高考数学一轮复习第九章解析几何9-5椭圆学案理.doc

- 1 - / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第九章解析几何精选高考数学一轮复习第九章解析几何 9-59-5 椭椭圆学案理圆学案理考纲展示 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想考点 1 椭圆的定义椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数：(1)若_，则集合 P 为椭圆；(2)若_，则集合 P 为线段；(3)若_，则集合 P 为空集答案：椭圆 焦点 焦距(1)a>c (2)ac (3)a0 且 a 为常数)；乙：P 点的轨迹是椭圆则甲是乙的_条件(填“充分不必要” “必要不充分”或“充要”)答案：必要不充分解析：乙甲，甲 乙，- 2 - / 20甲是乙的必要不充分条件.椭圆的定义：关键在于理解(1)动点 P 到两定点 M(0，2)，N(0,2)的距离之和为 4，则点 P的轨迹是_答案：线段解析：因为|PM|PN|MN|4，所以点 P 的轨迹是一条线段(2)已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是_答案：83解析：由椭圆定义知，ABC 的周长等于椭圆长轴长的 2 倍，所以ABC 的周长是 4×28.典题 1 (1)2017·北京东××区期末过椭圆 4x2y21 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A，B 两点，则 A 与 B 和椭圆的另一个焦点 F2 构成的ABF2 的周长为( )A2 B4 C8 D22答案 B解析 因为椭圆的方程为 4x2y21，所以 a1.根据椭圆的定义知，ABF2 的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4.(2)已知椭圆y21 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是( )A8 B2 C10 D42- 3 - / 20答案 A解析 由椭圆的定义得，|PF1|PF2|2a4，|PF1|·|PF2|28(当且仅当|PF1|PF2|时等号成立)(3)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( )A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆答案 A解析 由折叠过程可知，点 M 与点 F 关于直线 CD 对称，故|PM|PF|，所以|PO|PF|PO|PM|OM|r.由椭圆的定义可知，点 P 的轨迹为椭圆点石成金 1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件2当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，椭圆中焦点三角形的 5 个常用结论(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|·cos (F1PF2)(3)当 P 为短轴端点时， 最大(4)SPF1F2|PF1|PF2|sin ·b2b2tan c·|y0|.当 y0±b，即 P 为短轴端点时，SPF1F2 有最大值为 bc.(5)焦点三角形的周长为 2(ac)考点 2 椭圆的方程标准1(ab0)y2 b2x2 a21(ab0)y2 a2x2 b2- 4 - / 20方程图形(1)教材习题改编已知方程1 表示椭圆，则 m 的取值范围为_答案：(3,1)(1,5)解析：方程表示椭圆的条件为 Error!解得 m(3,1)(1,5)(2)教材习题改编椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的倍，焦距为 4，则椭圆的标准方程为_答案：1解析：设椭圆的标准方程为1(a>b>0)y2 a2由已知得 ab，c2，所以 c2a2b2b24，得 b24，则 a28，所以椭圆的标准方程为1.椭圆的标准方程：关注焦点的位置已知椭圆1 的焦距为 4，则 m 等于_答案：4 或 8解析：由 得 20，n>0，mn)的形式.1.一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.1 B.1C.1 D.1答案：A解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)由点 P(2，)在椭圆上知1.- 7 - / 20又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即 2a2×2c，又 c2a2b2，联立Error!得 a28，b26，故椭圆的方程为1.2求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆1 有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5,3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点，.解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1 或t2(t1，t20)，椭圆过点(2，)，t12 或 t2.故所求椭圆的标准方程为1 或1.(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得Error!解得 a4，c2，b212.故椭圆的方程为1 或1.(3)设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn)，由Error!解得 m，n.- 8 - / 20椭圆的方程为1.考点 3 椭圆的几何性质椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)y2 b2x2 a21(ab0)y2 a2x2 b2图形范围_x_，_y_x_，_y_对称性对称轴：_，对称中心：_顶点A1_，A2_，B1_，B2_ A1_，A2_，B1_，B2_ 轴长轴A1A2的长为_，短轴B1B2的长为_焦距|F1F2|_离心率e ，e_c a性质a，b，c的关系c2_答案：a a b b b b a a 坐标轴 (0,0) (a,0) (a,0) (0，b) (0，b) (0，a) (0，a) (b,0) (b,0) 2a2b 2c (0,1) a2b2(1)教材习题改编椭圆1 的离心率为_答案：22解析：由1 可得 a216，b28，c2a2b28，e2，e.- 9 - / 20(2)教材习题改编已知点 P 是椭圆1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_答案： 或 (152，1)解析：设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541，所以c1，则 F1(1,0)，F2(1,0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y±1，把 y±1 代入1，得 x±，又 x0，所以 x，所以点 P 的坐标为 或 .1.焦点三角形问题：定义法若椭圆1 上的点 P 与椭圆两焦点 F1，F2 的连线互相垂直，则F1PF2 的面积为_答案：3解析：设|PF1|m，|PF2|n.椭圆的长轴长为 2a4，焦距为 2c2，因为 PF1PF2，所以 mn4 且 m2n24，解得 mn6，所以F1PF2 的面积为 mn3.2直线与椭圆的位置关系：代数法直线 yxk 与椭圆 x21 只有一个公共点，则 k_.答案：或5解析：将 yxk 代入 x21 中，消去 y，得 5x22kxk240.因为直线与椭圆只有一个公共点，- 10 - / 20所以 (2k)24×5(k24)0，解得 k或.典题 3 (1)2017·安徽淮南模拟已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.6 7答案 B解析 如图，设|AF|x，则 cosABF，解得 x6，所以AFB90°，由椭圆及直线关于原点对称可知，|AF1|8，FAF1FABFBA90°，FAF1 是直角三角形，所以|F1F|10，故 2a8614,2c10，所以.(2)设 F1，F2 分别是椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点，点P 在椭圆 C 上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，PF1F230°，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.1 6答案 A解析 如图，设 PF1 的中点为 M，连接 PF2.因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OM 为PF1F2 的中位线所以 OMPF2，所以PF2F1MOF190°.