高考数学一轮复习第八章立体几何8-6空间向量及其运算理.doc

1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何精选高考数学一轮复习第八章立体几何 8-68-6 空空间向量及其运算理间向量及其运算理1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0 0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ab b相反向量方向相反且模相等的向量a a的相反向量为a a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ab b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数 ，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角2 / 17已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作a，b，则AOB叫做向量 a，b 的夹角，记作a，b ，其范围是 0a，b，若a，b，则称 a 与 b 互相垂直，记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b的数量积，记作 a·b，即 a·b|a|b|cosa，b (2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)·b(a·b)；交换律：a·bb·a；分配律：a·(bc)a·ba·c.4空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba·ba1b1a2b2a3b3共线a ab b(b b0，R R)a1b1，a2b2，a3b3垂直a a·b b0(a a0，b b0)a1b1a2b2a3b30模|a a|a2 1a2 2a2 3夹角a a，b b(a a0，b b0)cosa a，b ba1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3· b2 1b2 2b2 3【知识拓展】1向量三点共线定理：在平面中 A、B、C 三点共线的充要条件是：xy(其中 xy1)，O 为平面内任意一点2向量四点共面定理：在空间中 P、A、B、C 四点共面的充要条件是：xyz(其中 xyz1)，O 为空间中任意一点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)3 / 17(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面( )(2)在向量的数量积运算中(a·b)·ca·(b·c)( × )(3)对于非零向量 b，由 a·bb·c，则 ac.( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同( × )(5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有0.( )1已知正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则·的值为( )Aa2 B.a2 C.a2 D.a2答案 C解析 如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且 a，b，c三向量两两夹角为 60°.(ab)，c，·(ab)·c(a·cb·c)(a2cos 60°a2cos 60°)a2.2(2016·大连模拟)向量 a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是( )Aab，ac Bab，acCac，ab D以上都不对答案 C解析 因为 c(4，6,2)2(2，3,1)2a，所以 ac.又 a·b(2)×2(3)×01×40，所以 ab.故选 C.3与向量(3，4,5)共线的单位向量是_答案 和(3 210，2 25，22)解析 因为与向量 a 共线的单位向量是±，又因为向量(3，4,5)4 / 17的模为5，所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是±(3，4，5)±(3，4,5)4.如图，在四面体 OABC 中，a，b，c，D 为 BC 的中点，E为 AD 的中点，则_.(用 a，b，c 表示)答案 abc解析 1 4OCabc.5(教材改编)正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 中点，则 EF 的长为_答案 2解析 |22()22222(···)1222122(1×2×cos 120°02×1×cos 120°)2，|，EF 的长为.题型一 空间向量的线性运算例 1 (1)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点用， ，表示，则_.答案 AA1解析 ()，()AA1.(2)三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量， ，表示，.5 / 17解 2 3AN()().OG1 3OC.思维升华 用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立(2016·青岛模拟)如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用a，b，c 表示以下各向量：(1)；(2).解 (1)因为 P 是 C1D1 的中点，所以D1Pa1 2D1C1acacb.(2)因为 M 是 AA1 的中点，所以APa(acb)6 / 17abc.又AA1ca，所以(abc)(ac)abc.题型二 共线定理、共面定理的应用例 2 (2016·天津模拟)如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有()证明 (1)连接 BG，则BG()EH，由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面(2)因为AE1 2AB()，所以 EHBD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.7 / 17(3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即 EH 綊 FG，所以四边形 EFGH 是平行四边形，所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分故()1 2OG()()()思维升华 (1)证明空间三点 P，A，B 共线的方法(R)；对空间任一点 O，t(tR)；对空间任一点 O，xy(xy1)(2)证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法xy；对空间任一点 O，xy；对空间任一点 O，xyz(xyz1)；(或或)已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足()(1)判断， ，三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内解 (1)由题意知3，()()8 / 17即， ，共面(2)由(1)知， ，共面且基线过同一点 M，M，A，B，C 四点共面从而点 M 在平面 ABC 内题型三 空间向量数量积的应用例 3 (2017·济南月考)如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA12，A1ABA1AD120°.(1)求线段 AC1 的长；(2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值；(3)求证：AA1BD.(1)解 设a，b，c，则|a|b|1，|c|2，a·b0，c·ac·b2×1×cos 120°1.abc，|abc|abc2|a|2|b|2|c|22a·bb·cc·a.线段 AC1 的长为.(2)解 设异面直线 AC1 与 A1D 所成的角为 ，则 cos |cos， |.abc，bc，·(abc)·(bc)a·ba·cb2c20112222，9 / 17|b|22b·c|c|2.cos |.故异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值为.(3)证明 c，ba，·c·(ba)c·bc·a(1)(1)0，AA1BD.思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60°.