高考数学大一轮复习第八章解析几何第九节圆锥曲线的综合问题教师用书理.doc

- 1 -第九节第九节 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解圆锥曲线的简单应用；2.理解数形结合的思想；3.掌握解决直线和圆锥曲线位置关系的方法。2016，全国卷，20,12 分(取值范围问题)2016，全国卷，20,12 分(取值范围问题)2016，山东卷，21,14 分(最值问题)2016，北京卷，19,14 分(定值问题)本部分内容要求较高，思维量和运算量都比较大，主要考查学生的思维品质和解决问题的能力。命题主要方向是考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点和定值、最值和范围以及证明某些几何问题、解决一些探索性问题等。微知识 小题练自|主|排|查1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点。(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断。设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程为f(x，y)0。由Error!消元。(如消去y)得ax2bxc0。若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)。若a0，设 b24ac。a当 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b当 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点；c当 0 时，直线和圆锥曲线没有公共点。2直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|1k2x1x224x1x2·|x1x2|1k2 11 k2y1y224y1y2- 2 -|y1y2|。11 k2(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)。3圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。在椭圆1 中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线x2 a2y2 b2b2x0 a2y01 中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px(p0)x2 a2y2 b2b2x0 a2y0中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k。在使用根与系数关系时，要注意使用条p y0件是 0。微点提醒 1弦长公式使用时要注意直线的斜率情况，对于斜率不存在的直线要单独处理，对于抛物线中的过焦点的弦要使用其特定的公式。2直线与双曲线或与抛物线的交点问题比直线与椭圆的交点问题更为复杂，除了可以利用方程分析，还可以结合图象分析。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 21P71例 6 改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【解析】 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)。故选 C。【答案】 C2(选修 21P69例 4 改编)直线l经过抛物线y24x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_。【解析】 当直线l的斜率不存在时，显然不成立。设直线l的斜率为k，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为直线l过焦点F(1,0)，故直线l的方程为yk(x1)。由Error!得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，则Error!- 3 -所以|AB|x1x2|1k21k2 x1x224x1x28，1k2416k416 k2441k2 k2所以k21，故k±1。所以直线l的方程为y±(x1)，即xy10 或xy10。【答案】 xy10 或xy10二、双基查验1 “直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点。故选 A。【答案】 A2(2016·锦州模拟)过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为 135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为( )A4 B8 C12 D16【解析】 抛物线y28x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为 135°，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|x1x2412416。故选 D。【答案】 D3设P，Q分别为圆x2(y6)22 和椭圆y21 上的点，则P，Q两点间的最大距x2 10离是( )A5 B. 2462C7 D622【解析】 圆心M(0,6)，设椭圆上的点为Q(x，y)，则|MQ|x2y621010y2y62，9y212y46当y 1,1时，|MQ|max5。2 32- 4 -所以|PQ|max56。故选 D。222【答案】 D4已知椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上。x2 a2y2 b2222(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。【解析】 (1)由题意有，1，a2b2a224 a22 b2解得a28，b24，所以C的方程为1。x2 8y2 4(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)。将ykxb代入1 得x2 8y2 4(2k21)x24kbx2b280。xM，yMkxMb。x1x2 22kb 2k21b 2k21于是直线OM的斜率kOM，yM xM1 2k即kOM·k 。1 2所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。【答案】 (1)1 (2)见解析x2 8y2 4第一课时第一课时 最值、范围问题最值、范围问题微考点 大课堂考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【典例 1】 (1)直线ykx2 与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为( )A1 B1 或 3C0 D1 或 0(2)过抛物线y22px(p>0)的焦点F，斜率为 的直线交抛物线于A，B两点，若4 3(>1)，则的值为( )AFFB- 5 -A5 B4C. D.4 35 2【解析】 (1)由Error!得k2x2(4k8)x40，若k0，则y2，若k0，则0，即 6464k0，解得k1，所以直线ykx2 与抛物线y28x有且只有一个公共点时，k0 或 1。故选 D。(2)根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，AFFB(p 2x1，y1)(x2p 2，y2)故y1y2，即。