高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第四节基本不等式教师用书理.doc

- 1 -第四节第四节 基本不等式基本不等式2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。2014，福建卷，13,4 分(基本不等式的实际应用)2013，天津卷，14,5 分(基本不等式求最值)2013，山东卷，12,5 分(基本不等式求最值)从近五年的高考试题来看，利用基本不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档。主要考查最值、转化与化归思想。微知识 小题练自|主|排|查1重要不等式a2b22ab(a，bR R)(当且仅当ab时等号成立)。2基本不等式abab 2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时等号成立；(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。ab 2ab3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y(0，)，且xyP(定值)，那么当xy时，xy有最小值 2。(简P记：“积定和最小”)(2)如果x，y(0，)，且xyS(定值)，那么当xy时，xy有最大值。(简记：S2 4“和定积最大”)4常用的几个重要不等式(1)ab2(a0，b0)。ab- 2 -(2)ab2(a，bR R)。(ab 2)(3)2(a，bR R)。(ab 2)a2b2 2(4) 2(a，b同号)。b aa b以上不等式等号成立的条件均为ab。微点提醒 1应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等” 。忽略某个条件，就会出错。2对于公式ab2，ab2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两ab(ab 2)个公式也体现了ab和ab的转化关系。3在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 5P100A 组 T1(2)改编)设x>0，y>0，且xy18，则xy的最大值为( )A80 B77C81 D82【解析】 xy2281，当且仅当xy9 时等号成立。故选 C。(xy 2)(18 2)【答案】 C2(必修 5P100练习 T3改编)若把总长为 20 m 的篱芭围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_。【解析】 设矩形的一边为x m，则另一边为 ×(202x)(10x) m，所以Sx(10x)(x5)225(00，b>0，且ab4，则下列不等式恒成立的是( )A. B. 11 ab1 41 a1 bC.2 Da2b28ab【解析】 4ab2(当且仅当ab时，等号成立)，即2，ab4， ，abab1 ab1 4选项 A，C 不成立； 1，选项 B 不成立；a2b2(ab)1 a1 bab ab4 ab22ab162ab8，选项 D 成立。故选 D。【答案】 D3若函数f(x)x(x>2)在xa处取最小值，则a等于( )1 x2A1 B1 23C3 D4【解析】 当x>2 时，x2>0，f(x)(x2)22 1 x224，当且仅当x2(x>2)，即x3 时取等号，即当f(x)取得x2 ×1 x21 x2最小值时，x3，即a3，故选 C。【答案】 C4若x1，则x的最小值为_。4 x1【解析】 xx11415(x>1)。4 x14 x1当且仅当x1，即x3 时等号成立。4 x1【答案】 55已知x0，y0，lgxlgy1，则z 的最小值为_。2 x5 y【解析】 由已知条件 lgxlgy1，可知xy10。则 22，故min2，当且仅当 2y5x时取等号。又xy10，即2 x5 y10 xy(2 x5 y)x2，y5 时等号成立。【答案】 2微考点 大课堂- 4 -考点一 利用基本不等式证明不等式【典例 1】 (1)设f(x)lnx,0pCprq(2)已知x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，求证：>8。(1 x1)(1 y1)(1 z1)【解析】 (1)由条件可得pf()ln(ab) ln(ab) (lnalnb)，ab1 21 21 2r (f(a)f(b) (lnalnb)p，1 21 2由不等式的性质：在 0，且函数f(x)lnx是增函数，ab 2ab所以pf()，1 x1x xyz x2yzx1>，1 y1y yxz y2xzy1>，1 z1z zxy z2xyz又x，y，z为正数，由××，得>8。(1 x1)(1 y1)(1 z1)【答案】 (1)C (2)见解析反思归纳 利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数， “1”的代换法等。【变式训练】 设a，b均为正实数，求证：ab2。1 a21 b22【证明】 由于a，b均为正实数，所以2 ，1 a21 b21 a2·1 b22 ab- 5 -当且仅当，即ab时等号成立，1 a21 b2又因为ab2 2，2 ab2 ab·ab2当且仅当ab时等号成立，2 ab所以abab2，1 a21 b22 ab2当且仅当Error!即ab时取等号。42考点二 利用基本不等式求最值多维探究角度一：配凑法求最值【典例 2】 (1)已知x1)的最小值为_。x22 x1【解析】 (1)因为x0，5 4则f(x)4x23231。1 4x5(54x1 54x)当且仅当 54x，即x1 时，等号成立。1 54x故f(x)4x2的最大值为 1。1 4x5(2)yx22 x1x22x12x23 x1x122x13 x1(x1)222(x>1)。3 x13当且仅当x1，即x1 时，等号成立。3 x13【答案】 (1)1 (2)223角度二：常数代换法求最值【典例 3】 已知a>0，b>0，ab1，则 的最小值为_。1 a1 b【解析】 a>0，b>0，ab1， 2 1 a1 bab aab bb aa b- 6 -22 4，即 的最小值为 4，当且仅当ab 时等号成立。b a·a b1 a1 b1 2【答案】 4【母题变式】 1.本典例的条件不变，则的最小值为_。(11 a)(11 b)【解析】 (11 a)(11 b) (1ab a)(1ab b)·52549。当且仅当ab 时，取等号。(2b a) (2a b)(b aa b)1 2【答案】 92本典例的条件和结论互换即：已知a>0，b>0， 4，则ab的最小值为1 a1 b_。【解析】 由 4，得1。1 a1 b1 4a1 4bab(ab) 2 1。(1 4a1 4b)1 2b 4aa 4b1 2b 4a·a 4b当且仅当ab 时取等号。1 2【答案】 1角度三：消元法求最值【典例 4】 已知正实数x，y满足xy2xy4，则xy的最小值为_。【解析】 因为xy2xy4，所以x。由x>0，得20，则4y y24y y200，故y x(x25 x)1828，当且仅当x5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万元。y x25【答案】 8微考场 新提升1设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“ 2”成立的( )a bb aA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 因为a，bR R 时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而 2ab>0，所以“a2b22ab”是“ 2”的必要不充分条件。故选 B。a bb aa bb a答案 B2(2017·青岛模拟)已知x>0，y>0，lg2xlg8ylg2，则 的最小值是( )1 x1 3yA2 B22C4 D23解析 因为 lg2xlg8ylg2，所以x3y1，- 8 -所以 (x3y)24，1 x1 3y(1 x1 3y)3y xx 3y当且仅当，即x ，y 时，取等号。故选 C。3y xx 3y1 21 6答案 C3若直线 1(a>0，b>0)过点(1,1)，则ab的最小值等于( )x ay bA2 B3C4 D5解析 因为直线 1(a>0，b>0)过点(1,1)所以 1，所以 1 2 x ay b1 a1 b1 a1 b1 a·1 b(当且仅当ab2 时取等号)，所以2。又ab2(当且仅当ab2 时取等号)，2ababab所以ab4(当且仅当ab2 时取等号)。故选 C。答案 C4(2016·鄂州一模)已知x>0，则的最大值为_。x x24解析 因为，又x>0 时，x 2 4，当且仅当x ，即x2 时x x241x4x4 xx×4 x4 x取等号，所以 0< ，即的最大值为 。1x4x1 4x x241 4答案 1 45已知a，bR R，且ab50，则|a2b|的最小值是_。解析 依题意得a，b同号，于是有|a2b|a|2b|222|a|·|2b|2|ab|20，当且仅当|a|2b|10 时取等号，因此|a2b|的最小值是 20。100答案 20