(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值解 (1)记a，b，c，则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×()6，|，即 AC1 的长为.(2)bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)BD110 / 17b2a2a·cb·c1，cos， .即与夹角的余弦值为.18坐标法在立体几何中的应用典例 (12 分)如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1，在底面ABC 中，CACB1，BCA90°，棱 AA12，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点(1)求的模；(2)求 cos， 的值；(3)求证：A1BC1M.思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解规范解答(1)解 如图，建立空间直角坐标系依题意得 B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|.2 分(2)解 依题意得 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)所以(1，1,2)，(0,1,2)，·3，|，|，BA1所以 cos， BA1·CB1|BA1|CB1|.6 分(3)证明 依题意得 C1(0,0,2)，M(， ，2)，(1,1，2)，A1B(， ，0)9 分C1M11 / 17所以·00，所以，即 A1BC1M.12 分1在下列命题中：若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行；若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不共面；若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面；已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得 pxaybzc.其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 A解析 a 与 b 共线，a，b 所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量 a，b 都共面，故不正确；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当 a，b，c 不共面时，空间任意一向量 p 才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选 A.2(2017·郑州调研)已知 a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若 a，b，c 三向量共面，则 等于( )A9 B9 C3 D3答案 B解析 由题意知 cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得 9.3已知 a(2,1,3)，b(1,2,1)，若 a(ab)，则实数 12 / 17的值为( )A2 B C. D2答案 D解析 由题意知 a·(ab)0，即 a2a·b0，所以 1470，解得 2.4.如图，在大小为 45°的二面角 AEFD 中，四边形 ABFE，CDEF都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是( )A. B. C1 D.3 2答案 D解析 ，|2|2|2|22·2·2·ED1113，故|.5已知 a，b 是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb 且AB2，CD1，则异面直线 a，b 所成的角等于( )A30° B45° C60° D90°答案 C解析 如图，设a，b，c，则abc，所以 cos， ，所以异面直线 a，b 所成的角等于 60°，故选 C.6(2016·深圳模拟)正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在AC1 上且，N 为 B1B 的中点，则|为( )A.a B.aC.a D.a13 / 17答案 A解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)设 M(x，y，z)，点 M 在 AC1 上且AM，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.M(， ，)，| a23a2aa 32a 2a 32a.7A，B，C，D 是空间不共面四点，且·0，·0，·0，则BCD 的形状是_三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)答案 锐角解析 因为·()·()···22>0，所以CBD 为锐角同理BCD，BDC 均为锐角8设 OABC 是四面体，G1 是ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且OG3GG1，若xyz，则 x，y，z 的值分别为_答案 ， ，1 4解析 如图所示，取 BC 的中点 E，连接 AE.()OG14 / 171 2AE()()()，xyz.9(2016·合肥模拟)已知 a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则 c_.答案 (3，2,2)解析 因为 ab，所以，解得 x2，y4，此时 a(2,4,1)，b(2，4，1)，又因为 bc，所以 b·c0，即68z0，解得 z2，于是 c(3，2,2)10(2016·天津模拟)已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体，()232；·()0；向量与向量的夹角是 60°；正方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为|··|.其中正确的序号是_答案 解析 中，()222232，故正确；中，因为AB1A1C，故正确；中，两异面直线 A1B 与 AD1 所成的角为60°，但与的夹角为 120°，故不正确；中，|··|0，故也不正确*11.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，点 M，P，Q 分别为棱15 / 17AB，CD，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面 DCC1D1；A1M平面 D1PQB1.以上正确说法的个数为_答案 3解析 ，A1MD1P，由线面平行的判定定理可知，A1M平面 DCC1D1，A1M平面 D1PQB1.正确12.如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG 的长；(4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值解 (1)设a，b，c，则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60°，ca，a，bc.EF··(a)EFa2a·c.(2)·(ca)·(bc)(b·ca·bc2a·c).(3)abacb16 / 17abc，|2a2b2c2a·bb·cc·a，则|.(4)bc，ba，cos， ，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为.*13.(2016·沈阳模拟)如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D、E 分别为 AB、BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值(1)证明 设a，b，c，根据题意得，|a|b|c|，且 a·bb·cc·a0，bc，cba.·c2b20.，即 CEAD.(2)解 ac，|a|，|a|.·(ac)·c2|a|2，ACcos， .即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为.14.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，a，b，c，点 M，N 分别是 A1D，B1D1 的中点(1)试用 a，b，c 表示；(2)求证：MN平面 ABB1A1.(1)解 ca，17 / 17(ca)同理，(bc)，(bc)(ca)(ba)ab.(2)证明 ab，即 MNAB1，AB1平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1，MN平面 ABB1A1.