y1 y2设直线AB的方程为y，4 3(xp 2)联立直线与抛物线方程，消元得y2pyp20。3 2故y1y2p，y1·y2p2，2 ，3 2y1y22 y1·y2y1 y2y2 y19 4即2 。又>1，故4。故选 B。1 9 4【答案】 (1)D (2)B反思归纳 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点1判定方法：直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判定该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点；有时也会考虑数形结合思想。2关注点：(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况。(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式 起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根。【变式训练】 (1)过点A(1,0)作倾斜角为的直线，与抛物线y22x交于M，N两点， 4则|MN|_。(2)已知点(4,2)是直线l被椭圆1 所截得的线段的中点，则l的方程是x2 36y2 9_。【解析】 (1)斜率ktan1，所以过点A(1,0)的直线方程为yx1。将其代入抛 4物线方程y22x，得x24x10。因为判别式 1640，所以设它的两根分别为x1，x2。- 6 -于是x1x24，x1x21。故|MN|×2。1k2 x1x224x1x221646(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，x2 1 36y2 1 9x2 2 36y2 2 9两式相减得。y1y2 x1x2x1x2 4y1y2又x1x28，y1y24，所以 ，y1y2 x1x21 2故直线l的方程为y2 (x4)，1 2即x2y80。【答案】 (1)2 (2)x2y806考点二 最值问题【典例 2】 (2016·重庆适应性测试)如图，F是椭圆1(a>b>0)的右焦点，O是坐标原点，|OF|，过F作OFx2 a2y2 b25的垂线交椭圆于P0，Q0两点，OP0Q0的面积为。4 53(1)求该椭圆的标准方程；(2)若直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，与x轴交于点M，且|PM|2|MQ|，求OPQ的面积取得最大值时直线l的方程。【解析】 (1)由题可得，|P0F| ，SOP0Q0 |OF|4 5354 3易知|P0F|，从而 。b2 ab2 a4 3又c|OF|，即a2b25，因此a2a50，解得a3 或a ，又a>0，故54 35 3a3，从而b2。故所求椭圆的标准方程为1。x2 9y2 4(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m,0)，由题知y1>0，y20，从而- 7 -y1y2，y1y2。8tm 4t294m29 4t29由|PM|2|MQ|，得2，即y12y2。y1 y2|PM| |MQ|因此y2(y1y2)，y1y22y，故22，8tm 4t292 24m29 4t29(8tm 4t29)从而m2。4t29 4t21所以SOPQ |OM|y1y2| |m|3y2|3。1 21 212|t|m2 4t2912|t| 4t21124|t|1 |t|当且仅当 4|t|，即t± 时，等号成立，此时m25，满足方程(*)1 |t|1 24 ×1 494 ×1 41的根的判别式大于 0。注意到y2且y2b>0)的离心率与双曲线x2y21 的离心率互为y2 a2x2 b2倒数，且椭圆的长轴长为 4。(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积22的最大值。【解析】 (1)双曲线的离心率为，2则椭圆的离心率e ，c a22由Error!Error!- 8 -故椭圆M的方程为1。y2 4x2 2(2)由Error!得 4x22mxm240，2由 (2m)216(m24)>0，2得2b>0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e。x2 a2y2 b2(1)若e，求椭圆的方程；32(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，若·0，且0m20，解得m> 。2m1 31 2综上，m的取值范围是。(1 2，2)答案 (1)y21 (2)x2 3(1 2，2)第二课时第二课时 定点、定值、探索性问题定点、定值、探索性问题微考点 大课堂考点一 定点问题【典例 1】 (2016·江西师大附中模拟)已知抛物线C的标准方程为y22px(p>0)，M为抛物线C上一动点，A(a,0)(a0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N。当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，MON的面积为 18。- 13 -(1)求抛物线C的标准方程；(2)记t，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点” ，试求出1 |AM|1 |AN|所有“稳定点” ，若没有，请说明理由。【解析】 (1)由题意，得SMON ·|OA|·|MN| · ·2p18，p6。故抛物1 21 2p 2p2 2线C的标准方程为y212x。(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为xmya，联立Error!得y212my12a0，144m248a>0，y1y212m，y1y212a。由对称性，不妨设m>0，当a0，y1，y2同号。又t，1 |AM|1 |AN|11m2|y1|11m2|y2|t2··1 1m2y1y22 y1y221 1m2144m2 144a2，1 a2(11 1m2)不论a取何值，t均与m有关，即a0 时，y1y212a0，Error!由M，N，S三点共线知kMSkNS，即，y1(my2t4)y2(my1t4)0，整理得 2my1y2(t4)(y1y2)0，所y1 x14y2 x24以0，即 24m(t1)0，t1。所以直线MP过定点D(1,0)，2m3t2126mtt4 3m24同理可得直线NQ也过定点D(1,0)(或由对称性判断)，即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点，且定点坐标为(1,0)。【答案】 (1)1(y0) (2)是定点(1,0)x2 4y2 3考点二 定值问题【典例 2】 (2016·北京高考)已知椭圆C：1 过A(2,0)，B(0,1)两点。x2 a2y2 b2(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：四边形ABNM的面积为定值。【解析】 (1)由题意得，a2，b1。所以椭圆C的方程为y21。x2 4又c，a2b23所以离心率e 。c a32(2)证明：设P(x0，y0)(x0b>0)的左焦点F1(1,0)，长轴长与短轴长的比x2 a2y2 b2是 2。3(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若mn，求证：为定值。1 |AB|1 |CD|【解析】 (1)由已知得Error!