高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数教师用书理.doc

- 1 -第六节第六节 对数与对数函数对数与对数函数2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a>0，且a1)。2016，全国卷，8,5 分(对数函数的性质)2016，浙江卷，12,6 分(对数函数的运算)2015，全国卷，13,5 分(对数函数的性质)2015，全国卷，5,5 分(对数运算)较少直接考查(若考查，则幂和对数的大小比较是热点)，间接考查主要体现在导数应用中。微知识 小题练自|主|排|查1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0，且a1) logaN- 2 -常用对数底数为 10 lgN自然对数底数为 e lnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质alogaNN；logaaNN(a0，且a1)。(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零，且不等于 1)；logaN logablogab，推广 logab·logbc·logcdlogad。1 logba(3)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；M NlogaMnnlogaM(nR R)；logamMn logaM。n m3对数函数的图象与性质a10a1图象(1)定义域：(0，)(2)值域：R R(3)过点(1,0)，即x1 时，y0(4)当x1 时，y0；当 0x1 时，y0(4)当x1 时，y0；当 0x1 时，y0性质(5)是(0，)上的增函数(5)是(0，)上的减函数- 3 -(6)ylogax的图象与ylogx(a0 且a1)的图象关于x轴对称1 a4yax与ylogax(a0，a1)的关系指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称。微点提醒 1换底公式的两个重要结论logab；logambn logab。1 logban m其中a>0，且a1，b>0，且b1，m，nR R。2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故 00，a1)的图象经过定点A，则A点坐标是_。【答案】 (1,0)4已知a>0，且a1，函数yax与yloga(x)的图象可能是_(填序号)。【答案】 5(2017·大连模拟)不等式 log (2x1)>log (3x)的解集为_。1 21 2【解析】 由题意Error!Error! 0，y>0,2x3y>0， ，log2。x y9 43 2x y【答案】 (1)A (2)2 (3)2反思归纳 对数运算的一般思路1首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并。2将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算。【变式训练】 (1)(2016·大连模拟)计算：log2_。log2524log2541 5(2)若正数a，b满足 3log2a2log3blog6(ab)，则 的值为_。1 a1 b【解析】 (1)原式|log252|log251log252log252。(2)根据题意设 3log2a2log3blog6(ab)k，所以有a2k3，b3k2，ab6k， 23×3272。1 a1 bab ab6k 2k3·3k22k·3k 2k3·3k2【答案】 (1)2 (2)72- 6 -考点二 对数函数的图象及应用母题发散【典例 2】 (1)函数y2log4(1x)的图象大致是( )(2)当 01 时不满足条件，当 0，所以a的取值范围为。故选 B。22(22，1)【答案】 (1)C (2)B【母题变式】 若本典例(2)变为：若不等式x2logax1 时，显然不成立；当 0b>1,0b>c Bc>b>aCc>a>b Da>c>b【解析】 (1)解法一：由a>b>1,0bc，A 错；- 8 -0ac1，又ab>0，ab·bc1>ab·ac1，即abc>bac，B 错；易知ylogcx是减函数，0>logcb>logca，logbclogac>0，又a>b>1>0，alogbc>blogac>0，alogbcb>a，故选 B。【答案】 (1)C (2)B角度二：对数不等式的有关问题【典例 4】 (1)(2016·浙江高考)已知a，b>0，且a1，b1。若 logab>1，则( )A(a1)(b1)0C(b1)(ba)0(2)设函数f(x)log (x21)，则不等式f(log2x)f(logx)2 的解集为( )1 28 3x211 2A(0,2 B.1 2，2C2，) D.2，)(0，1 2【解析】 (1)根据题意，logab>1logablogaa>0loga>0b aError!或Error!，即Error!或Error!。当Error!时，0a>1，b1>0，ba>0。(b1)(ba)>0。故选 D。(2)f(x)的定义域为 R R，f(x)log (x21)f(x)，f(x)为 R R 上的偶函1 28 3x21数。易知其在区间0，)上单调递减。- 9 -令tlog2x，所以 logxt，1 2则不等式f(log2x)f(logx)2 可化为f(t)f(t)2，1 2即 2f(t)2，所以f(t)1，又f(1)log 21，f(x)在0，)上单调递减，在 R R 上为偶函数，1 28 311t1，即 log2x1,1，x。故选 B。1 2，2【答案】 (1)D (2)B角度三：对数性质的综合应用【典例 5】 关于函数f(x)lg(x0)，有下列结论：x21 |x|其图象关于y轴对称；当x>0 时，f(x)是增函数；当x0，b>0，ab8，则当a的值为_时，log2a·log2(2b)取得最大值。解析 由于a>0，b>0，ab8，所以a ，所以 log2a·log2(2b)log2·log2(2b)8 b8 b(3log2b)·(1log2b)(log2b)22log2b3(log2b1)24，当b2 时，有最大值 4，此时a4。答案 4- 12 -微专题 巧突破幂、指数、对数比较大小的几种技巧幂、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函数图象和性质，做到“胸有成图” 。解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小。下面以函数类型来划分几种题型，有助于提高解题能力。一、直接考查单一函数【典例 1】 已知 0n>1。故选 A。【答案】 A【变式训练 1】 已知实数a，b满足不等式 log2a ，所以y21,01,0c。故选 C。1 2【答案】 C三、以三种函数为背景【典例 3】 设a，b，c均为正数，且 2aloga，blogb，clog2c，则( )1 2(1 2)1 2(1 2)Aa1，即 loga>1，解得 00，ln3 3ln5 55ln33ln5 15ac>0，ln2 2ln5 55ln22ln5 10所以b>a>c。解法二：数形结合法变形a，则a表示函数ylnx图象上的点(2，ln2)与点(0,0)连线的斜率。ln2 2ln20 20同理，b，c分别表示点(3，ln3)，点(5，ln5)与点(0,0)的连ln3 3ln30 30ln5 5ln50 50线斜率。作出函数ylnx的图象，标出相应点的位置，观察可知b>a>c。解法三：构造函数法令y，y，令y0，得xe，所以函数在x(0，e)上单调lnx x1lnx x21lnx x2递增，在x(e，)上单调递减，函数在xe 处取得极大值，再作差比较a与c的大小，易知b>a>c。【答案】 b>a>c