高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理.doc

- 1 - / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形角形 4-24-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理考纲展示 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出±，± 的正弦、余弦、正切的诱导公式考点 1 三角函数的诱导公式诱导公式组序一二三四五六角2k(kZ Z) 2 2正弦sin sin sin sin cos _余弦cos cos cos _sin sin 续表组序一二三四五六正切tan tan tan _口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限答案：cos cos tan (1)教材习题改编已知 f(x)sin2sin4cos 2x3cos，则f 的值为( )A0 B1 C5 D9答案：C- 2 - / 12(2)教材习题改编已知 cos ，则 sin_.答案：3 5解析：sincos .诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了sin(2 010°)的值是_答案：1 2解析：sin(2 010°)sin 2 010°sin(5×360°210°)sin 210°sin(180°30°)sin 30°.典题 1 (1)2017·浙江台州中学高三月考已知 sin，则cos( )A. B C. D1 3答案 D解析 根据诱导公式可知，sin coscos，故选 D.(2)sin(1 200°)cos 1 290°cos(1 020°)sin(1 050°)_.答案 1解析 原式sin 1 200°cos 1 290°cos 1 020°·sin 1 050°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)sin(2×360°330°)sin 120°cos 210°cos 300°sin 330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(360°60°)·sin(360°30°)- 3 - / 12sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°××1.(3)设 f()，其中 12sin 0，则 f_.答案 3解析 f()2sin cos cos 1sin2sin cos2，f1tan(46).点石成金 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值考点 2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2cos2_；(2)商数关系tan .答案：(1)1(1)教材习题改编已知 cos ，且 是第四象限角，则 sin 的值为_答案：5 13- 4 - / 12解析：由于 是第四象限角，故 sin .(2)教材习题改编已知 tan 2，则_.答案：21.基本关系式的误区：公式形式误区；角的范围误区下列命题正确的有_(填序号)若 ， 为锐角，则 sin2cos21；若 R，则 tan 恒成立；sin2cos2sin2cos2.答案：解析：只有当 时，才有 sin2cos21；因为 cos 0，则 k，kZ；根据平方关系式，可得正确2诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名(1)若 sin(3)，则 sin _.(2)若 cosm，则 sin _.答案：(1) (2)m解析：(1)先应用诱导公式一，得sin(3)sin(2)sin()；再应用公式二，得 sin()sin ，故 sin .(2)因为 可看作是第二象限角，所以 cossin ，故 sin m.有关结论(1)_.- 5 - / 12答案：cos2解析：由 sin2cos21 和tan ，得tan2cos2cos21，故cos2.(2)_.答案：|sin cos |解析：因为 1sin 2sin2cos22sin cos (sin cos )2，所以|sin cos |.典题 2 (1)2017·甘肃兰州诊断已知 sin()log8 ，且 ，则 tan(2)的值为( )A B. C± D.52答案 B解析 sin()sin log8 ，又因为 ，则 cos ，所以 tan(2)tan()tan .(2)已知 sin cos ，且 0，则 tan _.答案 4 3解析 解法一：联立方程由得 cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120. 是三角形的内角，Error!tan .- 6 - / 12解法二：sin cos ，(sin cos )22，即 12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos 0 且 0，sin 0，cos 0，sin cos 0.sin cos .由Error!得Error!tan .题点发散 1 保持本例(2)中条件不变，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值解：由母题，可知tan .(1)tan 4 5tan 2.(2)sin22sin cos sin22sin cos sin2cos2.题点发散 2 若本例(2)中条件变为“5” ，求 tan 的值解：解法一：由5，得5，即 tan 2.tan 3 3tan - 7 - / 12解法二：由5，得sin 3cos 15cos 5sin ，6sin 12cos ，即 tan 2.题点发散 3 若本例(2)中的条件和结论互换：已知 是三角形的内角，且 tan ，求 sin cos 的值解：由 tan ，得 sin cos ，将其代入 sin2cos21，得 cos21，cos2，易知 cos 0，cos ，sin ，故 sin cos .点石成金 同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式 tan 化成sin cos 正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切sin cos 表达式中含有 sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan (sin ±cos ) 422sin cos 表达式中需要利用“1”转化和积转换利用(sin ±cos )21±2sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有 sin ±cos 或sin cos 1.若 3sin cos 0，则的值为( )A. B.5 3C. D2答案：A解析：3sin cos 0cos 0tan ，- 8 - / 121 cos22sin cos cos2sin2 cos22sin cos .22017·四川雅安模拟已知 sin cos ，则sin cos 的值为( )A. B.1 3C D1 3答案：C解析：由题意，知(sin cos )2，12sin cos ，2sin cos ，由(sin cos )212sin cos 1，可得 sin cos ±.又，sin c>aAa>b>c Dc>a>bCc>b>a 答案：C解析：asin 33°，bcos 55°sin 35°，ctan 35°，又 0b>a.32015·四川卷已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_答案：1解析：由 sin 2cos 0，得 tan 2.所以 2sin cos cos22sin cos cos2 sin2cos21.课外拓展阅读 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用典例 (1)已知 A(kZ)，则 A 的值构成的集合是( )B1,1A1，1,2，2 D1，1,0,2，2C2，2 (2)在ABC 中，若 sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，则 C_.思路分析 (1)角中有整数 k，应对 k 是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论解析 (1)当 k 为偶数时，A2；当 k 为奇数时，A2.所以 A 的值构成的集合是2，2(2)由已知，得Error!22，得 2cos2A1，即 cos A±，当 cos A时，cos B，又 A，B 是三角形的内角，所以 A，B，所以 C(AB).- 12 - / 12当 cos A时，cos B.又 A，B 是三角形的内角，所以 A，B，不合题意综上，C.答案 (1)C (2)7 12温馨提示(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用