球面和旋转面学习教案.pptx

球面球面(qimin)和旋转面和旋转面第一页，共20页。1 球面(qimin)和旋转面 第1页/共19页第二页，共20页。1.1 1.1 球面的普通球面的普通(ptng)(ptng)方程方程 其中，其中，(3.1)展开得展开得(3.2)球心为球心为 ，半径为，半径为 的球面的方程的球面的方程.(3.2)式没有交叉项，平方项系数相同，反之，式没有交叉项，平方项系数相同，反之，形如形如(3.2)的方程在的方程在 时表示一个时表示一个球面，球面，时表示一个点，而时表示一个点，而 时表示虚球面。时表示虚球面。第2页/共19页第三页，共20页。1.2 1.2 球面的参数方程球面的参数方程(fngchng)(fngchng)，点的，点的球面坐标球面坐标 1.1.如果球心在原点，半径如果球心在原点，半径为为 ，在球面上任取一点，在球面上任取一点 ，从，从 作作 面的垂线，垂足面的垂线，垂足为为 ，连，连 .设设 轴到轴到 的角度为的角度为 ，到到 的角度的角度为为 第3页/共19页第四页，共20页。(3.3)(3.3)称为球心在原点，半径为称为球心在原点，半径为 的球面的的球面的参参数方程数方程，有两个参数，有两个参数 其中其中 称为称为经度经度，称称为为纬度纬度.2.2.除除z z轴外，空间中的任一点都可由有序三轴外，空间中的任一点都可由有序三元组元组 唯一确定，我们称该三元组为空唯一确定，我们称该三元组为空间中点的间中点的球面坐标球面坐标（或（或空间极坐标空间极坐标）第4页/共19页第五页，共20页。1.3 1.3 曲面曲面(qmin)(qmin)和曲线的普通方程、参和曲线的普通方程、参数方程数方程 1.1.从球面的普通方程从球面的普通方程(3.2)和参数方程和参数方程(3.3)可可看看到，一般来说，曲面的到，一般来说，曲面的普通方程普通方程是一个三元方是一个三元方程程 .曲面的曲面的参数方程参数方程是含两个参数是含两个参数的方程：的方程：其中，对于其中，对于 的每一对值，由的每一对值，由(3.5)确定的点确定的点 在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可以由在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可以由 的某一对值通过的某一对值通过(3.5)表示表示.于是通过曲面的参数方于是通过曲面的参数方程程(3.5)，曲面上的点（可能要除去个别点）便可以，曲面上的点（可能要除去个别点）便可以由数对由数对 来确定，因此来确定，因此 称为曲面上点的称为曲面上点的曲纹曲纹坐标坐标.第5页/共19页第六页，共20页。2.2.空间中曲线的空间中曲线的普通方程普通方程可表为两个三元方程可表为两个三元方程的联立方程组：的联立方程组：即空间中曲线可以看成是两个即空间中曲线可以看成是两个(lin)(lin)曲面曲面的交线的交线.曲线曲线(qxin)(qxin)的参数方程是含有一个参数的方程：的参数方程是含有一个参数的方程：第6页/共19页第七页，共20页。3.3.例例 球面球面 与与 平面相交所平面相交所得的圆的普通方程为得的圆的普通方程为 而这个圆的参数而这个圆的参数(cnsh)(cnsh)方方程是：程是：第7页/共19页第八页，共20页。1.4 1.4 旋转旋转(xunzhun)(xunzhun)面面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周周(y zhu)(y zhu)所形成的曲面所形成的曲面.现在来研究更一般的现在来研究更一般的情形情形.1.1.定义定义3.1 一条曲线一条曲线 绕一绕一条直线条直线 旋转所得的曲面称为旋转所得的曲面称为旋转面旋转面.称为称为轴轴，称为称为母线母线.