2019九年级数学上册 专题突破讲练 几何基本图形：一线三等角试题 （新版）青岛版.doc

1几何基本图形：一线三等角几何基本图形：一线三等角1.1. 基本模型基本模型注意：注意：利用同角的余角相等证明ACDBEC2.2. 模型扩展模型扩展 （1）锐角BDECFD相似依据：运用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和寻找相等的角度，得出两个三角形相似并加以运用。 （2）钝角注意：注意：（1）相似三角形中对应边要找准。（2）熟练记忆“一线三等角”的基本模型，根据三角形相似可得：；BD DCEB CF:（3）此模型中共有三组相似三角形，一般考查BEDCDF。例题例题 （历城区三模）如图，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的2方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点。（1）若BE=2，求CM的长；（2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。解析：解析：（1）由 AB=AC，根据等边对等角，可得B=C，又由ABCDEF 与三角形外角的性质，易证得CEM=BAE，则可证得ABEECM，就有，即可以得BABE ECCM出答案；（2）分别从 AE=AM，AE=EM 与 AM=EM 去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）首先设 BE=x，由ABEECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得，继而求得 AM 的值，利用二次函数的2261935555xCMxx 性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积。答答案案：（1）AB=AC，B=C，ABCDEF，AEF=B，又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE，ABEECM；，BABE ECCM，52 4CM；8 5CM （2）能。当AE=EM时，则ABEECM，CE=AB=5，BE=BCEC=65=1，当AM=EM时，则MAE=MEA，MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA，C=C，CAECBA，CEAC ACCB3=，2ACCECB625；2511666BE 当AE=AM时，此时E点与B点重合，M点与C点重合，即BE=0。BE=1 或或 0。11 6 （3）设BE=x，又ABEECM，即：，CMCE BEAB6 5CMx x，2261935555xCMxx ，21165355AMCMx当x=3 时，AM最短为，16 5又当时，132BExBC点E为BC的中点，AEBC，此时，EFAC，224AEABBE，。2212 5EMCECM1161296 25525AEMS:点拨：点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题。关键是利用“一线三等角”判断出两三角形相似。此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键。【方法归纳方法归纳】1. 平面直角坐标系中，常作点到坐标轴的垂线，构造“一线三直角” 。把点的坐标和线段的长度建立联系，解决问题。2. 矩形中的翻折问题发现“一线三等角” ，常用方程的思想解决。3. 动态几何中图形的存在性问题应注意分类讨论思想的应用，不重不漏。例题例题 在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图所示放置。已知 10OB ，6BC ，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边 OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F。4请回答：（1）如图，若点E的坐标为(04)，直接写出点A的坐标；（2）将矩形沿直线1 2yxn 折叠，求点A的坐标； 解解析析：（1）利用折叠的性质，可得 AE=OE=4，根据勾股定理就可以求出线段DA的长；（2）如图，根据1 2yxn ，则E点的坐标为（0，n） ，F点的坐标为（2n，0） ， OE=n，OF=2n，由AEFOEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，得出DEAGAF所以，由FG=CB=6 解得DA=3，从而求得A点的坐标。AEDA FAGF答答案案：（1）点A的坐标为2 3,6（2）如图，过点F作FGDC于GEF的解析式为1 2yxn ， E点的坐标为（0，n） ，OE=n F点的坐标为（2n，0） ，OF=2n AEF与OEF全等，OE=AE=n，AF=OF=2n点A在DC上，且EAF=90°1+3=90° 又3+2=90°51=2 在DEA与GAF中，12 ADEAGF DEAGAF AEDA FAGFFG=CB=6 26nDA nDA=3 A点的坐标为（3，6） 。点拨：点拨：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，在矩形折叠问题中要善于发现“一线三等角”的模型，并利用该知识点解决问题。（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1. （济南）已知直线l1l2l3l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tan的值等于（ ）A. B. C. D. 2 33 44 33 2 *2.（温州）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCO的顶点C的坐标为（0，8） ，沿着直线折叠纸片，使点C落在OA边上的点F处，折痕为DE，则b等于 。1 2yxbA. 2 B. 3 C. 4 D. 5 *3. （苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与边CD相交6于点Q。则CQ的最大值为（ ）A.4 B. C. D. 9 49 217 4*4. （道里区一模）如图，ABC中，AB=5，BC=11，点D在BC上，4 3tanB ADE=90°，DAE=ACB，ED=EC，AE的长为（ ）A. B.6 C. D.8 2 104 2二、填空题二、填空题*5. （润州区二模）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线30yxx上，且OAOB，A=30°，则k的值是 。