概率论与数理统计习题.pdf

习题June 17,20131.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 服从参数为 1的指数分布，试求 Z=2X Y 的概率密度。1解.F(z)=PZ=2X Y z=Zzf(x,y)dxdy.注意到(X,Y)的联合分布是f(x,y)=ey0 x 1,y 00other.从而当 0 2 时，FZ(z)=1.故fZ(z)=12(ez ez2)z 012(1 ez2)0 2.22.设随机变量 X 与 Y 具有相同的分布函数,X 的概率密度为f(x)=38x20 x a 和事件 B=Y a 相互独立，且 PA B=34。求 E(eX).3解.由于 X 与 Y 同分布，所以 P(A)=P(B)，又 A 与 B 独立，所以P(A B)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=2P(A)P2(A)=34,从而有 P(A)=1/2.又P(A)=PX a=1 PX a=1 a038x2dx=1 a38=12得到 a=22/3.从而E(eX)=20ex38x2dx=154e2+34.43.设供电站供应某地区 1000 户居民用电，各户用电情况独立。已知每户每天用电量(度)在0，20上服从均匀分布。现要以 0.99 的概率满足该地区居民的供应电量的需求，问供电站每天至少需要向该地区供应多少电？5解.设第 k 户居民每天用电量为 Xk度，1000 户居民每天用电量为 X 度，则 EXk=10,D(Xk)=20212。设需供应L 度电才能满足条件，则PX L=L 1000 10vuuut1000 20212=0.99即L 10000100003=2.33则 L=10425 度电。64.设 X1,Xn来自指数分布总体：X f(x)=exx 0,0 x 0的样本，求(1)参数 的极大似然估计，（2）参数 p=PX 5 的极大似然估计。7解.（1）似然函数为L()=neni=1xi,则对数似然函数为lnL()=nln ni=1xi.从而有似然方程 lnL=nni=1xi=0,解得=nni=1xi.从而有 的极大似然估计为=1X.（2）p=PX 5=5exdx=e5 关于 单调，故 p 的极大似然估计为 p=e5=e5/X.8