2019九年级数学下册 专题突破讲练 二次函数在几何图形中的应用试题 （新版）青岛版.doc

1二次函数在几何图形中的应用二次函数在几何图形中的应用二次函数在几何图形中的应用二次函数在几何图形中的应用1. 可用二次函数解决的几何问题特点：与面积相关。2. 可用二次函数解决的几何问题类型：三角形、四边形、圆等。3. 建立二次函数模型的依据：三角形、四边形、圆的面积公式。方法归纳（1）在圆的问题中，设半径或直径为自变量，则圆面积是半径或直径的二次函数。（2）在矩形中，设一边为自变量，另一边用自变量表示，则其面积是这一边长的二次函数。（3）在三角形或一般四边形中，通常设一边为自变量，用自变量表示这条边上的高，则其面积是这一边长的二次函数。总结：1. 能够根据几何图形的特点建立二次函数模型。2. 会利用二次函数解决与几何图形相关的实际应用问题。例题例题 1 1 如图所示，有一块直角三角形的铁板，要在其内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC分别在两直角边上，设 ABx m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）A. 4mB. 3mC. 2mD. m5 2ABCD5m12m解解析析：根据长方形的面积大三角形的面积两个小三角形的面积确定x与y之间的函数关系式，求出函数值y最大时自变量x的取值即可。答答案案：根据题意得：y30 （5x）× x（12 ），整理得1 2y x1 2y xyx212xx25x（ ）2（x ）2150，长方形面积有12 512 55 225 412 55 212 52最大值，当长方形面积最大时，边长x应为m，故选 D。5 2点拨：点拨：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如yx22x5，y3x26x1 等用配方法求解比较简单。例题例题 2 2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为 15m当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到 0.01m）此时，窗户的面积是多少？（精确到 0.01m2）解解析析：先将图形分割成半圆和矩形，分别表示各部分的面积，建立函数关系式，再利用二次函数的性质求最值。本题的突破口是找出圆的半径与小矩形竖直边长之间的关系。答答案案：设半圆的半径为r m，小矩形的竖直边长为y m，大矩形水平边长为2rm。则 4y7rr15，y。157 4rr设窗户的面积为S，则S r22ry r22r×3.5r27.5r，1 21 2157 4rr因为3.50，所以S 有最大值。当r1.07（m）时，S最大值4.02（m2） 。7.5 2 × （3.5）（7.5）2 4 × （3.5）即当半径约为1.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m2。点拨：点拨：二次函数与几何图形相结合时，往往题目并未明确表示二次函数的关系式，二次函数的关系式可能隐藏在几何图形中，这时我们需要根据题中所给的信息设出自变量和函数，推导出函数关系式，再求出相应最值。建立三角形或四边形的面积与边长之间的二次函数关系时，关键是找出三角形或四边形的高，用面积公式建立二次函数关系，当所给几何图形的边长与高之间的关系不明显时，常常把几何图形分割成三角形或四边形，或利用等积式将问题转化，3满分训练满分训练 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为 AB（单位：米） ，现以 AB 所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为 O。已知 AB8 米，设抛物线解析式为yax24。（1）求a的值；（2）点 C（1，m）是抛物线上一点，点 C 关于原点 O 的对称点为点 D，连接 CD，BC，BD，求BCD 的面积。解：解：（1）AB8，由抛物线的性质可知 OB4，B（4，0） ，把 B 点坐标代入解析式得：16a40，解得：a ；1 4（2）过点 C 作 CEAB 于 E，过点 D 作 DFAB 于 F，a ，yx24，令x1，m1 41 4×（1）24，C（1，） ，C 关于原点的对称点为 D，D 的坐标为（1， ） ，则1 415 415 415 4CEDF，SBCDSBODSBOC OB·DF OB·CE ×4× ×4×15，BCD 的面15 41 21 21 215 41 215 4积为 15 平方米。ABCDEFO xy分析：分析：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法函数解析式。解答这类问题时注意充分利用图象中的某些特殊点，如顶点、抛物线与x轴的交点等。理解线段的长度与点的坐标之间的关系是解题关键。一、选择题一、选择题1. 设等边三角形的边长为x（x0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）4A. yx2B. yx2C. yx2D. yx21 21 432342. 长方形的周长为 24cm，其中一边为x（其中x0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）A. yx2B. y（12x2）C. y（12x）xD. y2（12x）3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线ya（x3）2k与y轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点，且 ABx轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为（ ）A. 9B. 12C. 18D. 20ABCOxy*4. 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数yx26x的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整27 4点的个数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8*5. 如图，在矩形 ABCD 中，ABa，BCb， a3b，AEAHCFCG，则四边形 EFGH 的面b 3积的最大值是（ ）A. （ab）2B. （ab）2C. （ab）2D. （ab）21 161 81 41 25*6. 数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为 400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图。要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大。下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（ ）二、填空题二、填空题7. 在半径为 4cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下一个圆环的面积为y cm2，则y与x的函数关系式为_。8. 