高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第27练直线与圆文.doc

1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 7 7 解析几何第解析几何第 2727 练直线与圆文练直线与圆文题型分析·高考展望 直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点体验高考体验高考1(2015·广东)平行于直线 2xy10 且与圆 x2y25 相切的直线的方程是( )A2xy50 或 2xy50B2xy0 或 2xy0C2xy50 或 2xy50D2xy0 或 2xy0答案 A解析 设所求直线方程为 2xyc0，依题意有，解得 c±5，所以所求直线方程为 2xy50 或 2xy50，故选 A.2(2015·课标全国)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y 轴于 M、N 两点，则|MN|等于( )2 / 15A2B8C4D10答案 C解析 由已知，得(3，1)，(3，9)，则·3×(3)(1)×(9)0，所以，即 ABBC，故过三点 A，B，C 的圆以 AC 为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令 x0 得(y2)224，解得 y122，y222，所以|MN|y1y2|4，选 C.3(2016·课标全国甲)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线axy10 的距离为 1，则 a 等于( )A B3 4C. D2答案 A解析 由圆的方程 x2y22x8y130 得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得 d1，解之得 a.4(2016·上海)已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy10，则 l1，l2 的距离为_答案 2 55解析 d.5(2016·课标全国丙)已知直线 l：mxy3m0 与圆x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于3 / 15C，D 两点，若|AB|2，则|CD|_.答案 4解析 设 AB 的中点为 M，由题意知，圆的半径 R2，|AB|2，所以|OM|3，解得 m，由解得 A(3，)，B(0,2)，则 AC 的直线方程为 y(x3)，BD 的直线方程为 y2x，令 y0，解得 C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.高考必会题型高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例 1 (1)若点 P(1,1)为圆(x3)2y29 的弦 MN 的中点，则弦 MN所在直线的方程为( )A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10(2)直线 l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线 l 的距离为，则直线 l 的方程是( )A3xy40 B3xy40C3xy40 Dx3y40答案 (1)D (2)C解析 (1)由题意知圆心 C(3,0)，kCP.由 kCP·kMN1，得 kMN2，所以弦 MN 所在直线的方程是 2xy10.(2)由已知，设直线 l 的方程为 y2k(x2)，即4 / 15kxy22k0，所以，解得 k3，所以直线 l 的方程为3xy40，故选 C.点评 (1)两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21；判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况(2)求直线方程的常用方法直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数变式训练 1 已知直线 l 经过直线 3x4y20 与直线2xy20 的交点 P，且垂直于直线 x2y10.(1)求直线 l 的方程；(2)求直线 l 关于原点 O 对称的直线方程解 (1)由解得Error!所以点 P 的坐标是(2,2)，又因为直线 x2y10，即 yx的斜率为 k，由直线 l 与 x2y10 垂直可得 kl2，故直线 l 的方程为：y22(x2)，即 2xy20.(2)直线 l 的方程 2xy20 在 x 轴、y 轴上的截距分别是1 与2，则直线 l 关于原点对称的直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 1 与 2，所求直线方程为1，5 / 15即 2xy20.题型二 圆的方程例 2 (1)(2015·湖北)如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|2.圆 C 的标准方程为_圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_答案 (x1)2(y)22 1解析 由题意，设圆心 C(1，r)(r 为圆 C 的半径)，则 r22122，解得 r.所以圆 C 的方程为(x1)2(y)22.方法一 令 x0，得 y±1，所以点 B(0, 1)又点 C(1, )，所以直线 BC 的斜率为 kBC1，所以过点 B 的切线方程为 y(1)x0，即 yx(1)令 y0，得切线在 x 轴上的截距为1.方法二 令 x0，得 y±1，所以点 B(0，1)又点 C(1，)，设过点 B 的切线方程为 y(1)kx，即 kxy(1)0.由题意，得圆心 C(1，)到直线 kxy(1)0 的距离 dr，解得k1.故切线方程为 xy(1)0.令 y0，得切线在 x 轴上的截距为1.(2)已知圆 C 经过点 A(2，1)，并且圆心在直线 l1：y2x 上，且该圆与直线 l2：yx1 相切求圆 C 的方程；求以圆 C 内一点 B 为中点的弦所在直线 l3 的方程解 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则 解得Error!6 / 15故圆 C 的方程为(x1)2(y2)22.由知圆心 C 的坐标为(1，2)，则 kCB.设直线 l3 的斜率为 k3，由 k3·kCB1，可得k32.故直线 l3 的方程为 y2(x2)，即 4x2y130.点评 求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数变式训练 2 已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程解 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y)因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24，故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，连接 BN.在 RtPBQ 中，|PN|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题7 / 15例 3 (1)(2015·重庆)已知直线 l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10 的对称轴，过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|等于( )A2 B42C6 D210答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解由于直线 xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，圆心 C(2,1)在直线 xay10 上，2a10，a1，A(4，1)|AC|236440.