高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第八节离散型随机变量的均值与方差教师用书理.doc

- 1 -第八节第八节 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。2016，全国卷，19,12 分(随机变量的分布列、均值)2016，山东卷，19,12 分(随机变量的分布列、均值)2015，安徽卷，17,12 分(条件概率、分布列、均值)2014，陕西卷，19,12 分(二项分布)1.主要考查离散型随机变量的数学期望与方差的求解及应用，常与排列、组合、概率、统计交汇命题；2.题型以解答题为主，要求较高，解题时要求有较强的综合能力以及分析问题、解决问题的能力。微知识 小题练自|主|排|查1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。(2)D(X)(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的n i1平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差。DX2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b，(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)。3两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布XB(n，p)E(X)p(p为成功概率)np- 2 -D(X)p(1p)np(1p)微点提醒 1均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态。2已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解。若所给随机变量服从两点分布或二项分布等，则可直接利用它们的均值、方差公式求解。3已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 23P64练习 T2改编)已知离散型随机变量X的分布列为X123P3 53 101 10则X的数学期望E(X)( )A. B23 2C. D35 2【解析】 E(X)1× 2×3× 。故选 A。3 53 101 1015 103 2【答案】 A2(选修 23P69B 组 T1改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次试验中成功次数的均值为_。【解析】 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现 5 点和 6 点时的概率为 × ，所以至4 64 64 9少有一次出现 5 点或 6 点的概率为 1 ，用X表示 10 次试验中成功的次数，则XB4 95 9，E(X)10× 。(10，5 9)5 950 9【答案】 50 9二、双基查验1已知X的分布列为X101- 3 -P1 21 31 6设Y2X3，则E(Y)的值为( )A. B47 3C1 D1【解析】 E(X) ，1 21 61 3E(Y)E(2X3)2E(X)3 3 。故选 A。2 37 3【答案】 A2(2017·洛阳模拟)一个人将编号为 1,2,3,4 的四个小球随机放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。设放对个数记为，则的期望的值为( )A. B.1 22 3C1 D2【解析】 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有 A 种不同4 4放法，放对的个数可取的值有 0,1,2,4，其中P(0) ，9 A4 43 8P(1) ，P(2) ，P(4)，E()C1 4 × 2 A4 41 3C2 4 A4 41 41 A4 41 240× 1× 2× 4×1。故选 C。3 81 31 41 24【答案】 C3某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )A100 B200C300 D400【解析】 记不发芽的种子数为，则B(1 000，0.1)E()1 000×0.1100。又X2，E(X)E(2)，2E()200。故选 B。【答案】 B4随机变量的取值为 0,1,2，若P(0) ，E()1，则D()_。1 5【解析】 设1 时的概率为p，则E()0× 1×p2×1，解得p1 5(1p1 5)，故D()(01)2× (11)2× (21)2× 。3 51 53 51 52 5- 4 -【答案】 2 55(2016·兰州一中模拟)若随机变量B，则D(32)_.(5，1 3)【解析】 随机变量B，D()5× ×，D(32)(5，1 3)1 3(11 3)10 99D()10。【答案】 10微考点 大课堂考点一 与超几何分布有关的均值与方差【典例 1】 某公司电脑专业技术人员对该公司A，B两个办公室的 50 台电脑进行报废检查，其中A办公室的电脑占 60%，B办公室的电脑占 40%，A办公室电脑的报废率为10%，B办公室电脑的报废率为 20%。(1)若从这 50 台电脑中随机抽取 1 台(每台电脑被抽到的机会相等)，求该电脑是A办公室的且不报废的概率；(2)若从这 50 台电脑中随机抽取 2 台(每台电脑被抽到的机会相等)，记这 2 台电脑是A办公室的且不报废的台数为，求的分布列与数学期望。【解析】 (1)由题意可得，这 50 台电脑中，A办公室有 50×60%30 台，其中A办公室的电脑不报废的有 30×(110%)27 台，故从这 50 台电脑中随机抽取 1 台，该电脑是A办公室的且不报废的概率为。27 50(2)依题意，的所有可能取值为 0,1,2，P(0)，C 2 23 C 2 50253 1 225P(1)，C 1 27C 1 23 C 2 50621 1 225P(2)。C 2 27 C 2 50351 1 225的分布列为012P253 1 225621 1 225351 1 225E()0×1×2×253 1 225621 1 225351 1 22527 25- 5 -【答案】 (1)27 50(2)见解析反思归纳 求离散型随机变量的均值与方差的步骤1理解的意义，写出可能的全部值。2求取每个值的概率。3写出的分布列。4由均值的定义求E()。5由方差的定义求D()。【变式训练】 一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共 11 只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出 1 只昆虫(假设任意 1 只昆虫等可能地飞出)。若有 2 只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是。21 55(1)求盒子中蜜蜂有几只。(2)若从盒子中先后任意飞出 3 只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)。【解析】 (1)设“2 只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为x只，则由题意，得P(A)，所以(11x)(10x)42，C211x C 2 1121 55解之得x4 或x17(舍去)，故盒子中蜜蜂有 4 只。