)24a0，解得1a0.(2)因为函数 y的定义域为 R，所以 ax22ax30 无实数解，即函数 yax22ax3 的图象与 x 轴无交点当 a0 时，函数 y3 的图象与 x 轴无交点；当 a0 时，则 (2a)24·3a1) (2)2x7 (3)1 3解析 (1)(换元法)令 t1(t>1)，则 x，f(t)lg，即 f(x)lg(x>1)(2)(待定系数法)设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即 ax5ab2x17，不论 x 为何值都成立，解得Error!f(x)2x7.(3)(消去法)在 f(x)2f()·1 中，用代替 x，得 f()2f(x)·1，将 f()1 代入 f(x)2f()·1 中，可求得 f(x).思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(3)配凑法：由已知条件 f(g(x)F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式(4)消去法：已知 f(x)与 f 或 f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)9 / 15(1)已知 f(1)x2，求 f(x)的解析式；(2)已知一次函数 f(x)满足 f(f(x)4x1，求 f(x)；(3)已知 f(x)3f(x)2x1，求 f(x)解 (1)设1t(t1)，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)(2)设 f(x)kxb(k0)，则 f(f(x)k2xkbb，即 k2xkbb4x1，或Error!故 f(x)2x或 f(x)2x1.(3)以x 代替 x，得 f(x)3f(x)2x1，f(x)3f(x)2x1，代入 f(x)3f(x)2x1，可得 f(x)x.2分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数 a0，函数 f(x)若 f(1a)f(1a)，则 a的值为_(2)(2015·山东)设函数 f(x)则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是( )A. B0,1C. D1, )思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量10 / 15的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围解析 (1)当 a>0 时，1a1，由 f(1a)f(1a)，可得 2(1a)a(1a)2a，解得 a，不合题意当 a1,1a1 时，f(x)f(x1)，f(x)的值域即为 x1 时函数值的范围13 / 15又 x1 时，10，求实数 a 的值解 (1)由题意，得 f()f(1)f()14 / 15f(1)f()2×12.(2)当 0<a<2 时，由 f(a)2a14，得 a，当 a2 时，由 f(a)a214，得 a或 a(舍去)综上所述，a或 a.12若函数 f(x).(1)求的值；(2)求 f(3)f(4)f(2 017)f()f()f()的值解 (1)f(2)，f()，1.(2)f()f(x)，f(3)f()0，f(4)f()0，f(2 017)f()0，故 f(3)f(4)f(2 017)f()f()f()0.13(2016·嘉兴期末)已知函数 f(x)x2mxn (m，nR)，f(0)f(1)，且方程 xf(x)有两个相等的实数根(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x0,3时，求函数 f(x)的值域解 (1)f(x)x2mxn 且 f(0)f(1)，n1mn，m1，f(x)x2xn.方程 xf(x)有两个相等的实数根，方程 xx2xn 有两个相等的实数根，即方程 x22xn0 有两个相等的实数根，(2)24n0，n1.f(x)x2x1.(2)由(1)，知 f(x)x2x1.15 / 15此函数的图象是开口向上，对称轴为直线 x的抛物线，当 x时，f(x)有最小值 f()f()()21，f(0)1，f(3)32317，当 x0,3时，函数 f(x)的值域是，7