又 r2，|AB|240436.|AB|6.(2)已知圆 C：x2y22x4y40.写出圆 C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；是否存在斜率为 1 的直线 m，使 m 被圆 C 截得的弦为 AB，且OAOB(O 为坐标原点)若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由解 (1)圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)29，则圆心 C 的坐标为(1，2)，半径为 3.(2)假设存在这样的直线 m，根据题意可设直线 m：yxb.联立直线与圆的方程Error!得 2x22(b1)xb24b40，因为直线与圆相交，所以 >0，8 / 15即 b26b9.圆 C 与直线 y2x4 不相交，t2 不符合题意，舍去圆 C 的方程为(x2)2(y1)25.高考题型精练高考题型精练1已知 x，y 满足 x2y50，则(x1)2(y1)2 的最小值为( )A. B.2 5C. D.105答案 A解析 (x1)2(y1)2 表示点 P(x，y)到点 Q(1,1)的距离的平方由已知可得点 P 在直线 l：x2y50 上，所以|PQ|的最小值为点 Q 到直线 l 的距离，即 d，10 / 15所以(x1)2(y1)2 的最小值为 d2.故选 A.2 “m3”是“直线 l1：2(m1)x(m3)y75m0 与直线l2：(m3)x2y50 垂直”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 由 l1l2 得 2(m1)(m3)2(m3)0，m3 或 m2.m3 是 l1l2 的充分不必要条件3若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( )A3B22C3D42答案 A解析 依题意知 AB 的中点 M 的集合是与直线 l1：xy70 和l2：xy50 的距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点 M 所在直线的方程为 l：xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6，即l：xy60，根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为3.4(2016·山东)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0所得线段的长度是 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是( )11 / 15A内切B相交C外切D相离答案 B解析 圆 M：x2(ya)2a2，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1a，圆心 M 到直线 xy0 的距离 d，由几何知识得 2()2a2，解得 a2.M(0,2)，r12.又圆 N 的圆心坐标 N(1,1)，半径 r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选 B.5已知直线 xyk0(k>0)与圆 x2y24 交于不同的两点A，B，O 是坐标原点，且有|，那么 k 的取值范围是( )A(，) B，)C，2) D，2)答案 C解析 当|时，O，A，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中|OA|OB|，AOB120°，从而圆心 O 到直线 xyk0(k>0)的距离为 1，此时 k；当 k>时，|>|，又直线与圆x2y24 存在两交点，故 k<2，综上，k 的取值范围是，2)，故选 C.6(2015·课标全国)已知三点 A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则12 / 15ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. B.213C. D.4 3答案 B解析 由点 B(0，)，C(2，)，得线段 BC 的垂直平分线方程为x1，由点 A(1,0)，B(0，)，得线段 AB 的垂直平分线方程为y，联立，解得ABC 外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为.故选 B.7(2016·山东)在1,1上随机地取一个数 k，则事件“直线ykx 与圆(x5)2y29 相交”发生的概率为_答案 3 4解析 由已知得，圆心(5,0)到直线 ykx 的距离小于半径，<3，解得<k<，由几何概型得 P.8在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y28x150，若直线 ykx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_答案 4 3解析 圆 C 的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到 kxy20 的距离应不大于 2，即2.整理，13 / 15得 3k24k0.解得 0k.故 k 的最大值是.9在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2y24 上有且仅有三个点到直线 12x5yc0 的距离为 1，则实数 c 的值为_答案 ±13解析 因为圆心到直线 12x5yc0 的距离为，所以由题意得1，c±13.10已知直线 l 过点(2,0)，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是_答案 (，)解析 因为已知直线过点(2,0)，那么圆的方程 x2y22x 配方为(x1)2y21，表示的是圆心为(1,0)，半径为 1 的圆，设过点(2,0)的直线的斜率为 k，则直线方程为 yk(x2)，则点到直线距离等于圆的半径 1，有 d1，化简得 8k21，所以 k±，然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候，可知斜率的取值范围是(，)，故答案为(，)11已知过点 A(0,1)，且方向向量为 a(1，k)的直线 l 与圆C：(x2)2(y3)21 相交于 M，N 两点(1)求实数 k 的取值范围；14 / 15(2)若 O 为坐标原点，且·12，求 k 的值解 (1)直线 l 过点 A(0,1)且方向向量为 a(1，k)，直线 l 的方程为 ykx1.由1，得k.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70，x1x2，x1x2，·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812，4，解得 k1.12已知圆 Mx2(y2)21，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点(1)若 Q(1,0)，求切线 QA，QB 的方程；(2)求四边形 QAMB 面积的最小值；(3)若|AB|，求直线 MQ 的方程解 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 xmy1，则圆心 M 到切线的距离为 1，1，m或 0，切线 QA，QB 的方程分别为 3x4y30 和 x1.(2)MAAQ，S 四边形 MAQB|MA|·|QA|QA|15 / 15|MQ|21.四边形 QAMB 面积的最小值为.(3)设 AB 与 MQ 交于点 P，则 MPAB.MBBQ，|MP|.在 RtMBQ 中，|MB|2|MP|·|MQ|，即 1|MQ|，|MQ|3.设 Q(x,0)，则 x2229，x±，Q(±，0)，直线 MQ 的方程为 2xy20或 2xy20.