高考数学一轮复习坐标系与参数方程第2讲参数方程学案.doc

1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习坐标系与参数方精选高考数学一轮复习坐标系与参数方程第程第 2 2 讲参数方程学案讲参数方程学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数(*)，如果对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参数考点 2 直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)参数方程(t1)表示的曲线为直线( )(2)直线 yx 与曲线( 为参数)的交点个数为 1.( )(3)直线(t 为参数)的倾斜角 为 30°.( )(4)参数方程表示的曲线为椭圆( )答案 (1)× (2)× (3) (4)×2已知圆的参数方程( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3cos4sin90，则直线与圆的位置关系是( )B相离A相切 D相交但直线不过圆心C直线过圆心 答案 D解析 圆的普通方程为 x2y24，直线的直角坐标方程为3x4y90.圆心(0,0)到直线的距离 d0，焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 M作 l 的垂线，垂足为 E.若|EF|MF|，点 M 的横坐标是 3，则p_.答案 2解析 由参数方程Error!(t 为参数)，p>0，可得曲线方程为 y22px(p>0)|EF|MF|，且|MF|ME|(抛物线定义)，MEF 为等边三角形，E 的横坐标为，M 的横坐标为 3.EM 中点的横坐标为，与 F 的横坐标相同，p2.62015·湖北高考在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，l 与 C 相3 / 13交于 A，B 两点，则|AB|_.答案 25解析 因为 (sin3cos)0，所以sin3cos，所以 y3x.由消去 t 得 y2x24.由解得或不妨令 A，B，由两点间的距离公式得|AB|2.板块二 典例探究·考向突破考向 参数方程与普通方程的互化例 1 2017·全国卷在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为( 为参数)，直线 l 的参数方程为(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为，求 a.解 (1)曲线 C 的普通方程为y21.当 a1 时，直线 l 的普通方程为 x4y30.由Error!解得或Error!从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)，.(2)直线 l 的普通方程为 x4ya40，故 C 上的点(3cos，sin)到 l 的距离为 d|3cos4sina4|17，当 a4 时，d 的最大值为.由题设得，所以 a8；当 a4 时，d 的最大值为.由题设得，所以 a16.综上，a8 或 a16.触类旁通将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参4 / 13法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2cos21 等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解【变式训练 1】 2018·湖南长郡中学模拟已知曲线 C1：(t为参数)，C2：( 为参数)(1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t，Q 为 C2 上的动点，求 PQ的中点 M 到直线 C3：(t 为参数)距离的最小值解 (1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1，C1 表示圆心是(4,3)，半径是 1 的圆，C2 表示中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆(2)当 t时，P(4,4)，又 Q(8cos，3sin)，故 M，又 C3 的普通方程为 x2y70，则 M 到 C3 的距离d|4cos3sin13|·|3sin4cos13|5sin()13|，所以 d 的最小值为.考向 直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化例 2 2018·宝鸡模拟在平面直角坐标系 xOy 中，已知C1：( 为参数)，将 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和 2 倍后得到曲线 C2.以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l：(cossin)4.(1)试写出曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2 的参数方程；(2)在曲线 C2 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小，并求此最小值解 (1)把 C1：( 为参数)，消去参数化为普通方程为x2y21，故曲线 C1 的极坐标方程为 1.5 / 13再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线 C2 的普通方程为221，即1.故曲线 C2 的参数方程为( 为参数)(2)直线 l：(cossin)4，即 xy40，设点P(cos，2sin)，则点 P 到直线的距离为d，故当 sin1 时，d 取得最小值，此时，2k(kZ)，点P(1，)，故曲线 C2 上有一点 P(1，)满足到直线 l 的距离的最小值为.触类旁通参数方程和直角坐标方程及极坐标方程之间的相互转化(1)把 C1 消去参数化为普通方程为 x2y21，再化为极坐标方程根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线 C2 的普通方程，再化为参数方程(2)先求得直线 l 的直角坐标方程，设点 P(cos，2sin)，求得点 P 到直线的距离为 d，故当 sin1 时，即2k，kZ 时，点 P 到直线 l 的距离最小，从而求得 P 的坐标以及此最小值【变式训练 2】 2018·宜春模拟在直角坐标系 xOy 中，圆C1 和 C2 的参数方程分别是( 为参数)和( 为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程；(2)射线 OM： 与圆 C1 的交点为 O、P，与圆 C2 的交点为O、Q，求|OP|·|OQ|的最大值解 (1)圆 C1( 为参数)，转化成直角坐标方程为(x2)2y24，即 x2y24x0，转化成极坐标方程为 24cos，即 4cos6 / 13圆 C2( 为参数)，转化成直角坐标方程为 x2(y1)21，即 x2y22y0转化成极坐标方程为 22sin，即 2sin.(2)射线 OM： 与圆 C1 的交点为 O、P，与圆 C2 的交点为O、Q，设 P，Q 对应的极径分别为 1，2，则|OP|·|OQ|124|sin2|.(|sin2|)max1，|OP|·|OQ|的最大值为 4.考向 直线的参数方程例 3 2018·泉州模拟已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程是(t 是参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线 C 的极坐标方程为 4sin.(1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)设点 P 的直角坐标为(1,2)，直线 l 与曲线 C 的交点为A，B，试求|AB|及|PA|·|PB|的值解 (1)直线 l 的普通方程为 xy30.4sin4sin4cos，所以24sin4cos，所以曲线 C 的直角坐标方程为x2y24x4y0(或写成(x2)2(y2)28)(2)直线 l 的参数方程可化为(t是参数)，把直线 l 的参数方程代入 x2y24x4y0 得，t2t70.设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则t1t2，t1t27，点 P(1,2)显然在直线 l 上，故|AB|t1t2|，故|PA|·|PB|t1t2|7.