母线母线 上每个点上每个点 绕绕 旋转旋转一周得到一个圆，称为一周得到一个圆，称为纬圆纬圆，它与轴它与轴l垂直。过轴的垂直。过轴的半平面与半平面与旋转面的交线称为旋转面的交线称为经线经线（或（或子子午线午线）.经线可以是母线，但母线不一定是经线。经线可以是母线，但母线不一定是经线。第8页/共19页第九页，共20页。2.2.设轴设轴 过点过点 ，方，方向向量为向向量为 ，母线，母线 的方的方程为：程为：求旋转面的方程求旋转面的方程.点点 在旋转面上的充分必在旋转面上的充分必要条件是要条件是 在经过母线在经过母线 上某一上某一点点 的纬圆上（如图的纬圆上（如图3.2）.第9页/共19页第十页，共20页。因此因此(ync)有：有：从这个方程组中消去参数从这个方程组中消去参数 ,就得到就得到 的方程，它就是所求旋转面的方程的方程，它就是所求旋转面的方程.第10页/共19页第十一页，共20页。3.现在设旋转轴为现在设旋转轴为 轴，母线轴，母线 在在 平面平面上，方程为上，方程为:则点则点 在旋转面上的充分必要条件是：在旋转面上的充分必要条件是：消去参数消去参数 ，得，得 第11页/共19页第十二页，共20页。这个曲面这个曲面(qmin)(qmin)称为旋转抛物面（如图称为旋转抛物面（如图3.33.3）.绕绕 轴旋转所得旋转面方程为轴旋转所得旋转面方程为 4.4.例例3.1 母线母线 第12页/共19页第十三页，共20页。5.5.例例3.2 母线母线 绕绕 x x 轴旋转所得曲面的方程为轴旋转所得曲面的方程为 这个这个(zh ge)(zh ge)曲面称为旋转双叶双曲面（如图曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.43.4）.绕绕y y 轴旋转所得曲面的方程为轴旋转所得曲面的方程为 这个这个(zh ge)(zh ge)曲面称为旋转单叶双曲面（如图曲面称为旋转单叶双曲面（如图3.53.5）.第13页/共19页第十四页，共20页。第14页/共19页第十五页，共20页。6.6.例例3.3 圆圆 绕绕z z轴旋转所得曲面为轴旋转所得曲面为 即即 这个曲面这个曲面(qmin)(qmin)称为环面（如图称为环面（如图3.63.6）.第15页/共19页第十六页，共20页。7.7.例例3.4 设设 和和 是两条异面直线，它们不垂直是两条异面直线，它们不垂直.求求 绕绕 旋转所得曲面的方程旋转所得曲面的方程.解解 设设 和和 的距离为的距离为 .以以 为为z轴，以轴，以 和和 的的公垂线为公垂线为x x轴，并且设轴，并且设 与轴与轴x x的交点为的交点为 ，建，建立一个右手直角坐标系立一个右手直角坐标系.设设 的方向向量为的方向向量为 ,因为因为 与与x x轴垂直轴垂直,所以所以 ，得，得 .因为因为 异面异面 ，所以，所以 ，于是，于是 .因此可因此可设设v v 的坐标为的坐标为 .因为因为 与与 不垂直，所以不垂直，所以 .于是于是 .第16页/共19页第十七页，共20页。因此，因此，的参数方程为的参数方程为 点点M(x,y,z)M(x,y,z)在旋转在旋转(xunzhun)(xunzhun)面上的面上的充要条件是充要条件是 第17页/共19页第十八页，共20页。消去参数消去参数 ，得，得 即即 这是一个旋转这是一个旋转(xunzhun)(xunzhun)单叶双曲面单叶双曲面.作业作业:(1):(1)复习第复习第3 3章第章第1 1节节;(2)P80:2(3)(4),3,5(1),7,9(3)(6)(9)(10);(2)P80:2(3)(4),3,5(1),7,9(3)(6)(9)(10);第18页/共19页第十九页，共20页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第19页/共19页第二十页，共20页。