高考数学异构异模复习第十二章概率与统计12-2-2离散型随机变量及其分布列均值与方差撬题理.DOC

120182018 高考数学异构异模复习考案高考数学异构异模复习考案 第十二章第十二章 概率与统计概率与统计 12.2.212.2.2 离离散型随机变量及其分布列、均值与方差撬题散型随机变量及其分布列、均值与方差撬题 理理1已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为pi(i1,2)则( )Ap1>p2，E(1)E(2)Cp1>p2，E(1)>E(2)Dp10，即有p1>p2.此时，2的取值为 1,2,3.P(21)，P(22)n 6mnC2n C 2mn，P(23)，则E(2)1×2×3×C1mC1n C 2mnC2m C 2mnC2n C 2mnC1mC1n C 2mnC2m C 2mn3p2，则有E(1)p2，E(1)70)P(T135，T240)P(T140，T235)AP(T140，T240)0.4×0.10.1×0.40.1×0.10.09.故P(A)1P( )0.91.A4.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名从这8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛(1)设A为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会” ，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解 (1)由已知，有P(A).C2 2C2 3C2 3C2 3 C4 86 353所以，事件A发生的概率为.6 35(2)随机变量X的所有可能取值为 1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)Ck5C4k3 C4 8所以，随机变量X的分布列为X1234P1 143 73 71 14随机变量X的数学期望E(X)1×2× 3× 4× .1 143 73 71 145 25已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设X表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)，A1 2A1 3 A2 53 10(2)X的可能取值为 200,300,400.P(X200)，A2 2 A2 51 10P(X300)，A3 3C1 2C1 3A2 2 A3 53 10P(X400)1P(X200)P(X300)1.1 103 106 10故X的分布列为X200300400P1 103 106 10E(X)200×300×400×350.1 103 106 106李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场 12212客场 1188主场 21512客场 21312主场 3128客场 3217主场 4238客场 41815主场 52420客场 52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；4(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率；(3)记 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这x场比赛中的命中次数，比较E(X)与 的大小(只需写出结论)x解 (1)根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6” 则CAB，A，B独立BA根据投篮统计数据，P(A) ，P(B) .3 52 5P(C)P(A)P(B) × × .BA3 53 52 52 513 25所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为.13 25(3)E(X) .x7设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望解 设Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备(1)DA1·B·CA2·BA2· ·C.BP(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)C ×0.52，i0,1,2，i2所以P(D)P(A1·B·CA2·BA2· ·C)BP(A1·B·C)P(A2·B)P(A2· ·C)BP(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P( )P(C)B0.31.(2)X的可能取值为 0,1,2,3,4，其分布列为P(X0)P( ·A0· )P( )P(A0)P( )(10.6)×0.52×(10.4)0.06，BCBCP(X1)P(B·A0· ·A0·C ·A1· )CBBCP(B)P(A0)P( )P( )P(A0)P(C)P( )P(A1)P( )CBBC0.6×0.52×(10.4)(10.6)×0.52×0.4(10.6)×2×0.52×(10.4)0.25，P(X4)P(A2·B·C)P(A2)P(B)P(C)0.52×0.6×0.40.06，5P(X3)P(D)P(X4)0.25，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38，数学期望E(X)0×P(X0)1×P(X1)2×P(X2)3×P(X3)4×P(X4)0.252×0.383×0.254×0.062.8盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数求X的概率分布和数学期望E(X)解 (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球，所以P.C2 4C2 3C2 2 C2 9631 365 18(2)随机变量X所有可能的取值为 2,3,4，X4表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球” ，故P(X4)；C4 4 C4 91 126X3表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球，或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球” ，故P(X3)；C3 4C1 5C3 3C1 6 C4 9206 12613 63于是P(X2)1P(X3)P(X4)1.13 631 12611 14所以随机变量X的概率分布如下表：X234P11 1413 631 126因此随机变量X的数学期望E(X)2×3×4×.11 1413 631 12620 99.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求：顾客所获的奖励额为 60 元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是 60000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由解 (1)设顾客所获的奖励额为X.依题意，得P(X60) ，C1 1C1 3 C2 41 26即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 .1 2依题意，得X的所有可能取值为 20,60.P(X60) ，P(X20) ，1 2C2 3 C2 41 2即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)20×0.560×0.540(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元所以，先寻找期望为 60 元的可能方案对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能为 60 元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为 60 元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案 2.以下是对两个方案的分析：对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100P1 62 31 6X1的期望为E(X1)20× 60× 100× 60，1 62 31 6X1的方差为D(X1)(2060)2× (6060)2× (10060)2× .1 62 31 61600 3对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080P1 62 31 6X2的期望为E(X2)40× 60× 80× 60，1 62 31 6X2的方差为D(X2)(4060)2× (6060)2× (8060)2× .1 62 31 6400 3由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.10计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立7(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解 (1)依题意，p1P(40120)0.1.35 505 50由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为pC (1p3)4C0 4(1p3)3p344×3×0.9477.1 4(9 10)(9 10)1 10(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装 1 台发电机的情形由于水库年入流量总大于 40，故 1 台发电机运行的概率为 1，对应的年利润Y5000，E(Y)5000×15000.安装 2 台发电机的情形依题意，当 40120 时，3 台发电机运行，此时Y5000×315000，因此P(Y15000)P(X>120)p30.1，由此得Y的分布列如下Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y) 3400×0.29200×0.715000×0.18620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台