高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第六节直接证明与间接证明教师用书理.doc

- 1 -第六节第六节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解反证法的思考过程和特点。2015，全国卷，18,6 分(直接证明)2015，江苏卷，23,10 分(反证法)2014，山东卷，4,5 分(反证法)直接证明与间接证明常以函数、不等式、数列、解析几何等为背景考查，题型以解答题为主。微知识 小题练自|主|排|查1直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示PQ1Q1Q2 QnQQP1P1P2得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后- 2 -得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。微点提醒 1分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件。2综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法。3用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况。然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 22P89练习 T2改编)若P，Q(a0)，则P，Qa6a7a8a5的大小关系是( )AP>Q BPQCPQ，只需P2>Q2，即 2a132>2a132a6a7，只需a213a42>a213a40。因为 42>40 成立，所以P>Q成立。故a8a5选 A。【答案】 A2(选修 22P90 例 5 改编)用反证法证明命题“a，bN N，ab可被 5 整除，那么a，b中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为( )Aa，b都能被 5 整除Ba，b都不能被 5 整除Ca，b不都能被 5 整除Da不能被 5 整除【解析】 “a，b至少有一个能被 5 整除”的否定是“a，b都不能被 5 整除” 。故选B。【答案】 B二、双基查验1用分析法证明：欲使AB，只需CD，这里是的( )A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】 由题意可知，应有，故是的必要条件。故选 B。【答案】 B2如果ab>ab，则实数a，b应满足的条件是( )abba- 3 -Aa>b>0 Bab Da0，b0，且ab【解析】 (ab)(ab)(ab)()>0，a0，b0，且ab。abbaab故选 D。【答案】 D3设a，b，c都是正数，则a ，b ，c 三个数( )1 b1 c1 aA都大于 2B都小于 2C至少有一个不大于 2D至少有一个不小于 2【解析】 因为(a1 b) (b1 c) (c1 a)6，(a1 a) (b1 b) (c1 c)当且仅当abc时取等号，所以三个数中至少有一个不小于 2。故选 D。【答案】 D4用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC90°90°C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾，则AB90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90°。正确顺序的序号排列为_。【解析】 由反证法证明的步骤知，先反设，即，再推出矛盾，即，最后作出判断，肯定结论，即，顺序应为。故填。【答案】 5命题“a，b是实数，若|a1|(b1)20，则ab1” ，用反证法证明时应假设_。【解析】 ab1 表示a1 且b1，故其否定是a1，或b1。故填a1，或b1。【答案】 a1，或b1微考点 大课堂考点一 分析法【典例 1】 已知函数f(x)3x2x，求证：对于任意的x1，x2R R，均有- 4 -f。fx1fx2 2(x1x2 2)【证明】 要证明f，即证明fx1fx2 2(x1x2 2)32·，3x12x13x22x2 2x1x2 2x1x2 2因此只要证明(x1x2)3(x1x2)，3x13x2 2x1x2 2即证明3，3x13x2 2x1x2 2因此只要证明，3x13x2 23x1·3x2由于x1，x2R R，所以 3x10,3x20，由基本不等式知显然成立，故原结论成立。3x13x2 23x1·3x2反思归纳 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。【变式训练】 已知a>0，求证： a 2。a21 a221 a【证明】 要证 a 2，a21 a221 a只要证 2a 。a21 a21 a2a>0，故只要证22，(a21 a22)(a1 a 2)即a24 4a2222，1 a2a21 a21 a22(a1 a)从而只要证 2 ，a21 a22(a1 a)只要证 42，即a22，(a21 a2)(a221 a2)1 a2而上述不等式显然成立，故原不等式成立。考点二 综合法【典例 2】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1。- 5 -(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求证：5a3b。2 3【证明】 (1)由已知得 sinAsinBsinBsinC2sin2B，因为 sinB0，所以 sinAsinC2sinB，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差数列。(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有 5ab3b20，所以2 3 ，即 5a3b。a b3 5反思归纳 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。【变式训练】 已知函数f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函数yf(x)与函1 21 3数yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线。(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)g(x)。【解析】 (1)f(x)，g(x)bxx2，1 1x由题意得Error!解得a0，b1。(2)证明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x1)。1 31 2h(x)x2x1。1 x1x3 x1h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数。h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x)。【答案】 (1)a0，b1 (2)见解析考点三 反证法【典例 3】 设an是公比为q的等比数列。(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列。【解析】 (1)分两种情况讨论。- 6 -当q1 时，数列an是首项为a1的常数数列，所以Sna1a1a1na1。当q1 时，Sna1a2an1anqSnqa1qa2qan1qan。上面两式错位相减：(1q)Sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qanSn。a1qan 1qa11qn 1q综上，SnError!(2)使用反证法：设an是公比q1 的等比数列，假设数列an1是等比数列，则(a21)2(a11)(a31)，即(a1q1)2(a11)(a1q21)，整理得a1(q1)20 得a10 或q1 均与题设矛盾，故数列an1不是等比数列。【答案】 (1)SnError!(2)见解析反思归纳 (1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多” 、 “至少” 、 “唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证。(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的。【变式训练】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393。22(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn (nN N*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列。Sn n【解析】 (1)由已知得Error!d2，故an2n1，Snn(n)。22(2)证明：由(1)得bnn。Sn n2假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p、q、rN N*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr。2q即(q)2(p)(r)。222(q2pr)(2qpr)0。2p，q，rN N*，Error!2pr，(pr)20，pr。(pr 2)与pr矛盾。所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列。- 7 -【答案】 (1)an2n1，Snn(n)22(2)见解析- 8 -微考场 新提升1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的( )A充分条件 B必要条件C充要条件 D等价条件答案 A2若a>0，b>0，且ab4，则下列不等式中恒成立的是( )A.> B. 11 ab1 21 a1 bC.2 D.ab1 a2b21 8解析 a2b22ab，2(a2b2)(ab)216。a2b28， 。1 a2b21 8答案 D3用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数Ca，b，c都是奇数Da，b，c都是偶数答案 B4已知a，b，c为互不相等的非负数。求证：a2b2c2>()。abcabc证明 a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又a，b，c为互不相等的非负数，上面三个式子中都不能取“” 。a2b2c2>abbcac。abbc2，bcac2，ab2cabc2abac2，a2bc又a，b，c为互不相等的非负数，abbcac>()。abcabca2b2c2>()。abcabc- 9 -5设数列an满足a10 且1。1 1an11 1an(1)求an的通项公式；(2)设bn，记Snbk，证明：Sn<1。1an1nn k1解析 (1)由题设1，1 1an11 1an得是公差为 1 的等差数列。1 1an又1，故n。所以an1 。1 1a11 1an1 n(2)证明：由(1)得bn，1an1nn1nn1·n1n1n1Snbk1<1。n k1n k1(1k1k1)1n1答案 (1)an1 (2)见解析1n