触类旁通7 / 13直线的参数方程的标准形式过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即|t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2 的中点对应的参数为(t1t2)【变式训练 3】 2018·哈尔滨模拟在平面直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的圆心 C 的极坐标为，半径为 2，直线 l 与圆 C 交于 M，N 两点(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)当 变化时，求弦长|MN|的取值范围解 (1)由已知，得圆心 C 的直角坐标为(1，)，半径为 2，圆 C 的直角坐标方程为(x1)2(y)24，即 x2y22x2y0，xcos，ysin，22cos2sin0，故圆 C 的极坐标方程为 4cos.(2)由(1)知，圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y0，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2tcos)2(tsin)22(2tcos)2(tsin)0，整理得，t22tcos30，设 M，N 两点对应的参数分别为 t1，t2，则t1t22cos，t1·t23，|MN|t1t2|，cos，|MN|，4考向 极坐标、参数方程的综合应用8 / 13例 4 2018·盐城模拟已知直线 l 的参数方程为(t 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .(1)直接写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与直线 l 夹角为的直线 m，设直线m 与直线 l 的交点为 A，求|PA|的最大值解 (1)由(t 为参数)，得 l 的普通方程为 2xy60，令xcos，ysin，得直线 l 的极坐标方程为2cossin60，由曲线 C 的极坐标方程，知232cos24，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x21.(2)由(1)，知直线 l 的普通方程为 2xy60，设曲线 C 上任意一点 P(cos，2sin)，点 P 到直线 l 的距离 d.由题意得|PA|，当 sin1 时，|PA|取得最大值，最大值为.触类旁通极坐标与参数方程综合应用中注意的问题(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决转化时要注意两坐标系的关系，注意 ， 的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径【变式训练 4】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为(t 为参数)，若以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 cos2sin40(0)(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；(2)若 A 是曲线 C1 上的任意一点，B 是曲线 C2 上的任意一点，求线段 AB 的最小值9 / 13解 (1)由消去参数 t，得曲线 C1 的普通方程为 x24y.将代入到 cos2sin40(0)中，得x2y40，即曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y40.(2)解法一：因为 A 是曲线 C1 上的任意一点，B 是曲线 C2 上的任意一点，所以线段 AB 的最小值，即与曲线 C2 平行的直线与曲线C1 相切时，切点到曲线 C2 的距离，设切线的方程为 x2ym0，由消去 y 得 x22x2m0，所以 224×1×2m0，得 m，因此切点为，其到直线 C2 的距离 d，即|AB|min.解法二：因为 A 是曲线 C1 上的任意一点，B 是曲线 C2 上的任意一点，所以可设点 A(4t,4t2)，线段 AB 的最小值即点 A 到直线 C2 的距离 d 的最小值，所以 d，当 t时，dmin，即|AB|min.核心规律参数方程与普通方程互化的方法(1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一个关系 xf(t)(或y(t)，再代入普通方程 F(x，y)0，求得另一关系 y(t)(或 xf(t)满分策略参数方程应用中的注意事项(1)参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，要注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致10 / 13(2)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)(3)常见曲线的参数方程中的参数都有几何意义，注意利用几何意义常能够给解题带来方便. 板块三 模拟演练·提能增分基础能力达标12017·江苏高考在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为(s 为参数)设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值解 直线 l 的普通方程为 x2y80.因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2s)，从而点 P 到直线 l 的距离 d.当 s时，dmin.因此当点 P 的坐标为(4,4)时，曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离取到最小值.22017·全国卷在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为(t 为参数)，直线 l2 的参数方程为(m 为参数)设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cossin)0，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径解 (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：yk(x2)；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y(x2)设 P(x，y)，由题设得消去 k 得 x2y24(y0)，所以 C 的普通方程为 x2y24(y0)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2sin2)11 / 134(02，)，联立得cossin2(cossin)故 tan，从而 cos2，sin2.代入 2(cos2sin2)4 得 25，所以交点 M 的极径为.32018·安阳模拟已知极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆 C的直角坐标系方程为 x2y22x2y0，直线 l 的参数方程为(t为参数)，射线 OM 的极坐标方程为 .(1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程；(2)已知射线 OM 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长解 (1)圆 C 的直角坐标系方程为 x2y22x2y0，圆 C 的极坐标方程为 22cos2sin0，化简得 2cos2sin0，即 2sin.直线 l 的参数方程为(t 为参数)，消参得：xy10，直线 l 的极坐标方程为 cossin10，即 .(2)当 时，|OP|2sin2，故点 P 的极坐标为，|OQ|，故点 Q 的极坐标为，|PQ|OP|OQ|23 22故线段 PQ 的长为.42018·长沙模拟以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线 l 的参数方程为(t 为参数，00)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 cos2.(1)设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a2 时，求点 P 到直线 l的距离的最小值；(2)若曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围解 (1)由 cos2，得(cossin)2，化成直角坐标方程，得(xy)2，即直线 l 的方程为xy40.依题意，设 P(2cost,2sint)，则点 P 到直线 l 的距离 d.当 t2k，即 t2k，kZ 时，dmin22.13 / 13故点 P 到直线 l 的距离的最小值为 22.(2)曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，对tR，有 acost2sint4>0 恒成立，即 cos(t)>4 恒成立，0，00 可知 tan.所以直线 l 的斜率为.