如图，已知等腰直角ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 20 厘米，AC 与 MN 在同一直线上，开始时点 A 与点 N 重合。让ABC 以每秒 2 厘米的速度向左运动，最终点 A 与点 M 重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为_。A AB BC CMMN NP PQ Q*9. 如图，ABC 是直角三角形，A90°，AB8cm，AC6cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以 2cm/s的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 A 出发，沿 AC 方向以 1cm/s的速度向点 C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形 APQ 的最大面积是_。*10. 如图所示，从边长为 5 的正方形纸片 ABCD 中剪去直角EBF（点 E 在边 AB 上，点 F 在边BC 上） 。若 EBBF，则五边形 AEFCD 的面积的最小值是_。156ABCDEF三、解答题三、解答题11. 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体。其中，抽屉底面周长为180cm，高为 20cm。请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） 。12. 已知抛物线yx22xm1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于 A 点，如图，设它的顶点为 B。（1）求m的值；（2）过 A 作x轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：ABC 是等腰直角三角形。ABCOxy*13. 如图，四边形 ABCD 是矩形，A、B 两点在x轴的正半轴上，C、D 两点在抛物线yx26x上。设 OAm（0m3），矩形 ABCD 的周长为l，求l与m的函数解析式。*14. 用长为 12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块 苗圃。如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AEAB，BCAB，CDE。设 CDDEx m，五边形 ABCDE 的面积为 S m2。问：怎样设计才能使围出的苗圃面积最大，最大面积是多少？7*15. 用长度为 20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为 2x m。当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积。45°45°81. D 解析：作出 BC 边上的高 AD。ABC 是等边三角形，边长为x，CDx，ADx，yx×ADx21 2321 2342. C 解析：长方形的周长为 24cm，其中一边为x（其中x0），长方形的另一边长为12x，y（12x）x故选 C。3. C 解析：由题意可知抛物线的对称轴为x3，所以 AB6，所以等边三角形 ABC 的周长为18。*4. C 解析：抛物线与x轴两交点坐标分别为（ ，0） 、 （ ，0） ，当x2 时y4123 29 227 4，所以红色区域内在直线x2 上的整点有（2，0）和（2，1） ；当x3 时y ，且抛物线的对5 49 4称轴是x3，所以红色区域内在直线x3 上的整点有（3，0） 、 （3，1） 、 （3，2） ；由抛物线的对称性可知在红色区域内直线x4 上的整点有两个。所以满足题意的整点共 7 个。本题可用数形结合法，画出图象，结果一目了然。*5. B 解析：设 AEAHCFCGx，则 BEDGax，BFDHbx，设四边形 EFGH 的面积为y，依题意，得yabx2（ax）（bx），即y2x2（ab）x，20，抛物线开口向下，函数有最大值为 （ab）2。故选 B。0（ab）2 4 × （2）1 8*6. B 解析：设矩形的长为x m，半圆的半径是r m，中间的矩形区域面积是 S m2，根据题意知 2x2r400。所以 S2rxr（4002r）2r2400r，即 S 是r的二次函数，其图象开口向下，当r时，S 取得最大值。此时x100（m），400 2 × （2）100 4002r 2所以，应设计矩形的长为 100m，宽约为 2r63.7m时，矩形面积最大，故选 B。200 7. yx216 解析：半径为 4 的圆的面积是 16，半径为x的圆的面积是 x2，所以函数解析式为yx216。8. y （202t）2 解析：由题意可知重叠部分为等腰直角三角形，且 AM202t，所以重叠1 2部分的面积y （202t）2。1 29. 16cm2 解析：根据题意，点 P 沿 AB 方向以 2cm/s的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 A 出发，沿 AC 方向以 1cm/s的速度向点 C 运动，AP2t，AQt，SAPQt2，0t4，三角形 APQ的最大面积是 16。10. 23 解析：本题即是求EBF 面积的最大值，设其面积为y，y BE·BF，因为 EBBF1 81 29，设 BEx，则 BFx，所以yx·（x）x2x。由二次函数的性质15151 2151 2152可知当x时y取得最大值为y。所以五边形 AEFCD 的面积的最小值是 25。15215 815 8185 811. 解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为 180÷2x（90x）cm。由题意得：yx（90x）×2020（x290x）20（x45）240500，当x45 时，y有最大值，最大值为 40500。答：当抽屉底面宽为 45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3。12. 解：（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明0，即（2）24（m1）0，m2。 （2）由（1）得抛物线的解析式是yx22x1，A（0，1） ，B（1，0） ，AOB是等腰直角三角形。又 ACOB，BACOAB45°，A，C 是抛物线上一对对称点，ABBC，ABC 是等腰直角三角形。*13. 解：把xm代入抛物线yx26x中，得 ADm26m，把ym26m代入抛物线yx26x中，得m26mx26x，解得x1m，x26m，C 的横坐标是 6m，故AB6mm62m，矩形的周长l2（m26m）2（62m），即l2m28m12。*14. 解：连接 EC，作 DFEC，垂足为 F，DCBCDEDEA，EABCBA90°，DCBCDEDEA120°，DECD，DECDCE30°，CEAECB90°，四边形 EABC 为矩形，DEx m，AE6x，DFx，ECx，Sx26x（0x6）。当x4m时，S最大121 233343m2。3*15. 解：根据题意等腰直角三角形的直角边长为x m，矩形的一边长为 2x m。所以2S2x·102xx ×x×x（32）x220x， （0x105） 。当x21 222223020时，金属框围成的面积最大，此时矩形的一边长 2x6040（m） ，相邻边1032222长为 10（2）·10（32）1010（m） ，S最大100（32）2222300200（m2） 。2