高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及解三角形课时训练.doc

1 / 18【2019【2019最新最新】精选高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及精选高考数学一轮复习第三章三角函数三角恒等变换及 解三角形课时训练解三角形课时训练 第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、 填空题 1. 若为第二象限角，则的值是_ 答案：0 解析：因为为第二象限角，所以sin 0，1，tan 0，1，所以0. 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为 ，则cos _答案：3 5 解析：因为点A的纵坐标yA，且点A在第二象限又圆O为单位圆，所以点A 的横坐标xA.由三角函数的定义可得cos . 3. 已知角的终边经过点P(2，1)，则_ 答案：3 解析：由题意得sin ，cos ，所以3. 4. (2017·泰州模拟)设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _答案：4 3 解析：因为是第二象限角，所以cos x0. 二、 解答题 12. 如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧 度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇 点的坐标及P，Q点各自走过的弧长 解：设点P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·t·2. 所以t4(秒)，即点P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒 设点P，Q第一次相遇点为C，第一次相遇时点P和点Q已运动到终边在·4的 位置， 则xCcos ·42，yCsin ·42. 所以点C的坐标为(2，2) 点P走过的弧长为4··4，点Q走过的弧长为4··4. 13. 3 / 18如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相 交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动. (1) 若点B的横坐标为，求tan 的值； (2) 若AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合； (3) 若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式 解：(1) 由题意可得B，根据三角函数的定义得tan . (2) 若AOB为等边三角形，则AOB. 故与角终边相同的角的集合为2k，kZ (3) 若，则S扇形AOBr2，. 而SAOB×1×1×sin sin ， 故弓形AB的面积SS扇形AOBSAOBsin ，.第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 一、 填空题 1. sin 750°_答案：1 2 解析：sin 750°sin (2×360°30°)sin 30°. 2. 若，sin ，则cos()的值为_答案：4 5 解析：因为，sin ，所以cos ，即cos (). 3. (2017·镇江期末)已知是第四象限角，sin ，则tan _答案：12 5 解析：因为是第四象限角，sin ，所以cos ，故tan . 4. 已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()1 ，则sin 的值是_答案：3 1010 解析：由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 1，解得tan 3.又为锐角，故sin . 5. (2017·××县中模拟)若f(tan x)sin2x5sin x·cos x, 则f(5)_ 答案：0 解析：由已知得f( tan x)，所以f(5)0. 6. 已知是第三象限角，且sin 2cos ，则sin cos _答案：31 254 / 18解析：由sin 2cos ，sin2cos21，是第三象限角，得sin ，cos ，则sin cos . 7. 已知sin()log8，且，则tan(2)的值为_答案：2 55 解析：sin ()sin log8. 又，得cos ， tan (2)tan ()tan . 8. 已知sin 2cos ，则sin2sin cos 2cos2_答案：4 5 解析：由 sin 2cos ，得 tan 2.sin2sin cos 2cos2. 9. 设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sin x，当0x0，>0，(0，2) 图象的一部分，则f(0)的值为_答案：3 22 解析：由函数图象得A3，23(1)8，解得，所以f(x)3sin .因为(3，0)为函数f(x)3sin的一个下降零点，所以×3(2k1)(kZ )，解得2k(kZ)因为(0，2)，所以，所以f(x)3sin， 则f(0)3sin. 8. 若f(x)2sin x(00)在区间上单调递增，则的取值范围是_答案：(0，3 2 解析：由2kx2k，kZ，得x，kZ.取k0 ，得x.因为函数f(x)sin(>0)在区间上单调递增，所以，即.又 >0，所以的取值范围是. 