2019年中考数学真题试题（含解析） 新版 人教目标版.doc

120192019 年中考数学真题试题年中考数学真题试题一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1 （2.00 分）3 的倒数是（ ）A3B3CD2 （2.00 分）已知苹果每千克 m 元，则 2 千克苹果共多少元？（ ）Am2 Bm+2CD2m3 （2.00 分）下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？（ ）ABCD4 （2.00 分）一个正比例函数的图象经过（2，1） ，则它的表达式为（ ）Ay=2xBy=2x CD5 （2.00 分）下列命题中，假命题是（ ）A一组对边相等的四边形是平行四边形B三个角是直角的四边形是矩形C四边相等的四边形是菱形D有一个角是直角的菱形是正方形6 （2.00 分）已知 a 为整数，且，则 a 等于（ ）A1B2C3D47 （2.00 分）如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为 N，如果MNB=52°，则NOA 的度数为（ ）A76° B56° C54° D52°8 （2.00 分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处，刻度尺2可以绕点 O 旋转从图中所示的图尺可读出 sinAOB 的值是（ ）ABCD二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9 （2.00 分）计算：|3|1= 10 （2.00 分）化简：= 11 （2.00 分）分解因式：3x26x+3= 12 （2.00 分）已知点 P（2，1） ，则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 13 （2.00 分）地球与月球的平均距离大约 384000km，用科学计数法表示这个距离为 km14 （2.00 分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是 15 （2.00 分）如图，在ABCD 中，A=70°，DC=DB，则CDB= 16 （2.00 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC=60°，的长是，则O 的半径是 317 （2.00 分）下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，则第 8 个代数式是 18 （2.00 分）如图，在ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是 AC 上一点，过点 P 沿直线剪下一个与ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法，那么 AP 长的取值范围是 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19 （6.00 分）计算：|1|（1）0+4sin30°20 （8.00 分）解方程组和不等式组：（1）（2）21 （8.00 分）如图，把ABC 沿 BC 翻折得DBC（1）连接 AD，则 BC 与 AD 的位置关系是 （2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 ABDC 是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由22 （8.00 分）为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读4课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是 ；（2）补全条形统计图；（3）该市共有 12000 名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数23 （8.00 分）将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中（1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率；（2）搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回） ，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求 2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接） 24 （8.00 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y=（x0）的图象上，过点 A 作 ACx 轴，垂足是 C，AC=OC一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B（1）求点 A 的坐标；（2）若四边形 ABOC 的面积是 3，求一次函数 y=kx+b 的表达式25 （8.00 分）京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽5（岸沿是平行的） ，如图，在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得CAB=30°，DBA=60°，求该段运河的河宽（即 CH的长） 26 （10.00 分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如，一元三次方程 x3+x22x=0，可以通过因式分解把它转化为 x（x2+x2）=0，解方程 x=0 和 x2+x2=0，可得方程x3+x22x=0 的解（1）问题：方程 x3+x22x=0 的解是 x1=0，x2= ，x3= ；（2）拓展：用“转化”思想求方程=x 的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m，宽 AB=3m，小华把一根长为 10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C求AP 的长27 （10.00 分） （1）如图 1，已知 EK 垂直平分 BC，垂足为 D，AB 与 EK 相交于点 F，连接CF求证：AFE=CFD（2）如图 2，在 RtGMN 中，M=90°，P 为 MN 的中点用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q，使得GQM=PQN（保留作图痕迹，不要求写作法） ；在的条件下，如果G=60°，那么 Q 是 GN 的中点吗？为什么？628 （10.00 分）如图，二次函数 y=+bx+2 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（4，0） ，P 是抛物线上一点（点 P 与点 A、B、C 不重合） （1）b= ，点 B 的坐标是 ；（2）设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M，是否存在这样的点 P，使得 PM：MB=1：2？若存在求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC、BC，判断CAB 和CBA 的数量关系，并说明理由7参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1 （2.00 分）3 的倒数是（ ）A3B3CD【分析】根据倒数的定义可得3 的倒数是【解答】解：3 的倒数是故选：C【点评】主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数2 （2.00 分）已知苹果每千克 m 元，则 2 千克苹果共多少元？（ ）Am2 Bm+2CD2m【分析】根据苹果每千克 m 元，可以用代数式表示出 2 千克苹果的价钱【解答】解：苹果每千克 m 元，2 千克苹果 2m 元，故选：D【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式3 （2.00 分）下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？