高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数12-1合情推理与演绎推理学案理.doc

- 1 - / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十二章推理与证明算精选高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数法复数 12-112-1 合情推理与演绎推理学案理合情推理与演绎推理学案理考纲展示 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异考点 1 类比推理类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有_的推理(2)特点：是由_到_的推理答案：(1)这些特征 (2)特殊 特殊教材习题改编在 RtABC 中，两直角边分别为 a，b，设 h 为斜边上的高，则.由此类比：三棱锥 SABC 中的三条侧棱SA，SB，SC 两两垂直，且长度分别为 a，b，c，设棱锥底面 ABC 上的高为 h，则_答案：1 c2解析：直角三角形的两直角边对应该三棱锥的三条两两垂直的侧棱，直角三角形斜边上的高对应该三棱锥底面上的高，类比得.事实上，在直角三角形中是由等面积法得到的，而在三棱锥- 2 - / 13中可由等体积法求得1 c2典题 1 (1)2017·江西南昌模拟如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ABa，CDb(a>b)若 EFAB，EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 mn，则可推算出：EF.用类比的方法，推想出下面问题的结果在上面的梯形 ABCD 中，分别延长梯形的两腰 AD 和 BC 交于 O 点，设OAB，ODC 的面积分别为 S1，S2，则OEF 的面积 S0 与 S1，S2的关系是( )AS0 BS0nS1mS2 mnC. D.n S1m S2mn答案 C解析 在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质故由 EF类比到关于OEF 的面积 S0 与 S1，S2 的关系是.(2)2017·贵州六校联考在平面几何中，ABC 的C 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD 中(如图)，DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E，则得到类比的结论是_答案 S ACD S BCD解析 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得，.点石成金 类比推理的分类及处理方法- 3 - / 13类别解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何、等差数列与等比数列类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法考点 2 归纳推理归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理(2)特点：是由_到_、由_到_的推理答案：(1)全部对象(2)部分 整体 个别 一般(1)教材习题改编若数列an满足 a11，an1(nN*)，则归纳出该数列的通项公式为_答案：an(nN*)解析：由 a11，an1，得 a2，a3，a4，归纳猜想 an(nN*)(2)教材习题改编观察下列不等式：1>，1>1,1>，1 >2,1 >，- 4 - / 13由此猜测第 n 个不等式为_(nN*)答案：1>n 2解析：观察得出规律，左边为 2n1 个连续自然数的倒数和，右边的数分母为 2、分子为 n，由此可以猜测第 n 个不等式为1>.合情推理的两种常见方法：归纳；类比(1)数列 2,5,11,20，x,47， 中的 x 等于_答案：32解析：观察数列前几项，有 523,1156,20119，由此可归纳得出 x2012，即 x32.(2)若等差数列an的首项为 a1，公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列 为等差数列，且通项为a1(n1)·.类似地，若各项均为正数的等比数列bn的首项为 b1，公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则_答案：数列 为等比数列，且通项为b1()n1解析：类比等差数列的结论，得数列 为等比数列，且通项为b1()n1.考情聚焦 归纳推理是发现问题、找出规律的具体鲜明的方法，也是创新的一种思维方式，因而成为高考考查的亮点，常以选择题、填空题的形式出现主要有以下几个命题角度：角度一数的归纳典题 2 (1)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的- 5 - / 13应当是( )B62,63 A.48,49 D84,85 C75,76 答案 D解析 由已知图形中座位的排序规律可知，被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的 4 组座位号知，只有 D 符合条件(2)2017·陕西模拟观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*,12n21_.答案 n2解析 112,12122,1232132,123432142，归纳可得 12n21n2.点石成金 解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等角度二式的归纳典题 3 (1)观察下列等式：(11)2×1；(21)(22)22×1×3；(31)(32)(33)23×1×3×5；- 6 - / 13照此规律，第 n 个等式可为_答案 (n1)(n2)(n3)(nn)2n×1×3×5××(2n1)解析 观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项分别为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式为(n1)(n2)(n3)(nn)2n×1×3×5××(2n1)(2)已知 f(x)，f1(x)f(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，经计算：f1(x)，f2(x)，f3(x)，照此规律，则 fn(x)_.答案 1nxn ex解析 因为 f1(x)，f2(x)，f3(x)，所以 fn(x).(3)2017·山东日照模拟设 n 为正整数，f(n)1，计算得 f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_答案 f(2n)(nN*)解析 f(21)，f(22)>2，f(23)>，f(24)>，归纳，得 f(2n)(nN*)点石成金 1.与数字有关的等式的推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解2与不等式有关的推理，观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解角度三- 7 - / 13形的归纳典题 4 (1)2017·重庆模拟某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为( )A21 B34 C52 D55答案 D解析 因为 211,321,532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第 10 年树的分枝数为 213455.(2)下面图形由小正方形组成，请观察图至图的规律，并依此规律，写出第 n 个图形中小正方形的个数是_答案 nn1 2解析 由题图知，第 n 个图形的小正方形个数为123n，总个数为.点石成金 与图形变化有关的推理的解题策略合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性考点 3 演绎推理1.