11. (原创)已知函数f(x)cos2xsin x，那么下列命题中是真命题的是_(填序号) f(x)既不是奇函数也不是偶函数； f(x)是周期函数； f(x)在，0上恰有一个零点； f(x)在上是增函数； f(x)的值域为0，2 答案： 解析： f1，f1，即f(x)f(x)， f(x)不是偶函数 xR，f(0)10， f(x)不是奇函数，故为真命题 f(x)f(x2)， T2，故函数f(x)为周期函数，故为真命题令f(x)cos2xsin x1sin2xsin x0，则sin2xsin x10，解得sin x，当x，0时，sin x，由正弦函数图象可知函数f(x)在，0上有两个零点，故为假命题 f(x)2cos x·(sin x)cos xcos x·(12sin x)，当x时，cos x0， f(x)在上是增函数，故为真命题f(x)cos2xsin xsin2xsin x1，由1sin x1得f(x)的值域为，故为假命题 二、 解答题 12. 已知函数f(x)Asin(x)(其中A0，0，0)的周期为，且图 象上有一个最低点为M. (1) 求f(x)的解析式； (2) 求使f(x)成立的x的取值集合8 / 18解：(1) 由题意知，A3，2，由3sin3，得2k，kZ，即 2k，kZ. 而0，所以k1，. 故f(x)3sin. (2) f(x)等价于3sin，即 sin， 于是2k2x2k(kZ)， 解得kxk(kZ)， 故使f(x)成立的x的取值集合为x|kxk，kZ 13. (2017·扬州中学质检)如图，函数y2cos(x)的部分图象与y轴交于点(0 ，)，最小正周期是. (1) 求，的值； (2) 已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0，x0时 ，求x0的值 解：(1) 将点(0，)代入y2cos(x)，得cos . 0， . 最小正周期T，且>0， 2. (2) 由(1)知y2cos. A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0， P. 点P在y2cos的图象上， 2cos， cos. x0， 4x0， 4x02或4x02， x0或.第4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、 填空题 1. cos 15°的值是_答案：2 64 解析：cos15°cos(60°45°). 2. 计算：cos 42°cos 18°cos 48°sin 18°_答案：1 2 解析：原式sin 48°cos 18°cos 48°sin 18° sin (48°18°) sin 30° . 3. 设，为钝角，且sin ，cos 9 / 18，则cos()的值为_答案：22 解析： ，为钝角，sin ，cos ， cos ，sin ， cos()cos cos sin sin . 4. (2017·苏锡常镇四市调研(二)已知是第二象限角，且sin ，tan()2，则tan _答案：1 7 解析：由是第二象限角，且sin ，得cos ，tan 3，所以tan tan(). 5. 已知，若sin，cos，则sin()_答案：16 65 解析：由题意可得，所以cos，sin()， 所以sin()sin()()××. 6. 已知sinsin ，则sin_.答案：4 5 解析：sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos ，故sin sin cos cos sin (sin cos ). 7. 若锐角，满足tan tan tan tan ，则_答案： 3 解析：由已知可得，即tan (). 又(0，)，所以. 8. 计算：_ 答案：1解析：原式2sin（30°20°） 3sin 20°cos 20°2sin 30°cos 20°2cos 30°sin 20° 3sin 20°cos 20° 1. 9. 若，都是锐角，且cos ，sin()，则 _答案： 4 解析： ，都是锐角，且cos ，sin()， sin ，cos()，从而cos cos ()cos cos()sin sin(). 是锐角， . 10. 10 / 18如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC，ED，则sin CED_答案：1010 解析：因为四边形ABCD是正方形，且AEAD1，所以AED. 在RtEBC中，EB2，BC1， 所以sin BEC，cos BEC.sin CEDsin( 4BEC)cos BECsin BEC ×. 二、 解答题 11. 在ABC中，已知sin(AB)2sin(AB) (1) 若B，求A； (2) 若tan A2，求tan B的值 解：(1) 由条件，得sin2sin(A)， sin Acos A2. 化简，得sin Acos A， tan A. 又A(0，)， A. (2) sin(AB)2sin(AB)， sin Acos Bcos Asin B2(sin Acos Bcos Asin B) 化简，得3cos Asin Bsin Acos B. 又cos Acos B0， tan A3tan B. 又tan A2， tan B. 12. 已知，且sin cos . (1) 求cos 的值； (2) 若sin()，求cos 的值 解：(1) 已知sincos，两边同时平方， 得12sincos，则sin . 又<<，所以cos . (2) 因为<<，<<，所以<<. 又sin()，所以cos(). 则cos cos ()cos cos()sin sin() ××. 13. 已知函数f(x)sin xcos tan ·cos xsin 的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为. (1) 求和的值； (2) 若f，求cos的值 解：(1) 由已知得f(x)sin (x)， 因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T ，从而2.11 / 18又f(x)的图象关于直线x对称， 所以2·k，kZ. 由<得k0， 所以. (2) 由(1)得f(x)sin ， 所以fsin ， 即sin . 由<<得0<<，所以cos 1(14)2.因此cos sin sin ( 6) 6sin cos cos sin 6 ××. 