（ ）ABCD【分析】根据圆锥的侧面展开图的特点作答【解答】解：圆锥的侧面展开图是光滑的曲面，没有棱，只是扇形故选：B【点评】此题考查了几何体的展开图，注意圆锥的侧面展开图是扇形4 （2.00 分）一个正比例函数的图象经过（2，1） ，则它的表达式为（ ）8Ay=2xBy=2x CD【分析】设该正比例函数的解析式为 y=kx（k0） ，再把点（2，1）代入求出 k 的值即可【解答】解：设该正比例函数的解析式为 y=kx（k0） ，正比例函数的图象经过点（2，1） ，2=k，解得 k=2，这个正比例函数的表达式是 y=2x故选：A【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键5 （2.00 分）下列命题中，假命题是（ ）A一组对边相等的四边形是平行四边形B三个角是直角的四边形是矩形C四边相等的四边形是菱形D有一个角是直角的菱形是正方形【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；B、三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；C、四边相等的四边形是菱形，是真命题；D、有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；故选：A【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别，关键是根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定解答6 （2.00 分）已知 a 为整数，且，则 a 等于（ ）A1B2C3D4【分析】直接利用，接近的整数是 2，进而得出答案【解答】解：a 为整数，且，9a=2故选：B【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键7 （2.00 分）如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为 N，如果MNB=52°，则NOA 的度数为（ ）A76° B56° C54° D52°【分析】先利用切线的性质得ONM=90°，则可计算出ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到B=ONB=38°，然后根据圆周角定理得NOA 的度数【解答】解：MN 是O 的切线，ONNM，ONM=90°，ONB=90°MNB=90°52°=38°，ON=OB，B=ONB=38°，NOA=2B=76°故选：A【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理8 （2.00 分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为 1 的半圆形量角器中，画一个直径为 1 的圆，把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处，刻度尺可以绕点 O 旋转从图中所示的图尺可读出 sinAOB 的值是（ ）10ABCD【分析】如图，连接 AD只要证明AOB=ADO，可得 sinAOB=sinADO=；【解答】解：如图，连接 ADOD 是直径，OAD=90°，AOB+AOD=90°，AOD+ADO=90°，AOB=ADO，sinAOB=sinADO=，故选：D【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9 （2.00 分）计算：|3|1= 2 【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及减法法则计算即可求出值【解答】解：原式=31=2故答案为：2【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键1110 （2.00 分）化简：= 1 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可【解答】解：原式=1，故答案为：1【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键11 （2.00 分）分解因式：3x26x+3= 3（x1）2 【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：3x26x+3，=3（x22x+1） ，=3（x1）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止12 （2.00 分）已知点 P（2，1） ，则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 （2，1） 【分析】根据关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案【解答】解：点 P（2，1） ，则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（2，1） ，故答案为：（2，1） 【点评】本题考查了关于 x 轴对称的对称点，利用关于 x 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键13 （2.00 分）地球与月球的平均距离大约 384000km，用科学计数法表示这个距离为 3.84×105 km【分析】科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中 a 应为 3.84，10 的指数为61=5【解答】解：384 000=3.84×105km故答案为 3.84×105【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中121|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值14 （2.00 分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是 【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等，根据概率公式计算即可【解答】解：圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，圆中的黑色部分和白色部分面积相等，在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是，故答案为：【点评】本题考查的是概率公式、中心对称图形，掌握概率公式是解题的关键15 （2.00 分）如图，在ABCD 中，A=70°，DC=DB，则CDB= 40° 【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，A=C=70°，DC=DB，C=DBC=70°，CDB=180°70°70°=40°，故答案为 40°【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解13题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型16 （2.00 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC=60°，的长是，则O 的半径是 2 【分析】连接 OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；【解答】解：连接 OB、OCBOC=2BAC=120°，的长是，=，r=2，故答案为 2【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型17 （2.00 分）下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，则第 8 个代数式是 15a16 