2019七年级数学下册 培优新帮手 专题29 归纳与猜想试题 （新版）新人教版.doc

12929 归纳与猜想归纳与猜想阅读与思考阅读与思考当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，可从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法.归纳是建立在细致而深刻的观察基础上，发现往往是从观察开始的，观察是解决问题的先导，解题中的观察活动主要有三条途径：1数与式的特征观察2几何图形的结构观察3通过对简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况.需要注意的是，用归纳猜想法得到的结果，常常具有或然性，它可能是成功的发现，也可能是失败的尝试，需用合乎逻辑的推理步骤把它写成无懈可击的证明【例例 1】1】下图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是_.（“东方航空杯”上海市竞赛试题）(A) (B) (C)解题思路：解题思路：认真观察A，B，C三种状态所显示的数字，从中发现规律，作出推断。【例例 2】2】如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去，若第一个正方形边长为 1，则第n个正方形的面积是_2（湖北省武汉市竞赛试题）解题思路解题思路：从观察分析图形的面积入手，先考察n1，2，3，4 时的简单情形，进而作出猜想【例例 3】3】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7， (1)“17”在射线_上(2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律(3)“2 007”在哪条射线上？（贵州省贵阳市中考试题）解题思路：解题思路：观察发现每条射线上的数除以 6 的余数相同【例 4】观察按下列规则排成的一列数：，()1 11 22 11 32 23 11 42 33 24 11 52 43 34 25 11 6(1)在()中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)时，求m的值和这m个数的积2 20013(2)在()中，未经约分且分母为 2 的数记为c它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd2 001 000? 如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由（湖北省竞赛试题）解题思路解题思路：按分母递减而分子递增的变化规律，对原数列恰当分组，明确每组中数的个数与分母的关系、未经约分且分母为 2 的数在每组中的位置，这是解本例的关键，【例例 5】5】在 2,3 两个数之间，第一次写上5，第二次在 2.5 之间和 5，3 之间分别写上23 1和4，如图所示：25 27253 2第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 1 k(1)请写出第 3 次操作后所得到的 9 个数，并求出它们的和(2)经过k次操作后所有的数的和记为Sk，第k1 次操作后所有数的和记为Sk1，写出Sk1与Sk之间的关系式(3)求S6的值（“希望杯”邀请赛试题）解题思路解题思路：(1)先得出第 3 次操作后所得到的 9 个数，再把它们相加即可(2)找到规律，即毒次操作几个数的时候，除了头尾两个数 2 和3 之外，中间的n2 个数均重复计算了 2 次，用Sk表示出Sk1(3)根据(1)，(2)可算出S6的值能力训练能力训练1有数组(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，则第 100 组的三个数之和为 （广东省广州市竞赛试题）2如图有一长条型链子，其外形由边长为 1 cm的正六边形排列而成其中每个黑色六边形与6 个白色六边形相邻，若链子上有 35 个黑色六边形，则此链子有_个白色六边形4（2013 年“实中杯”数学竞赛试题）3按一定规律排列的一串数：，中，第 98 个数是_.11132 3331 5253 5455 5172 737（山东省竞赛试题）4给出下列丽列数2，4，6，8，10,，1 9946，13, 20, 27, 34,，1 994则这两列数中，相同的数的个数是( )A142 B143 C284（浙江省竞赛试题）5如图，AOB45°，对OA上到点的距离分别为 1，3，5，7，9，11，的点作OA的垂线且与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，面积分别为S1，S2，S3，则S10 .6一条直线分一张平面为两部分，二条直线最多分一张平面为 4 部分，设五条直线最多分平面为部分，则n等于( )A16 B18 24 D31（北京市“迎春杯”竞赛试题）7观察下列正方形的四个顶点所标的数字规律那么 2013 这个数标在( )5A第 503 个正方形的左下角 B第 503 个正方形的右下角C第 504 个正方形的左下角 D第 504 个正方形的右下角 （2013 年浙江省衢江市竞赛试题）8自然数按下表的规律排列： (1)求上起第 10 行，左起第 13 列的数(2)数 127 应在上起第几行，左起第几列（北京市“迎春杯”竞赛试题）9一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55问：这串数的前 100 个数中（包括第 100 个数）有多少个偶数？