0kyxx*6. （海南）直线l1l2l3，且l1与l2的距离为 1，l2与l3的距离为 3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 。*7. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，BC=4AD=，B=45°。直角三角板含45°角的顶点 E 在边 BC 上移动，一直角边始终经过点 A，斜边与 CD 交于点 F。若ABE 为等腰三角形，则 CF 的长等于 。7*8.（本溪一模）如图所示，正方形ABCD中，点P是边AB上一点，将一个直角三角板的直角顶点与点P重合，并保证其一条直角边始终经过点C，另一条直角边与AD交于点Q，若，则 ；若，则 。1 2AP ABAQ BC1AP ABnAQ BC三、解答题三、解答题*9.（盐城）情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图 1 所示。将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A） 、B在同一条直线上，如图 2 所示。观察图 2 可知：与BC相等的线段是 ，CAC= °问题探究：如图 3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。拓展延伸：如图 4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H。若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。8*10.（相城区一模）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4） ，A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点。把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90°的旋转变换得到AB。过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于一点E。设A点的横坐标为t，（1）若t=3，则点B的坐标为 ，若t=3，则点B的坐标为 ；（2）若t0，BCD的面积为S，则t为何值时，BCD的面积为 6？（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由。*11. （咸宁）阅读理解：如图 1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合） ，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点。解决问题：（1）如图 1，A=B=DEC=55°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图 2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2 中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图 3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处。若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系。9*12. （扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处。（1）如图 1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA。求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积比为 1：4，求边AB的长；（2）若图 1 中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图 2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP。动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合） ，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E。试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度。101. C 解析：如图，过点 C 作 CEl4于点 E，延长 EC 交 l1于点 F在矩形ABCD中，BCD=90°，+BCE=90°，BCE+DCF=180°90°=90°，DCF 又BEC=CFD=90°，BECCFD，即，BEBC CFCD6 4BE h。3 2BEh在RtBCE中，BEC=90°，。24 33 2CEhtanBEh2. B 解析：作EHOA于H，如图，把x=0 代入，D点坐标为（0，b） ，1 2yxbC点坐标为（0，8） ，而四边形ABCO为矩形，E点的纵坐标为 8，把y=8 代入得，解得，1 2yxb182xb1622 8xbbE点坐标为，2 88b，OD=b，EH=8，8CDb2 8CEb矩形纸片ABCO沿着直线折叠，使点C落在OA边上的点F处，折痕为1 2yxbDE，11，DFE=DCE=90°，8DFDCb2 8FECEbDFO+EFH=90°，而DFO+ODF=90°，ODF=EFH，Rt ODFRt HFE，即，OFDFOD EHFEFH 8 82 8bOFb bFHOF=4，FH=2b，OFFHOHCE，422 8bbb=3. 3. B 解析：设BP=x，CQ=y，,90BAPABP90CPQABPBAPCPQ 又，则；90ABPPCQ ABPPCQ:，即ABBP PCCQyx x64整理得： 219344yx CQ的最大值为：。 9 4 4. A 解析：作AMBC，ENBC，垂足分别为M，N。又AB=5，BC=11，4 3tanB AM=4，BM=3，CM=113=8，DAE=ACB，41 82AMtan DAEtan ACMCM又ADE=90°，AMDDNE，1 2ENEDDN AMADDM又ED=EC，ENBC，MD=DC=4，由勾股定理得：，4 2,2 2ADED，223282 10AEADED5. 解析：过点B作BCx轴于点C，ADx轴于点D，112OAOB，1+2=90°，1+OAD=90°，2=OAD，又BCO=ADO=90°，OBCAOD，BCCOBO DOADAOA=30°，BOA=90°，3 3BCCOBO DOADAO设，B xyA ab，3 3yx ab，33 33xbya ， ，3ab 。33133kxybaab 6. 