2019九年级数学上册 专题突破讲练 特殊角的锐角三角函数值及其计算试题 （新版）青岛版.doc

1特殊角的锐角特殊角的锐角三角函数值三角函数值特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值三角函数角度sincostan30°1 2323345°2222160°321 23方法归纳：方法归纳：（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与 30°、45°、60°角相联系的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。（2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角。（3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小） ，余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大） 。总结：总结：1. 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。2. 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。例题例题 1 1 如图所示，已知直线yx，求这条直线与x轴的夹角（锐角） 。33xyO OAB解解析析：直线与x轴、y轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与x轴、y轴交点坐标即可求解。答答案案：设yx与x轴、y轴交点为A、B 两点，则A（1，0） 、B（0，） ，333OA1，OBtanBAO，BAO60°。3OB OA3答：直线与x轴夹角（锐角）为60°。点拨：点拨：本题关键利用 RtAOB 来求出 OA、OB，进而求出BAO 的正切值，最后求出度数，是已知两边求度数的一种常用方法。例题例题 2 2 已知：如图，RtABC 中，BAC90°，D 是 AC 上一点，ABDC，直线EF 过点 D，与 BA 的延长线相交于 F，且 EFBC，垂足为 E。探索：设t，若ADFAC ABEDB，试求t的值。2ABCDEF解解析析：t的值就是ABC 两边的比值，所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特殊图形求出 AC 与 AB 的数量关系，再求其比值。或者能求出ABC 或C 的度数也可以，因为BAC90°，在直角三角形中利用三角函数求t值。答答案案：BAC90°，EFBC，ADFCDE，FC。ABDC，FABD。ADFEDB，FEBD，在 RtABC 中，CABDEBD，又CABDEBD90°，CABDEBD30°，ABC60°。tanABC，即t。AC AB33点拨：点拨：本题中t值是C 的正切值，所以需要求出C 的度数要求一个角的度数，特别是在没有已知度数的角的情况下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求。利用三角形内角和时，这三个内角必须具有倍分关系，才能转化成一元一次方程求出角的度数，本题中是证明的三个角相等且和为 90°。锐角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关系的常用数学方法。在中考试题中对特殊角三角函数的考查有的直接考查，以填空题和选择题的形式出现，一般比较容易；有的融入到其他知识或题型中间接考查，如三角形、四边形、圆等，常以解答题、操作说明题、阅读题等形式出现，综合性较强，难度较。满分训练满分训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30° ，cos30°，则 sin230°cos230°_；1 232sin45°，cos45°，则 sin245°cos245°_；22 22sin60°，cos60° ，则 sin260°cos260°_；321 2 观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2Acos2A_。（1）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对A 证明你的猜想；3ABC（2）已知：A 为锐角（cosA0）且 sinA ，求 cosA。3 5解析：解析：（1）证明：过点 B 作 BDAC 于 D，在 RtADB 中，sinA，cosA，由BD ABAD AB勾股定理得，BD2AD2AB2，（）2（）BD ABAD AB21，sin2Acos2A1；（2）A 为锐角（cosA0） ，BD2 + AD2 AB2sinA ，sin2Acos2A1，cosA 。3 51sin2A4 5点拨：点拨：本题属于阅读理解题，读懂题意，弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的关键。比本题中可总结出同角的三角函数关系，sin2Acos2A1，类似的还有 tanA等。sinA cosA（答题时间：（答题时间：3030 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1. 式子 2cos30°tan45°的值是（ ）（1tan60°）2A. 2B. 0C. 2D. 2332. 如图所示，矩形 ABCD 中，AB1，BC，AC 与 BD 相交于 O，则 tanAOB 等于（ 3）A. B. C. 1D. 33332A AB BC CD DO O*3. 如图所示是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是，那么标有数学“2”的等腰直角三角形斜边的2长是（ ）A. 2B. 2C. 2D. 23 242 13456789 10 1112 13*4. 如图，在半径为 1 的O 中，AOB45°，则 sinC 的值为（ ）A. B. C. D. 2222222224二、填空题二、填空题5. 在 RtABC 中，C90°，AB2BC，现给出下列结论：sinA；cosB ；tanA；tanB，其中正确的结论是321 2333_（只需填上正确结论的序号） 。*6. ABC 中，a、b、c分别是A、B、C 的对边。已知a，b，c，则bsinBcsinC 的值是_。