第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、 填空题 1. sin2的值为_答案：34 解析：sin2cos×. 2. 函数y(sin xcos x)2的最小正周期为_ 答案： 解析：y(sin xcos x)212sin xcos x1sin 2x，最小正周期T. 3. 若，则sin cos _答案：1 2 解析：由已知得，整理得sin cos . 4. 已知sin(45°)，且0°90°，则cos 2的值为_答案：7 25 解析：由sin (45°)，展开得sin cos .又sin2cos21，得sin ，cos ，则cos 2cos2sin2. 5. 若函数f(x)sin2cos21，则函数f(x)的单调增区间是_答案：(kZ) 解析：f(x)sin2(x)sin2(x)12sin2(x)1cossin 2x.易得函数f(x)的单调增区间是(kZ)12 / 186. (2017·苏州调研)已知是第二象限角，且tan ，则sin 2_答案：3 5 解析：因为是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2××(). 7. 已知sin 2，则cos2_答案：2 3 解析：cos2. 8. 若2 017，则tan 2_ 答案：2 017 解析：tan 22 017. 9. 设f(x)sin xa2sin的最大值为3，则常数a_ 答案：±3 解析：f(x)sin xa2sincos xsin xa2sinsina2sin(a2)sin(x)依题意有a23， a±. 10. 已知，且sin，则tan 2_答案：24 7 解析：由sin，得sin cos ， ，平方得2sin cos ，可求得sin cos ， sin ，cos ， tan ，tan 2. 11. 已知函数f(x)sin 2xsin cos2xcos ·sin(0<<)，将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象 ，且g，则_答案：2 3解析： f(x)sin 2xsin cos2xcos sin( 2)sin 2xsin cos cos sin 2xsin cos 2xcos cos(2x)， g(x)coscos. g， 2×2k(kZ)，即2k(kZ) 0<<， . 二、 解答题 12. (2017·江阴期初)已知函数f(x)sinsin2cos2x1，xR. (1) 求函数f(x)的最小正周期； (2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值13 / 18解：(1) f(x)sin2xcoscos2xsinsin2xcoscos2xsincos2xsin2xcos2xsin ， 函数f(x)的最小正周期T. (2) 函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数， 又f1，f，f1， 函数f(x)在上的最大值为，最小值为1. 13. 已知函数f(x)(2cos 2x1)sin 2xcos 4x. (1) 求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2) 若(0，)，且f，求tan的值 解：(1) f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin， f(x)的最小正周期T. 令2k4x2k，kZ， 得x，kZ. f(x)的单调递减区间为，kZ. (2) f，即sin1， 又(0，)，<<， ，故. 因此tan2. 第6课时 简单的三角恒等变换 一、 填空题 1. 已知cos4sin4，则cos 4_答案：1 9 解析： cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2， cos 42cos2212×1. 2. 若sin，则cos 2_答案：7 9 解析：cos12sin212×，cos22cos212×1. 3. 在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是_ 答案：等腰三角形 解析：在ABC中，C(AB)， 2cos Bsin Asin(AB)sin(AB) sin A cos Bcos Asin B sin Acos Bcos Asin B0，即sin(BA)0. AB，故ABC的形状一定是等腰三角形 4. 在ABC中，tan Atan Btan A·tan B，则C_答案： 314 / 18解析：由已知可得tan Atan B(tan A·tan B1)， tan(AB).又0AB， AB， C. 5. 若2cos 2sin，且，则sin 2_答案：7 8 解析：由2cos 2sin，得2(cos2sin2)(cos sin )，所以cos sin .又(cos sin )212sin ·cos 1sin 2，所以sin 2. 6. 若0，2)，则满足sin cos 的的取值范围是_答案：7 4，2)解析：由sin cos ，得sin cos sin0.因为0，2)，所以的取值范围为. 7. _ 答案：3解析：原式2cos（30°20°）sin 20° sin 70°2（cos 30°cos 20°sin 30°sin 20°）sin 20° sin 70° . 8. 已知sin 2，且，则sin _答案：3 5 解析： ， cos 0，sin 0，且|cos |sin |.又(sin cos )21sin 21， sin cos ，同理可得sin cos ， sin . 9. sin 18°cos 36°_答案：1 4解析：原式2sin 18°cos 18°cos 36° 2cos 18° . 10. 已知sin cos ，且，则的值为_答案：142 解析：由sin cos ，得sin cos ， (sin cos )2， 2sin cos ， (sin cos )212sin cos . 又， sin cos ， (sin cos )15 / 18. 二、 解答题 11. 