（“华罗庚金杯”竞赛试题）10.将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于 50 个小纸片，至少要画多少条直线？请说明理由（“五羊杯”竞赛试题）611.下面是按一定规律排列的一列数：第 1 个数： ；1 2(1F(1,2)第 2 个数：； 4113112113132第 3 个数：； 611511411311211415432第n个数： nnn211411311211111232 那么，在第 10 个数，第 11 个数，第 12 个数，第 13 个数中，最大的数是哪一个？12.有依次排列的 3 个数：3，9，8对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1，8，这称 为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10,1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串 3，9，8 开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？7专题 29 归纳与猜想例 1 6 提示：5 的对面是 2，4 的对面是 3，1 的对面是 6例 2 提示：1，进而推出121n1S2S213S221 414S321 81nS121n例 3 （1）OE（2）射线OA上数字的排列规律：6n5（n为自然数，下同） ；射线OB上数字的排列规律：6n4；射线OC上数字的排列规律：6n3；射线OD上数字的排列规律：6n2；射线OE上数字的排列规律：6n1；射线OF上数字的排列规律：6n（3）在 6 条射线的数字规律中，只有 6n32 007 有整数解，解围n335，故“2007”在射线OC上例 4 （1）可分组为（） ， （，） ， （，） ， （，） ，11 21 12 31 22 13 41 32 23 14（，），可知各组数的个数依次为 1，2，3，当F（m）时，51 42 33 24 15 20012m（122001）22003003，这 2003003 个数的积为20030011例 5 （1）第 3 次操作后所得到的 9 个数为：2，5，3，4，3611 27 617 37它们的和为 25343611 27 617 37 255（2）由条件知5，则0S1kSkS120 kSSk 153 kSkk kSkk 13 15 k（3）因故40；55，3S2554S346S455S457S556S568S65 2145【能力训练能力训练】11010100 2142 提示：若有n个黑色六边形，则白色六边形个数为 4n2故35时，4n24× 35142 个3 4B1917576 黑色梯形的规律明显：每个梯形的高都为 2，上底分别对OA上的 1，5，9，下底分别对应OA上的 3，7，11，而上、下底的长度恰好和它在OA上对应的数值是一样的以上底为例，11，514×1，914×2，故第 10 个梯形的上底对应OA上的数为814×937，下底的长正好为 39，于是7610S 2239376A7D 提示：2013÷45031，故在第 504 个正方形右下角8 （1）第 1 列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在的行数的平方第 10 行起，左起第13 列，应该是第 13 列的第 10 个数，即10144101542113（2）数 127 满足关系式 12766，即 127 在左起第 12 列，上起第 6 行的位2112112置9观察已经写出的数，发现每三个连续数中恰好有一个偶数，在前 100 项中，第 100 项是奇数，前 99 项中有33 个偶数39910设至少要画k条直线k条直线最多将圆分成 11234k块，当k9 时，1123946，当k10 时，11231056，故至少要画 10 条直线，可以将圆纸片分成不小于 50 块11若对前三个先进行计算：第 1 个数：（1）0；21 21 21 21第 2 个数：（1）11；31 21 312 412 31 21 61第 3 个数：（1）111141 21 312 412 512 612 41 21；41按此规律，第n个数：（1）11111 n21 312 412 nn2112 11 n21由此可知n越大，第n个数越小，那么在第 10 个数，第 11 个数，第 12 个数，第 13 个数中，最大的数是第 10 个数12一个依次排列的n个数组成一个数串：，依题设操作方法可得新增的数1a2a3ana为：，新增数之和为（）（）2a1a3a2a4a3ana1na2a1a3a2a9（）（）（*） 原数串为 3 个数：3，9，8第一次操作根据4a3ana1nana1a（*）可知，新增 4 项之和为 6（1）583；第二次操作后所得数串为： 3，3，6，3，9，10，1，9，8根据（*）可知，新增 4 项之和为 33（10） 9583按这个规律下去，第 100 次操作后所得新数串所有数的和为：（398） 100×（83）520