103232*7. 如图，RtABC 中，A90°，ADBC 于点 D，若 BD：CD3：2，则tanB_。*8. 如图所示，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则 sin 的值是_。ABCl1l2l3¦ Á5三、解答题三、解答题9. 已知a是锐角，且 sin（15°），计算4cos（3.14）3280tan） ）1的值。1 3*10. 对于钝角 ，定义它的三角函数值如下：sinsin（180°） ，coscos（180°） 。（1）求 sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是 1：1：4，A、B 是这个三角形的两个顶点，sinA、cosB 是方程 4x2mx10 的两个不相等的实数根，求m的值及A 和B 的大小。*11. 如图，风车的支杆 OE 垂直于桌面，风车中心 O 到桌面的距离 OE 为 25cm，小小风车在风吹动下绕着中心 O 不停地转动，转动过程中，叶片端点 A、B、C、D 在同一圆 O 上，已知O 的半径为 10cm。（1）风车在转动过程中，当AOE45°时，求点 A 到桌面的距离（结果保留根号） 。（2）在风车转动一周的过程中，求点 A 相对于桌面的高度不超过 20cm所经过的路径长（结果保留 ） 。*12. 现场学习：我们知道，若锐角 的三角函数值为 sinm，则可通过计算器得到角 的大小，这时我们用arc sin m来表示 ，记作：arc sin m；若 cos m，则记 arc cos m；若 tan m，则记 arc tan m。解决问题：如图，已知正方形 ABCD，点 E 是边 AB 上一动点，点 F 在 AB 边或其延长线上，点 G 在边 AD 上。连接 ED、FG，交点为 H。（1）如图 1，若 AEBFGD，请直接写出EHF_°；（2）如图 2，若 EF CD，GD AE，设EHF。请判断当点 E 在 AB 上运动时，2 52 5EHF 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出 。A AB BC CD DE EF FG GH H图图1 1A AB BC CD DE EF FG GH H图图2 261. B 解析：原式2×1（1）110故选 B。323332. A 解析：因为 ABCD 是矩形，所以 AOBO，则OABOBA。AB1，BC，tanCAB，CAB60°，33OBAOAB60°。AOB180°60°60°60°，tanAOBtan60°。故选 A。33. B 解析：可利用勾股定理或三角函数从标有“13”的正方形开始倒序计算至标有“2”的等腰直角三角形的斜边长。4. B 解析：过点 A 作 ADOB 于点 D，在 RtAOD 中，AOB45°，OD ADOAcos45°×1，BDOBOD1，AB222222AD2 + BD2，AC 是O 的直径，ABC90°，AC2，sinC，故选22AB AC222B。5. 解析：在 RtABC 中，C90°，AB2BC，sinA ，故错误；BC AB1 2A30°，B60°，cosBcos60° ，故正确；A30°，1 2tanAtan30°，故正确；B60°，tanBtan60°，故正确。3336. 解析：不难验证，a2b2c2，所以ABC 是直角三角形，其中a是斜边，10bsinBcsinCb· c· a。b ac ac2b2 aa2 a107. 解析：在 RtABC 中，ADBC 于点63D，ADBCDA，BBAD90°，BADDAC90°，BDAC，ABDACD，BD：CD3：2，设 BD3x，CD2x，ADx，BD ADAD DC3x·2x6则 tanB。AD BD6x3x638. 解析：分别过点 A、B 作 AEl1，BFl1，易得AECCFB（AAS） ，设平行1010线间距离为d1，CEBF1，AECF2，ACBC，AB，则 sin510d AB。11010107ABCl1l2l3¦ ÁEF9. 解析：sin（15°），15°60°，45°。当 45°时，32原式24×cos45°1tan45°3221133。22210. 解：（1）由题意得，sin120°sin（180°120°）sin60°，cos120°32cos（180°120°）cos60° ，sin150°sin（180°150°）sin30°1 2 ；（2）三角形的三个内角的比是 1：1：4，三个内角分别为 30°、30°、120°，1 2当A30°，B120°时，方程的两根为 和 ，将 代入方程得：4×（ ）1 21 21 21 22m× 10，解得：m0，经检验 是方程 4x210 的根，m0 符合题意；当1 21 2A120°，B30°时，两根均为，不符合题意；当A30°，B30°时，32两根为 和，将 代入方程得：4×（ ）2m× 10，解得：m0，经检验不是方1 2321 21 21 232程 4x210 的根。综上所述：m0，A30°，B120°。11. 解：（1）当AOE45°时，过点 A 作 AFOE 于 F，则 OFOA·cosAOE10×5cm；（2）过点 A 作 AGOE 于 G，交O 于另一点 H。OE25cm，当 OG5cm222时点 A 到桌面的距离正好是 20cm。在 RtOAG 中，OG5cm，OA10cm，即sinOAG ，OAG30°，AOG60°，AOH120°。在扇形 OAH 中，OG OA5 101 2劣弧的长度（cm）。即风车转动一周，点 A 相对于桌面的高度不AH120 × 10 18020 3超过 20cm所经过的路径长为cm。20 312. 解：（1）45° 提示：连接 FC、GC，则ADEBCFDCG，从而 DEFC，CGF 是等腰直角三角形，所以EHFGFC45°。8A AB BC CD DE EF FG GH H图图1 1A AB BC CD DE EF FG GH H图图2 2MM（2）不会变化。证明：如图 2，过点 F 作 FED 交 CD 于，连接 G。正方形 ABCD 中，ABCD，四边形 EFMD 为平行四边形。EFDM，DEFM。EDCFMC，EHFHFM。EF CD，GD AE，2 52 5EF CD 。，AGDM90°，DGMGD AE2 5DM ADGD AEAED。 ， 。GDHMDH90°，GM DE2 5GM FM2 5GDHDMG，MDHCMF，DMGCMF90°，GMF90°。在 RtGFM 中，tan 。arc tan 。GM FM2 52 5