已知ABC是锐角三角形，且sin·cos. (1) 求角B的值； (2) 若tan Atan C3，求角A，C的值解：(1) sincos(B 3)(1 2cos B32sin B)(32sin B12cos B) sin2Bcos2Bsin2B， 所以sin2B. 因为B为锐角三角形的内角，所以sin B，即B. (2) 因为B，所以AC. 又ABC是锐角三角形，所以tan A0，tan C0. 而tan(AC)， 所以tan Atan Ctan Atan C2 . 又tan Atan C3 ， 由解得tan Atan C，所以AC. 12. (2017·南通、扬州、泰州、苏北四市二模)已知sin，. (1) 求cos 的值； (2) 求sin的值 解：(1) (解法1)因为，所以. 又sin，所以cos. 所以cos coscoscos sinsin ××. (解法2)由sin得，sin cos cos sin ， 即sin cos . 又sin2cos21 . 由解得cos 或cos . 因为，所以cos . (2) 因为，cos ， 所以sin . 所以sin 22sin cos 2××， cos 22cos212×1. 所以sinsin 2cos cos 2sin ××. 13. (2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q 在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S. (1) 求S关于的函数关系式； (2) 求S的最大值及相应的值 解：(1) 分别过P，Q作PDOB于点D，QEOB于点E，则四边形QEDP为矩形 由扇形半径为1 m，得PDsin ，ODcos .16 / 18在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，所以SMN·PD·sin sin cos sin2，. (2) 由(1)得Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 236 sin， 因为，所以2， 所以sin. 当时，Smax(m2)第7课时 正弦定理和余弦定理 一、 填空题 1. (2017·江阴期初)在ABC中，若A60°，B45°，BC3，则AC_ 答案：23 解析：由已知及正弦定理得，即AC2. 2. 在ABC中，AC，A45°，C75°，则BC_ 答案：2 解析：由题意得B180°AC60°.由正弦定理得，则BC，所以BC . 3. 在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为_ 答案：3 解析：SAB·ACsin 60°×2××AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22AB·ACcos 60°3，所以BC. 4. 已知在ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a2b2c2bc，bc 4，则ABC的面积为_ 答案：3 解析： a2b2c2bc， cos A. A.又bc4， ABC的面积为bcsin A. 5. (2017·苏锡常镇调研(二)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c， 若满足2bcos A2ca，则角B的大小为_答案： 6 解析：由正弦定理得2sin Bcos A2sin Csin A2sin Bcos A2sin(AB)sin A2sin Acos Bsin A A(0，)， cos B. 17 / 18B(0，)， B. 6. 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，则A_答案： 4 解析：由余弦定理知a2b2c22bccos A， 因为bc，a22b2(1sin A)， 所以b2b22b2cos A2b2(1sin A)， 所以cos Asin A，即tan A1. 因为A(0，)，所以A. 7. (2017·盐城诊断)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C所对边的长)， 则ABC的形状为_ 答案：直角三角形 解析：因为cos2，所以2cos211，所以cos B，所以，所以c2a2b2. 所以ABC为直角三角形 8. 在ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若SABC2，ab6 ，2cos C，则c_ 答案：23 解析： 2cos C， 由正弦定理，得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos C， sin(AB)sin C2sin Ccos C. 由于0C，sin C0， cos C， C. SABC2absin Cab， ab8.又ab6，或a4， b2，) c2a2b22abcos C416812， c2. 9. 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足csin Aacos C，则sin Asin B的最大值是_ 答案：3 解析：由csin Aacos C，得sin Csin Asin Acos C，即sin Ccos C， tan C， C，AB， sin Asin Bsinsin Bsin. 0B， B， 当B，即B时，sin Asin B的最大值为. 10. 在锐角三角形ABC中，若A2B，则的取值范围是_ 答案：(，) 解析：因为ABC为锐角三角形，且A2B，18 / 18所以所以<B<. 因为A2B，sin Asin 2B2sin Bcos B， 所以2cos B(，) 二、 解答题 11. 在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足a2b2c2bc0， 2bsin Aa，BC边上中线AM的长为. (1) 求角A和角B的大小；