解得a2，b。故所求椭圆方程为1。3x2 4y2 3(2)证明：由已知F1(1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为yk(x1)(k0)。由Error!得(34k2)x28k2x4k2120。由于 >0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，8k2 34k24k212 34k2|AB|1k2x1x224x1x2- 16 -1k2(8k2 34k2)24 ×4k212 34k2。同理|CD|。121k2 34k2121k2 3k24所以1 |AB|1 |CD|34k2 121k23k24 121k2。71k2 121k27 12当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|3，|CD|4；或|AB|4，|CD|3，所以 。1 |AB|1 |CD|1 31 47 12综上，为定值。1 |AB|1 |CD|7 12【答案】 (1)1 (2)见解析x2 4y2 3考点三 探索性问题【典例 3】 已知椭圆C：9x2y2m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，(m 3，m)求此时l的斜率；若不能，说明理由。【解析】 (1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)。将ykxb代入 9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，x1x2 2kb k29yMkxMb。9b k29于是直线OM的斜率kOM ，yM xM9 k即kOM·k9。所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。(2)四边形OAPB能为平行四边形。因为直线l过点，所以由 4k2b24(k29)(b2m2)>0，即k2m2>9b29m2，(m 3，m)- 17 -bmm，k 3k2m2>929m2，(mkm 3)即k2>k26k，则k>0，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k3。由(1)得OM的方程为yx。9 k设点P的横坐标为xP，由Error!得x，即xP。2Pk2m2 9k281±km3k29将点的坐标代入直线l的方程得b，因此xM。(m 3，m)m3k 3kk3m 3k29四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM。于是2×，±km3k29kk3m 3k29解得k14，k24。77因为ki>0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为 4或 4时，四边形OAPB为平77行四边形。【答案】 (1)见解析 (2)直线l的斜率为 4或 4时，四边形OAPB为平行四边77形反思归纳 解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解。【变式训练】 (2017·兰州模拟)如图，椭圆C：1(a>b>0)经过点P，离心率e ，直线l的方程为x4。x2 a2y2 b2(1，3 2)1 2(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记- 18 -PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3。问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由。【解析】 (1)由P在椭圆上得，(1，3 2)1，1 a29 4b2依题设知a2c，则a24c2，b23c2，将代入得c21，a24，b23。故椭圆C的方程为1。x2 4y2 3(2)存在。由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入椭圆方程并整理得(4k23)x28k2x4(k23)0。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，8k2 4k234k23 4k23在方程中令x4，得M(4,3k)。从而k1，k2，y132 x11y232 x21k3k 。3k32 411 2注意到A，F，B三点共线，则有kkAFkBF，即k。y1 x11y2 x21所以k1k22k ·y132 x11y232 x21y1 x11y2 x213 2(1 x111 x21)3 2，x1x22 x1x2x1x21将代入得k1k22k ·2k1。3 28k2 4k232 4k23 4k238k2 4k231又k3k ，所以k1k22k3。故存在常数2 符合题意。1 2【答案】 (1)1 (2)存在2x2 4y2 3微考场 新提升- 19 -1如图，在平面直角坐标系xOy中，点F，直线l：x ，点(1 2，0)1 2P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl。(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由。解析 (1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线。点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|，又|PQ|是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x>0)。(2)弦长|TS|为定值。理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|，x012y2 0则|TS|22，r2d2y2 02x01因为点M在曲线C上，所以x0，y2 0 2所以|TS|22，是定值。y2 0y2 01答案 (1)y22x(x>0)(2)是定值 2，理由见解析2椭圆的两焦点坐标分别为F1(，0)，F2(，0)，且椭圆过点P。33(1，32)(1)求椭圆方程；(2)若A为椭圆的左顶点，作AMAN与椭圆交于两点M，N，试问：直线MN是否恒过x轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由。解析 (1)设椭圆的方程为1(a>b>0)，x2 a2y2 b2由题意得c，且椭圆过点P，3(1，32)Error!解得Error!椭圆方程为y21。x2 4(2)由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T(a，0)设其方程为xmya。由Error!得(m24)y22amya240。设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则- 20 -y1y2，y1y2。2am m24a24 m24x1x2my1amy2am(y1y2)2a，x1x2(my1a)(my2a)m2y1y2am(y1y2)a2。AMAN，·0，AMAN即(x12，y1)·(x22，y2)0，x1x22(x1x2)4y1y20。(m21)y1y2m(a2)(y1y2)(a2)20，即(a2)20。m21a2a2 m242am2a2 m24若a2，则T与A重合，不合题意，a20，整理得a 。6 5综上，直线MN恒过定点。(6 5，0)答案 (1)y21x2 4(2)直线 MN 恒过定点(65，0)