高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第5节推理与证明高考AB卷理.doc

1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮总复习第精选高考数学一轮总复习第 7 7 章不等式推理章不等式推理与证明第与证明第 5 5 节推理与证明高考节推理与证明高考 ABAB 卷理卷理合情推理与演绎推理 (2016·全国，15)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5” ，则甲的卡片上的数字是_.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”可知，丙为“1和 2”或“1 和 3” ，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ，所以乙只可能为“2 和 3” ，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ，所以甲只能为“1 和 3”.答案 1 和 3合情推理与演绎推理 1.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀” “合格” “不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A.2 人B.3 人 C.4 人D.5 人解析 学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学2 / 15生乙，另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有 3 人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选 B.答案 B2.(2012·江西，6)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10( )A.28B.76 C.123D.199解析 利用归纳法：ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123.答案 C3.(2015·山东，11)观察下列各式：C40；CC41; CCC42；CCCC43；照此规律，当 nN*时，C C C C_.解析 观察等式，第 1 个等式右边为 40411，第 2 个等式右边为 41421，第 3 个等式右边为 42431，3 / 15第 4 个等式右边为 43441，所以第 n 个等式右边为 4n1.答案 4n14.(2015·福建，15)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中 xk(k1，2，n)称为第 k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0).已知某种二元码 x1x2x7 的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为 000，011，101，110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定 k 等于_.解析 ()x4x5x6x711011，()x2x3x6x710010；()x1x3x5x710111.由()()知 x5，x7 有一个错误，()中没有错误，x5 错误，故 k 等于 5.答案 55.(2013·陕西，14)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第 n 个等式可为_.解析 左边共 n 项，每项的符号为(1)n1，通项为(1)n1·n2.等式右边的值符号为(1)n1，各式为(1)4 / 15n1(123n)(1)n1，第 n 个等式为 12223242(1)n1·n2(1)n1·.答案 12223242(1)n1n2(1)n1·n（n1） 26.(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1，3，6，10，第 n 个三角形数为n2n.记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N(n，3)n2n，正方形数 N(n，4)n2，五边形数 N(n，5)n2n，六边形数 N(n，6)2n2n， 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)_.解析 由题中数据可猜想：含 n2 项的系数为首项是，公差是的等差数列，含 n 项的系数为首项是，公差是的等差数列，因此N(n，k)n2nn2n.故 N(10，24)11n210n11×10210×101 000.答案 1 0007.(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中 F，V，E 所满足的等式是_.解析 三棱柱中 5692；五棱锥中 66102；立方体中5 / 1568122，由此归纳可得 FVE2.答案 FVE28.(2012·陕西，11)观察下列不等式1|AC|OA|OC|，同理在MBD 中，|MB|MD|>|BD|OB|OD|，则得，|MA|MB|MC|MD|>|OA|OB|OC|OD|，故 O 为梯形内唯一中位点，是正确的.答案 13.(2012·福建，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213°cos217°sin 13°cos 17°；sin215°cos215°sin 15°cos 15°；sin218°cos212°sin 18°cos 12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos 48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解 (1)选择式，计算如下：sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.9 / 15(2)三角恒等式为 sin2cos2(30°)sin cos(30°).证明如下：sin2cos2(30°)sin cos(30°)sin2(cos 30°cos sin 30°sin )2sin (cos 30°cos sin 30°sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin232sin2 cos2.数学归纳法 14.(2015·江苏，23)已知集合 X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，设 Sn(a，b)|a 整除 b 或 b 整除 a，aX，bYn，令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数.(1)写出 f(6)的值；(2)当 n6 时，写出 f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解 (1)f(6)13.(2)当 n6 时，f(n)(tN*).下面用数学归纳法证明：当 n6 时，f(6)6213，结论成立；假设 nk(k6)时结论成立，那么 nk1 时，Sk1 在 Sk 的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：1)若 k16t，则 k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，10 / 15结论成立；2)若 k16t1，则 k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；3)若 k16t2，则 k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；4)若 k16t3，则 k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；5)若 k16t4，则 k6t3，此时有f(k1)f(x)2k22(k1)2，结论成立；6)若 k16t5，则 k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立.综上所述，结论对满足 n6 的自然数 n 均成立.15.(2014·陕西，21)设函数 f(x)ln (1x)，g(x)xf(x)，x0，其中 f(x)是 f(x)的导函数.(1)令 g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求 gn(x)的表达式；(2)若 f(x)ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)设 nN*，比较 g(1)g(2)g(n)与 nf(n)的大小，并11 / 15加以证明.解 由题设得，g(x)(x0).(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得 gn(x).下面用数学归纳法证明.当 n1 时，g1(x)，结论成立.假设 nk 时结论成立，即 gk(x).那么，当 nk1 时，gk1(x)g(gk(x)gk（x） 1gk（x），即结论成立.由可知，结论对 nN成立.(2)已知 f(x)ag(x)恒成立，即 ln (1x)恒成立.设 (x)ln (1x)(x0)，则 (x)，当 a1 时，(x)0(仅当 x0，a1 时等号成立)，(x)在0，)上单调递增，又 (0)0，(x)0 在0，)上恒成立，a1 时，ln (1x)恒成立(仅当 x0 时等号成立).当 a>1 时，对 x(0，a1有 (x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1 时，存在 x>0，使 (x)nln (n1).证明如下：法一 上述不等式等价于，x>0.令 x，nN，则，x>0.令 x，nN，则 ln >.故有 ln 2ln 1>，ln 3ln 2>，ln(n1)ln n>，上述各式相加可得 ln (n1)>，结论得证.法三 如图，dx 是由曲线 y，xn 及 x 轴所围成的曲边梯形的13 / 15面积，而是图中所示各矩形的面积和.>dx(1)dxnln (n1)，结论得证.16.(2014·重庆，22)设 a11，an12an2)b(nN*).(1)若 b1，求 a2，a3 及数列an的通项公式；(2)若 b1，问：是否存在实数 c 使得 a2nf(a2k1)>f(1)a2，即 1>c>a2k2>a2.再由 f(x)在(，1上为减函数得 cf(c)f(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即 a2n1>a2n2，所以 a2n1>2a2n12)1.解得 a2n1>.综上，由、知存在 c使 a2n<c<a2n1 对一切 nN*成立.