高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线试题理北师大.doc

1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-99-9 圆锥曲线的综合问题第圆锥曲线的综合问题第 1 1 课时直线与圆锥曲线试题理北课时直线与圆锥曲线试题理北师大师大1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2bxc0(或 ay2byc0)(1)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有>0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b>0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程 a2x2b2y21 变形为1，a>b>0，b>0，0，即33 时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点6 / 20思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程；若不为 0，则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解(2016·全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，直线l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p>0)于点 P，M关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由解 (1)由已知得 M(0，t)，P，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N，ON 的方程为 yx，代入 y22px整理得 px22t2x0，解得 x10，x2，因此 H.所以 N 为 OH 的中点，即2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytx，即 x(yt)代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点题型二 弦长问题例 2 (2016·全国甲卷)已知 A 是椭圆 E：1 的左顶点，斜率为7 / 20k(k>0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN 的面积(2)当 2|AM|AN|时，证明：0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为.又 A(2,0)，因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入1，得 7y212y0，解得 y0 或 y，所以 y1.因此AMN 的面积 SAMN2×××.(2)证明 将直线 AM 的方程 yk(x2)(k>0)代入1，得(34k2)x216k2x16k2120，x2 4由 x1·(2)，得 x1，故|AM|x12|.由题设，直线 AN 的方程为 y(x2)，故同理可得|AN|.由 2|AM|AN|，得，即 4k36k23k80，设 f(t)4t36t23t8，则 k 是 f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以 f(t)在(0，)单调递增，又 f()15260，因此 f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点 k 在(，2)内，所以b>0)的左，右焦点，过F1 且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满足|PA|PB|，求 E 的方程解 (1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l 的方程为 yxc，其中 c.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组消去 y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则 x1x2，x1x2.因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|x2x1|，即 a，故 a22b2，所以 E 的离心率 e.(2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得 kPN1，即1，得 c3，从而 a3，b3.故椭圆 E 的方程为1.题型三 中点弦问题9 / 20命题点 1 利用中点弦确定直线或曲线方程例 3 (1)已知椭圆 E：1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A.1 B.1C.1 D.1(2)已知(4,2)是直线 l 被椭圆1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_答案 (1)D (2)x2y80解析 (1)因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y(x3)，代入椭圆方程1 消去 y，得x2a2xa2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为1，即a22b2，又 a2b2c2，所以 bc3，a3，选 D.(2)设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又 x1x28，y1y24，所以，故直线 l 的方程为 y2(x4)，即 x2y80.命题点 2 由中点弦解决对称问题例 4 (2015·浙江)已知椭圆y21 上两个不同的点 A，B 关于直线10 / 20ymx对称(1)求实数 m 的取值范围；(2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)解 (1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为yxb.由Error!消去 y，得 x2xb210.因为直线 yxb 与椭圆y21 有两个不同的交点，所以2b220，将 AB 中点 M 代入直线方程 ymx，解得 b，由得 m或 m.(2)令 t，则|AB|·.且 O 到直线 AB 的距离为 d.设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)|AB|·d .当且仅当 t2时，等号成立故AOB 面积的最大值为.思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化11 / 20为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点 A，B 关于直线 l 对称，则 l 垂直直线 AB 且 A，B 的中点在直线 l上的应用设抛物线过定点 A(1,0)，且以直线 x1 为准线(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 恰被直线x平分，设弦 MN 的垂直平分线的方程为 ykxm，试求 m 的取值范围解 (1)设抛物线顶点为 P(x，y)，则焦点 F(2x1，y)再根据抛物线的定义得|AF|2，即(2x)2y24，所以轨迹 C 的方程为 x21.(2)设弦 MN 的中点为 P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点 M，N 为椭圆 C 上的点，可知Error!两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将 xMxN2×1，yMyN2y0，代入上式得 k.yMyN xMxN又点 P 在弦 MN 的垂直平分线上，所以 y0km.所以 my0ky0.12 / 20由点 P(，y0)在线段 BB上(B，B 为直线 x与椭圆的交点，如图所示)，所以 yB，所以 e >2，即 e(2，)，故选 B.2直线 4kx4yk0 与抛物线 y2x 交于 A，B 两点，若|AB|4，则弦 AB 的中点到直线 x0 的距离等于( )A. B2 C. D4答案 C解析 易知直线 4kx4yk0 过抛物线 y2x 的焦点(，0)，|AB|为焦点弦设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB 中点 N(，)，|AB|x1x2p4，.AB 中点到直线 x0 的距离为.13 / 203斜率为 1 的直线 l 与椭圆y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( )A2 B. C. D.8 105答案 C解析 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt，由消去 y，得 5x28tx4(t21)0，则 x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|·x1x224x1x2·85t24 ×4t21 5·，当 t0 时，|AB|max.4(2017·天津质检)直线 yx3 与双曲线1 的交点个数是( )A1 B2 C1 或 2 D0答案 A解析 因为直线 yx3 与双曲线的渐近线 yx 平行，所以它与双曲线只有 1 个交点，故选 A.5设双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线 yx21 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A. B5 C. D.5答案 D14 / 20解析 双曲线1 的一条渐近线为 yx，由方程组消去 y，得 x2x10 有唯一解，所以 ()240，2，e .6已知 F 为抛物线 y28x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，则|FA|FB|的值为( )A4 B8 C8 D16答案 C解析 依题意知 F(2,0)，所以直线 l 的方程为 yx2，联立方程，得Error!消去 y 得 x212x40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24，x1x212，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|x1x224x1x28.7(2016·安顺月考)在抛物线 yx2 上关于直线 yx3 对称的两点 M，N 的坐标分别为_答案 (2,4)，(1,1)解析 设直线 MN 的方程为 yxb，代入 yx2 中，整理得 x2xb0，15 / 20令 14b>0，所以 b>.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x21，bb，y1y2 2由(，b)在直线 yx3 上，即b3，解得 b2，联立解得Error!Error!8已知抛物线 y24x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2，则|AB|的最大值为_答案 6解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6.9过椭圆1 内一点 P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案 3x4y130解析 设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于 A，B 两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.x1x2x1x2 16又P 是 A，B 的中点，x1x26，y1y22，kAB.16 / 20直线 AB 的方程为 y1(x3)即 3x4y130.10已知双曲线 C：x21，直线 y2xm 与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点(A 在 B 的上方)，且与 y 轴交于点 M，则的取值范围为_答案 (1,74)解析 由可得 x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设 f(x)x24mxm23，则得 m>1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11 得，的取值范围为(1,74)11(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为，且椭圆经过圆 C：x2y24x2y0 的圆心(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切，求直线 l 的方程解 (1)圆 C 方程化为(x2)2(y)26，圆心 C(2，)，半径 r.设椭圆的方程为1(a>b>0)，则Error!17 / 20所以所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是 F1(2,0)，F2(2,0)，|F2C|b>0)右焦点的直线xy0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为.(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形ACBD 面积的最大值解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1.y2y1 x2x1由此可得1.因为 x1x22x0，y1y22y0，所以 a22b2.y0 x0又由题意知，M 的右焦点为(，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.18 / 20所以 M 的方程为1.(2)由Error!解得或Error!因此|AB|.由题意可设直线 CD 的方程为yxn(0.y1y2，y1y2.|AB|x1x22y1y22ty1y22y1y22.将代入上式得|AB| 4m2t2 t2424m24 t24，|m|1，SAOB|AB|·1×4 3|m|m231，当且仅当|m|，即 m±时，等号成立20 / 20