(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有 4 只，则X的取值可为 0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，C3 7 C 3 117 33C1 4C2 7 C 3 1128 55P(X2)，P(X3)。C2 4C1 7 C 3 1114 55C3 4 C 3 114 165故X的分布列为X0123P7 3328 5514 554 165数学期望E(X)0×1×2×3×。7 3328 5514 554 16512 11【答案】 (1)4 只 (2)见解析考点二 与相互独立事件有关的均值与方差【典例 2】 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成- 6 -语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对3 4的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响。假设“星队”参2 3加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)。【解析】 (1)记事件A：“甲第一轮猜对” ，记事件B：“乙第一轮猜对” ，记事件C：“甲第二轮猜对” ，记事件D：“乙第二轮猜对” 。记事件E：“星队至少猜对 3 个成语” 。由题意，EABCDBCDA CDAB DABC。ABCD由事件的独立性与互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(A CD)P(AB D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P( )P(B)ABCDAP(C)P(D)P(A)P( )P(C)P(D)P(A)P(B)P( )P(D)P(A)P(B)P(C)P( ) × × × 2×BCD3 42 33 42 3 。(1 4×2 3×3 4×2 33 4×1 3×3 4×2 3)2 3所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 。2 3(2)由题意，随机变量X可能的取值为 0,1,2,3,4,6。由事件的独立性与互斥性，得P(X0) × × × ，1 41 31 41 31 144P(X1)2×(3 4×1 3×1 4×1 31 4×2 3×1 4×1 3)，10 1445 72P(X2) × × × × × × × × × × × × ，3 41 33 41 33 41 31 42 31 42 33 41 31 42 31 42 325 144P(X3) × × × × × × ，3 42 31 41 31 41 33 42 312 1441 12P(X4)2×(3 4×2 3×3 4×1 33 4×2 3×1 4×2 3)，60 1445 12P(X6) × × × 。3 42 33 42 336 1441 4可得随机变量X的分布列为- 7 -X012346P1 1445 7225 1441 125 121 4所以数学期望E(X)0×1×2×3×4×6× 。1 1445 7225 1441 125 121 423 6【答案】 (1) (2)见解析2 3反思归纳 首先根据条件判断事件是否是相互独立事件，若是相互独立事件，先求出相关分布列，再求出数学期望与方差。【变式训练】 (2016·沈阳质监)某中学根据 20022014 年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影” 、 “棋类” 、 “国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立。2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影” 、 “棋类”、 “国学”三个社团的概率依次为m、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入1 31 24一个社团的概率为 ，且m>n。3 4(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分 1 分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“国学”社的同学增加样本选修学分 3 分。求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望。【解析】 (1)依题意得Error!解得Error!(2)设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6。而P(X0) × × ；1 22 33 41 4P(X1) × × ；1 22 33 41 4P(X2) × × ；1 21 33 41 8P(X3) × × × × ；1 22 31 41 21 33 45 24P(X4) × × ；1 22 31 41 12P(X5) × × ；1 21 31 41 24P(X6) × × 。1 21 31 41 24- 8 -X的分布列为：X0123456P1 41 41 85 241 121 241 24于是，E(X)0× 1× 2× 3×4×5×6×。1 41 41 85 241 121 241 2423 12【答案】 (1)m n (2)见解析1 21 4考点三 与二项分布有关的均值与方差【典例 3】 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差。【解析】 (1)记事件A1从甲箱中摸出的 1 个球是红球，A2从乙箱中摸出的 1 个球是红球，B1顾客抽奖 1 次获一等奖，B2顾客抽奖 1 次获二等奖，C顾客抽奖 1 次能获奖。由题意知A1与A2相互独立，A1 2与1A2互斥，B1与B2互斥，且AAB1A1A2，B2A1 21A2，CB1B2。AA因为P(A1) ，P(A2) ，4 102 55 101 2所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2) × ，2 51 21 5P(B2)P(A1 21A2)P(A1 2)P(1A2)AAAAP(A1)P(2)P(1)P(A2)AAP(A1)1P(A2)1P(A1)P(A2) ×× 。2 5(11 2) (12 5)1 21 2故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2) 。1 51 27 10(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ，1 5- 9 -所以XB。(3，1 5)于是P(X0)C03，0 3(1 5) (4 5)64 125P(X1)C12，1 3(1 5) (4 5)48 125P(X2)C21，2 3(1 5) (4 5)12 125P(X3)C30。3 3(1 5) (4 5)1 125故X的分布列为X0123P64 12548 12512 1251 125X的数学期望为E(X)3× ，方差为D(X)3× ×。1 53 51 5(11 5)12 25【答案】 (1) (2)见解析7 10反思归纳 求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果XB(n，p)，则用公式E(X)np；D(X)np(1p)求解，可大大减少计算量。