【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案【解答】解：a2，3a4，5a6，7a8，单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数，第 8 个代数式是：（2×81）a2×8=15a16故答案为：15a16【点评】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题关键1418 （2.00 分）如图，在ABC 纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P 是 AC 上一点，过点 P 沿直线剪下一个与ABC 相似的小三角形纸板，如果有 4 种不同的剪法，那么 AP 长的取值范围是 3AP4 【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到 AP 的长的取值范围【解答】解：如图所示，过 P 作 PDAB 交 BC 于 D 或 PEBC 交 AB 于 E，则PCDACB或APEACB，此时 0AP4；如图所示，过 P 作APF=B 交 AB 于 F，则APFABC，此时 0AP4；如图所示，过 P 作CPG=CBA 交 BC 于 G，则CPGCBA，此时，CPGCBA，当点 G 与点 B 重合时，CB2=CP×CA，即 22=CP×4，CP=1，AP=3，此时，3AP4；综上所述，AP 长的取值范围是 3AP4故答案为：3AP415【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19 （6.00 分）计算：|1|（1）0+4sin30°【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式=121+4×=121+2=0【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20 （8.00 分）解方程组和不等式组：（1）（2）【分析】 （1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可【解答】解：（1），+得：x=2，把 x=2 代入得：y=1，所以方程组的解为：；（2），解不等式得：x3；解不等式得：x1，所以不等式组的解集为：x3【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键1621 （8.00 分）如图，把ABC 沿 BC 翻折得DBC（1）连接 AD，则 BC 与 AD 的位置关系是 BCAB （2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 ABDC 是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由【分析】 （1）先由折叠知，AB=BD，ACB=DBC，进而判断出AOBDOB，最后用平角的定义即可得出结论；（2）由折叠得出ABC=DBC，ACB=DCB，再判断出ABC=ACB，进而得出ACB=DBC=ABC=DCB，最后用两边分别平行的四边形是平行四边形【解答】解：（1）如图，连接 AD 交 BC 于 O，由折叠知，AB=BD，ACB=DBC，BO=BO，ABODBO（SAS） ，AOB=DOB，AOB+DOB=180°，AOB=DOB=90°，BCAD，故答案为：BCAD；（2）添加的条件是 AB=AC，理由：由折叠知，ABC=DBC，ACB=DCB，AB=AC，ABC=ACB，ACB=DBC=ABC=DCB，17ACBD，ABCD，四边形 ABDC 是平行四边形【点评】此题主要考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出ABODBO（SAS）是解本题的关键22 （8.00 分）为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是 100 ；（2）补全条形统计图；（3）该市共有 12000 名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数【分析】 （1）根据 2 册的人数除以占的百分比即可得到总人数；（2）求出 1 册的人数是 100×30%=30 人，4 册的人数是 100304020=10 人，再画出即可；（3）先列出算式，再求出即可【解答】解：（1）40÷40%=100（册） ，即本次抽样调查的样本容量是 100，故答案为：100；18（2）如图：；（3）12000×（130%）=8400（人） ，答：估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数是 8400 人【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键23 （8.00 分）将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中（1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率；（2）搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回） ，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求 2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接） 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得【解答】解：（1）搅匀后从中摸出 1 个盒子有 3 种等可能结果，所以摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率为；（2）画树状图如下：19由树状图知共有 6 种等可能结果，其中 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有 4 种结果，所以 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为=【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比24 （8.00 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y=（x0）的图象上，过点 A 作 ACx 轴，垂足是 C，AC=OC一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B（1）求点 A 的坐标；（2）若四边形 ABOC 的面积是 3，求一次函数 y=kx+b 的表达式【分析】 （1）根据反比例函数 k 值的几何意义可求点 A 的坐标；（2）根据梯形的面积公式可求点 B 的坐标，再根据待定系数法可求一次函数 y=kx+b 的表达式【解答】解：（1）点 A 在反比例函数 y=（x0）的图象上，ACx 轴，AC=OC，ACOC=4，AC=OC=2，点 A 的坐标为（2，2） ；（2）四边形 ABOC 的面积是 3，（OB+2）×2÷2=3，解得 OB=1，点 B 的坐标为（0，1） ，依题意有，20解得故一次函数 y=kx+b 的表达式为 y=x+1【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是熟练掌握反比例函数 k 值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式25 （8.00 分）京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的） ，如图，在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得CAB=30°，DBA=60°，求该段运河的河宽（即 CH的长） 【分析】过 D 作 DEAB，可得四边形 CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形 ACH 与直角三角形 BDE 中，设 CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH 与 BE，由 AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：过 D 作 DEAB，可得四边形 CHED 为矩形，HE=CD=40m，设 CH=DE=xm，在 RtBDE 中，DBA=60°，BE=xm，在 RtACH 中，BAC=30°，AH=xm，由 AH+HE+EB=AB=160m，得到x+40+x=160，解得：x=30，即 CH=30m，则该段运河的河宽为 30m21【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键26 （10.00 分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程例如，一元三次方程 x3+x22x=0，可以通过因式分解把它转化为 x（x2+x2）=0，解方程 x=0 和 x2+x2=0，可得方程x3+x22x=0 的解（1）问题：方程 x3+x22x=0 的解是 x1=0，x2= 2 ，x3= 1 ；（2）拓展：用“转化”思想求方程=x 的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m，宽 AB=3m，小华把一根长为 10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C求AP 的长【分析】 （1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，【解答】解：（1）x3+x22x=0，x（x2+x2）=0，22x（x+2） （x1）=0所以 x=0 或 x+2=0 或 x1=0x1=0，x2=2，x3=1；故答案为：2，1；（2）=x，方程的两边平方，得 2x+3=x2即 x22x3=0（x3） （x+1）=0x3=0 或 x+1=0x1=3，x2=1，当 x=1 时，=11，所以1 不是原方程的解所以方程=x 的解是 x=3；（3）因为四边形 ABCD 是矩形，所以A=D=90°，AB=CD=3m设 AP=xm，则 PD=（8x）m因为 BP+CP=10，BP=，CP=+=10=10两边平方，得（8x）2+9=10020+9+x2整理，得 5=4x+9两边平方并整理，得 x28x+16=0即（x4）2=0所以 x=4经检验，x=4 是方程的解答：AP 的长为 4m【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注意到验23根解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键27 （10.00 分） （1）如图 1，已知 EK 垂直平分 BC，垂足为 D，AB 与 EK 相交于点 F，连接CF求证：AFE=CFD（2）如图 2，在 RtGMN 中，M=90°，P 为 MN 的中点用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q，使得GQM=PQN（保留作图痕迹，不要求写作法） ；在的条件下，如果G=60°，那么 Q 是 GN 的中点吗？为什么？【分析】 （1）只要证明 FC=FB 即可解决问题；（2）作点 P 关于 GN 的对称点 P，连接 PM 交 GN 于 Q，连接 PQ，点 Q 即为所求结论：Q 是 GN 的中点想办法证明N=QMN=30°，G=GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG；【解答】 （1）证明：如图 1 中，EK 垂直平分线段 BC，FC=FB，CFD=BFD，BFD=AFE，AFE=CFD（2）作点 P 关于 GN 的对称点 P，连接 PM 交 GN 于 Q，连接 PQ，点 Q 即为所求24结论：Q 是 GN 的中点理由：设 PP交 GN 于 KG=60°，GMN=90°，N=30°，PKKN，PK=KP=PN，PP=PN=PM，P=PMP，NPK=P+PMP=60°，PMP=30°，N=QMN=30°，G=GMQ=60°，QM=QN，QM=QG，QG=QN，Q 是 GN 的中点【点评】本题考查作图复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型28 （10.00 分）如图，二次函数 y=+bx+2 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（4，0） ，P 是抛物线上一点（点 P 与点 A、B、C 不重合） （1）b= ，点 B 的坐标是 （，0） ；（2）设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M，是否存在这样的点 P，使得 PM：MB=1：2？若存在求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC、BC，判断CAB 和CBA 的数量关系，并说明理由25【分析】 （1）由点 A 的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 b 的值，代入 y=0求出 x 值，进而可得出点 B 的坐标；（2）代入 x=0 求出 y 值，进而可得出点 C 的坐标，由点 A、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 AC 的解析式，假设存在，设点 M 的坐标为（m，m+2） ，分 B、P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情况考虑，由点 B、M 的坐标结合 PM：MB=1：2 即可得出点 P 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）作CBA 的角平分线，交 y 轴于点 E，过点 E 作 EFBC 于点 F，设 OE=n，则CE=2n，EF=n，利用面积法可求出 n 值，进而可得出=，结合AOC=90°=BOE可证出AOCBOE，根据相似三角形的性质可得出CAO=EBO，再根据角平分线的性质可得出CBA=2EBO=2CAB，此题得解【解答】解：（1）点 A（4，0）在二次函数 y=+bx+2 的图象上，4b+2=0，b=当 y=0 时，有x2x+2=0，解得：x1=4，x2=，点 B 的坐标为（，0） 故答案为：；（，0） （2）当 x=0 时，y=x2x+2=2，点 C 的坐标为（0，2） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+c（k0） ，将 A（4，0） 、C（0，2）代入 y=kx+c 中，26得：，解得：，直线 AC 的解析式为 y=x+2假设存在，设点 M 的坐标为（m，m+2） 当点 P、B 在直线 AC 的异侧时，点 P 的坐标为（m，m+3） ，点 P 在抛物线 y=x2x+2 上，m+3=×（m）2×（m）+2，整理，得：12m2+20m+9=0=2024×12×9=320，方程无解，即不存在符合题意得点 P；当点 P、B 在直线 AC 的同侧时，点 P 的坐标为（m+，m+1） ，点 P 在抛物线 y=x2x+2 上，m+1=×（m+）2×（m+）+2，整理，得：4m2+44m9=0，解得：m1=，m2=，点 P 的横坐标为2或2+综上所述：存在点 P，使得 PM：MB=1：2，点 P 的横坐标为2或2+（3）CBA=2CAB，理由如下：作CBA 的角平分线，交 y 轴于点 E，过点 E 作 EFBC 于点 F，如图 2 所示点 B（，0） ，点 C（0，2） ，OB=，OC=2，BC=设 OE=n，则 CE=2n，EF=n，由面积法，可知：OBCE=BCEF，即（2n）=n，解得：n=27=，AOC=90°=BOE，AOCBOE，CAO=EBO，CBA=2EBO=2CAB【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形 的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的 关键是：（1）由点 A 的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出 b 的值；（2）分 B、P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情况找出点 P 的坐标；（3）构造相似三角形找出两角的 数量关系