因为PF1F230°，所以|PF1|2|PF2|.- 11 - / 20由勾股定理，得|F1F2|PF2|，由椭圆定义，得 2a|PF1|PF2|3|PF2|，即 a，2c|F1F2|PF2|，即 c，则 e·.题点发散 1 典题 3(2)条件变为“若PF1F2，PF2F1，且 cos ，sin()” ，则椭圆的离心率为_答案：57解析：cos sin .sin()cos().sin sin().设|PF1|r1，|PF2|r2.由正弦定理，得，e.题点发散 2 典题 3(2)条件变为“P 到两焦点的距离之比为21” ，试求椭圆的离心率的取值范围解：设 P 到两个焦点的距离分别是 2k，k，根据椭圆定义可知 3k2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c，即 k2c，2a6c，即 e.又 0e1，e1.故椭圆的离心率的取值范围为.- 12 - / 20题点发散 3 典题 3(2)条件中方程变为“x22y22” ，P 是该椭圆上的一个动点求|的最小值解：将方程变形为y21，则 F1(1,0)，F2(1,0)设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|222y2 0y2 02y2 02点 P 在椭圆上，0y1，当 y1 时，|的最小值为 2.点石成金 应用椭圆几何性质的两个技巧与一种方法1两个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系2一种方法求椭圆的离心率的方法(1)直接求出 a，c，从而求解 e，通过已知条件列方程组，解出a，c 的值(2)构造 a，c 的齐次式，解出 e，由已知条件得出 a，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率.1.设椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x - 13 - / 20轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_答案：33解析：由题意知，F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c，因为过 F2 且与 x 轴垂直的直线为 xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为 A，B.因为 AB 平行于 y 轴，且|F1O|OF2|，所以|F1D|DB|，即 D 为线段 F1B 的中点，所以点 D 的坐标为，又 ADF1B，所以 kAD·kF1B1，即×1，整理得 b22ac，所以(a2c2)2ac，又 e，0b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_答案：22解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 A，B 在椭圆上，Error!则有0，0，由题意知 x1x22，y1y22，- 14 - / 200，a22b2，e.考点 4 直线与椭圆的位置关系考情聚焦 直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题，主要以解答题的形式出现，考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力主要有以下几个命题角度：角度一由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质典题 4 设 F1，F2 分别是椭圆 C：1(a>b>0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为，求椭圆 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b 的值解 (1)根据 a2b2c2 及题设知，M，所以，得 2b23ac.将 b2a2c2 代入 2b23ac，解得或2(舍去)故椭圆 C 的离心率为.(2)设直线 MN 与 y 轴的交点为 D，由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故4，即 b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y1b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因真题演练集训 12016·新课标全国卷已知 O 为坐标原点，F 是椭圆C：1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.3 4答案：A解析：设 E(0，m)，则直线 AE 的方程为1，由题意可知，M，和 B(a,0)三点共线，则，化简得 a3c，则 C 的离心率 e.22016·江苏卷如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆1(ab0)的右焦点，直线 y与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_答案：63解析：由题意可得 B，C，F(c,0)，则由BFC90°得··c2a2b20，化简得 ca，则离心率 e.- 18 - / 2032016·天津卷设椭圆1(a)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围解：(1)设 F(c,0)，由，即，可得 a2c23c2，又 a2c2b23，所以 c21，因此 a24.所以，椭圆的方程为1.(2)设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为yk(x2)设 B(xB，yB)，由方程组消去 y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得 x2 或 x，由题意得 xB，从而 yB.由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得·0，所以0，解得 yH.因此直线 MH 的方程为yx.设 M(xM，yM)，由方程组消去 y，解得 xM.在MAO 中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得 xM1，即1，解得 k或 k.所以，直线 l 的斜率的取值范围为.(，6442014·新课标全国卷已知点 A(0，2)，椭圆- 19 - / 20E：1(a>b>0)的离心率为，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解：(1)设 F(c,0)，由条件知，得 c.又，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykx2 代入y21 得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)>0，即 k2>时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点 O 到直线 PQ 的距离 d，所以OPQ 的面积 SOPQd|PQ|.设t，则 t>0，SOPQ.因为 t4，当且仅当 t2，即 k±时等号成立，且满足>0，所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 yx2 或 yx2.课外拓展阅读 利用转化与化归思想求圆锥曲线离心率的取值(范围)典例 (1)如图，椭圆 C：1(a>b>0)的左焦点为 F1，上顶点为 B2，右顶点为 A2，过点 A2 作 x 轴的垂线交直线 F1B2 于点 P，若|PA2|3b，则椭圆 C 的离心率为_(2)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，- 20 - / 20F2(c,0)，若椭圆上存在点 P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为_审题视角 求椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到 a，b，c 的一个关系式即可，若得到的关系式含 b，可利用a2b2c2 转化为只含 a，c 的关系式解析 (1)由题设知，则 e.(2)依题意及正弦定理，得(注意到 P 不与 F1F2 共线)，|PF2| |PF1|即，1，1>，即 e1>，(e1)2>2.又 0<e<1，因此 1<e<1.答案 (1) (2)(1,1)方法点睛离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的 b用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法