【变式训练】 某省组织部为了了解今年全省高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重情况，对该省某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重进行了统计，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)。已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为123，其中第 2 小组的频数为 12。(1)求该校报考飞行员的总人数；- 10 -(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，用频率来估计概率，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选 3 人，设X表示体重超过 60 kg 的学生人数，求X的分布列、数学期望和方差。【解析】 (1)设该校报考飞行员的总人数为n，前 3 小组的频率分别为f1，f2，f3，则由条件可得，Error!解得f10.125，f20.25，f30.375。因为f20.25，所以n48。12 n(2)由(1)可得，一个报考飞行员的学生的体重超过 60 kg 的概率为Pf3(0.0370.013)×5 ，5 8X服从二项分布，P(Xk)Ck3k(k0,1,2,3)。k3(5 8) (3 8)所以随机变量X的分布列为X0123P27 512135 512225 512125 512则E(X)3× 。5 815 8D(X)3×。5 8(15 8)45 64【答案】 (1)48 (2)见解析考点四 均值与方差在决策中的应用【典例 4】 (2016·全国卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰。机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元。现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：- 11 -以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数。(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19 与n20 之中选其一，应选用哪个？【解析】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，1 台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2，从而P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08；P(X22)0.2×0.20.04。所以X的分布列为- 12 -X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为 19。(3)记Y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)。当n19 时，E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040。当n20 时，E(Y)20×200×0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080。可知当n19 时所需费用的期望值小于当n20 时所需费用的期望值，故应选n19。【答案】 (1)见解析 (2)19 (3)应选n19反思归纳 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据。一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。【变式训练】 某投资公司在 2015 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；7 92 9项目二：通信设备。据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和。3 51 31 15针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由。【解析】 若按“项目一”投资，设获利为X1万元。则X1的分布列为X1300150P7 92 9E(X1)300× (150)× 200(万元)。7 92 9若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：X25003000P3 51 31 15E(X2)500× (300)× 0×3 51 31 15- 13 -200(万元)。D(X1)(300200)2× (150200)2× 35 000，7 92 9D(X2)(500200)2× (300200)2× (0200)2×140 000。3 51 31 15所以E(X1)E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥。综上所述，建议该投资公司选择项目一投资。【答案】 见解析微考场 新提升1(2017·石家庄模拟)口袋中装有大小质地都相同，编号为 1,2,3,4,5 的球各一个，现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较大的编号为X，则随机变量X的数学期望是( )A3 B4C4.5 D5解析 由已知得X的可能取值为 2,3,4,5，P(X2)，P(X3)，C1 1 C2 51 10C1 2 C2 52 10P(X4)；P(X5)，C1 3 C2 53 10C1 4 C3 54 10E(X)2×3×4×5×4。故选 B。1 102 103 104 10答案 B2(2015·广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)。若E(X)30，D(X)20，则p_。解析 随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20，可得np30，npq20，q ，则p 。2 31 3答案 1 33(2016·曲阜模拟)两个不同的口袋中，各装有大小、形状完全相同的 1 个红球、2 个黄球。现从每个口袋中各任取 2 球，设随机变量为取得红球的个数，则E()_。- 14 -解析 由题意的取值为 0,1,2，则P(0) ；P(1)2·· ；C2 2C2 2 C2 3C2 31 9C1 2 C2 3C2 2 C2 34 9P(2) ，所以数学期望：E()0× 1× 2× 。C1 2C1 2 C2 3C2 34 91 94 94 94 3答案 4 34马老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表：x123P(x)？！？请小牛同学计算的均值。尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E()_。解析 设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为 12x，则E()1·x2×(12x)3xx24x3x2。答案 2