演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由_到_的推理答案：一般 特殊2 “三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提已知的_- 8 - / 13(2)小前提所研究的_(3)结论根据一般原理，对_做出的判断答案：(1)一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况演绎推理的两个易错点：推理形式错误；大(小)前提错误(1)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是_(2)“所有是 3 的倍数的数都是 9 的倍数，m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数” ，这是三段论推理，但其结论是错误的，错误的原因是_答案：(1)推理形式错误 (2)大前提错误解析：(1)大前提与小前提之间没有包含关系，虽然使用了“三段论” ，但推理形式错误(2)因为大前提错误，所以尽管推理的形式正确，结论仍然是错的.典题 5 已知函数 f(x)(a>0，且 a1)(1)证明：函数 yf(x)的图象关于点，对称；(2)求 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值(1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数，让取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知 y，则1y1，f(1x)aa ax a，1yf(1x)，即函数 yf(x)的图象关于点对称- 9 - / 13(2)解 由(1)知，1f(x)f(1x)，即 f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.故 f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.点石成金 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提方法技巧 1.合情推理的过程提出 猜想从具体问 题出发2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行易错防范 1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误2合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明3演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性真题演练集训 12016·北京卷袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )- 10 - / 13A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案：B解析：解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误故选 B.解法二：设袋中共有 2n 个球，最终放入甲盒中 k 个红球，放入乙盒中 s 个红球依题意知，甲盒中有(nk)个黑球，乙盒中共有 k个球，其中红球有 s 个，黑球有(ks)个，丙盒中共有(nk)个球，其中红球有(nks)个，黑球有(nk)(nks)s(个)所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多故选 B.22014·北京卷学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀” “合格” “不合格” 若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好” 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A2 人 B3 人 C4 人 D5 人答案：B解析：设学生人数为 n，因为成绩评定只有“优秀” “合格” “不- 11 - / 13合格”三种情况，所以当 n4 时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两人成绩不全相同”矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩好，也不满足条件，因此：n4，即 n3.当 n3 时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格” “不合格，优秀” ，符合题意，故 n3，故选 B.32015·山东卷观察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此规律，当 nN*时，CCCC_.答案：4n1解析：由题知，CCCC4n1.42015·福建卷一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中 xk(k1,2，n)称为第 k 位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0 变为 1，或者由 1 变为 0)已知某种二元码 x1x2x7 的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000,011,101,110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定 k 等于_答案：5- 12 - / 13解析：设 a，b，c，d0,1，在规定运算法则下满足：abcd0，可分为下列三类情况：4 个1：11110，2 个 1：11000，0 个1：00000，因此，错码 1101101 通过校验方程组可得：由 x4x5x6x70，11010；由 x2x3x6x70，10010；由 x1x3x5x70，10110.错码可能出现在 x5 上或 x1 与 x4 都错由已知只有第 k 位发生码元错误，故错误为 x5，若 x50，则检验方程组都成立，故 k5.52014·新课标全国卷甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_答案：A解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过 B 城市，乙没有去过 C 城市，因此三人去过的同一城市应为 A，而甲去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，所以甲去过的城市数应为 2，乙去过的城市应为 A.课外拓展阅读 归纳不准确致误分析典例 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为 1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列an(nN*)的前 12 项，如表所示- 13 - / 13a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则 a2 013a2 014a2 015 等于( )A1 004 B1 007 C1 011 D2 014易错分析 本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的 6 个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇、偶项的关系本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即 a2nn(nN*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足 a4n3a4n10(nN*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当 n 为偶数时 ann，就会得到 a2 013a2 014a2 0152 014 的错误结论，而选 D.解析 a11，a21，a31，a42，a52，a63，a72，a84，这个数列的规律是奇数项为 1，1,2，2,3，偶数项为1,2,3，故 a2 013a2 0150，a2 0141 007，故 a2 013a2 014a2 0151 007.答案 B归纳总结由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验因此，它不能作为数学证明的工具