解析：分别过点A、B、D作，25 4333AFlBElDGl，ABC是等腰直角三角形，AC=BC，EBC+BCE=90°，BCE+ACF=90°，ACF+CAF=90°，EBC=ACF，BCE=CAF，在BCE与ACF中，EBCACF BCAC BCECAF BCEACF（ASA）13CF=BE，CE=AF，与的距离为 1，与的距离为 3，1l2l2l3lCF=BE=3，CE=AF=3+1=4，在RtACF中，AF=4，CF=3，2222435ACAFCF，33AFlDGl，CDGCAF，解得，DGCD AFAC3 45CD15 4CD 在RtBCD中，BC=5，15 4CD 。 2 2221525544BDBCCD7. 52,4 23,2解析：作AMBC，DNBC，根据已知条件可得，=2BMBCAD223在直角三角形ABM中，B=45°，则 AB=，3 332cosB当 时，如图 2，ABAE，4545BAE B，3AEAB 则在中，故。Rt ABE:22333 2BE 4 23 22E C易得FEC为等腰直角三角形，故。 22222CF 当时，如图 3ABBEAB=3，3BE，18045267.5AE BBAE ，1804567.567.5FE C ，18067.5CFECFE C14 为等腰三角形，E CF:；4 23CFCECBBE当时，如图 4AEBE 和是等腰Rt，ABECFE，3 2 2BE5 2 2CE。5 2CFFE8. 211,4n n解析：四边形ABCD是正方形，A=B=90°，BC=AB。设AP=k。（1），1 2AP ABBC=AB=2k，BP=k。在AQP与BPC中，90AQPBPCAPQ AB AQPBPC，1 2AQAP BPBC，1 2AQk；1 12 24kAQ BCk（2），1AP ABn。1BCABnkBPnk，在AQP与BPC中，15，90AQPBPCAPQ AB AQPBPC，1AQAP BPBCn，1nAQkn。21 1nkAQnn BCnkn 9. 解：观察图形即可发现，即BC=AD，ABCAC D:C ADACB ；故答案为：AD，90。18090CACC ADCAB FQ=EP，理由如下：FAQ+CAG=90°，FAQ+AFQ=90°，AFQ=CAG，同理ACG=FAQ，又AF=AC，AFQCAG，FQ=AG，同理EP=AG，FQ=EP。HE=HF。理由：过点E作EPGA，FQGA，垂足分别为P、Q。四边形ABME是矩形，BAE=90°，BAG+EAP=90°，又AGBC，BAG+ABG=90°，ABG=EAP。AGB=EPA=90°，ABGEAP，AG：EP=AB：EA。同理ACGFAQ，AG：FQ=AC：FA。AB=kAE，AC=kAF，AB：EA=AC：FA=k，AG：EP=AG：FQ。16EP=FQ。又EHP=FHQ，EPH=FQH，RtEPHRtFQH（AAS） 。HE=HF。10.（1）C的坐标为（0，4） ，t=3 或3，由勾股定理得：AC=5，AOCBEA且相似比为，AO=3，OC=4 2AC ABAE=2，BE=1.5点B的坐标为或； 352，31,2 （2）当 0t8 时，如图（1）AOCBEA且相似比为，2ACAC ABAM求得点B的坐标为，122tt，解得t=2 或 4，111246222BCDSDC DBtt当t8 时，如图（2），解得t=10 或t=4（舍去）111246222BCDSDC DBttt=2，t=4，t=10（3）当 0t8 时，如图（1）若AOCCDB 即： AOCO CDBD4 1242t ttt无解若AOCBDC，同理，解得或（不合题意舍去） ，2 52t 2 52t 当t8 时，如图（2）若AOCCDB，即：，AOCO CDBD4 1242t tt解得，取t=4+8，4 58t 5若AOCBDC，同理，t无解，当2t0 时，如图（3） ，若AOCCDB，即：AOCO CDBD4 1242t tt解得（不合题意舍去）或，4 58t 4 58t 若AOCBDC，同理，t无解17当t2 时，如图（4）若AOCCDB，即：，则t无解，AOCO CDBD4 1242t tt若AOCBDC，同理，解得（不合题意舍去）或（不合2 52t 2 52t 题意舍去） ；则，。2 52t 4 58t 4 58t 11. 解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点。理由：A=55°，ADE+DEA=125°。DEC=55°，BEC+DEA=125°。ADE=BEC。 A=B，ADEBEC。点E是四边形ABCD的边AB上的相似点。（2）作图如下：（3）点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，AEMBCEECM，18BCE=ECM=AEM。由折叠可知：ECMDCM，ECM=DCM，CE=CD，1303BCEBCD。11 22BECEAB在RtBCE中，30BEtan BCEtanBC，3 3BE BC2 3 3AB BC12. 解：（1）如图 1，四边形ABCD是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90°。由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAO，APO=B。APO=90°。APD=90°CPO=POC。D=C，APD=POC。OCPPDA。OCP与PDA的面积比为 1：4，。11 42OCOPCP PDPADAPD=2OC，PA=2OP，DA=2CP。AD=8，CP=4，BC=8。设OP=x，则OB=x，CO=8x。在RtPCO中，C=90°，CP=4，OP=x，CO=8x，。解得：x=5。22284xxAB=AP=2OP=10。 边AB的长为 10。（2）如图 1，P是CD边的中点，。1 2DPDCDC=AB，AB=AP，。1 2DPAPD=90°，。1 2DPsin DAPAPD AP=30°。19DAB=90°，PAO=BAO，DAP=30°，OAB=30°。OAB的度数为 30°。（3）作MQAN，交PB于点Q，如图 2。AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQP。APB=MQP。MP=MQ。MP=MQ，MEPQ，。1 2PEEQPQBN=PM，MP=MQ，BN=QM。MQAN，QMF=BNF。在MFQ和NFB中，QMFBNF QFMBFN QMBN MFQNFB。 QF=BF。 。1 2QFQB。111 222EFEQQFPQQBPB由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90°。22844 5PB 。12 52EFPB在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为。2 5