2019年高二数学 暑假综合练习（一）.doc

1高二暑假综合练习（一）高二暑假综合练习（一）一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 复数(12i)2的共轭复数是_2. 若双曲线1(a、b0)的离心率为 2，则 _.x2 a2y2 b2b a 3. 样本数据 11,8,9,10,7 的方差是_ 4. 函数f(x)Asin(x)(A0，0，0,2)的图象如 图所示，则_.5. 已知集合A2,5，在A中可重复的依次取出三个数a、b、c，则 “以a、b、c为边恰好构成三角形”的概率是_6. 设E、F分别是 RtABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB3， AC6，则·_.AEAF7. 设、为两个不重合的平面，m、n为两条不重合的直线，给 出下列四个命题： 若mn，m，n，则n； 若，m，n，nm，则n； 若mn，m，n，则； 若n，m，与相交且不垂直，则n与m不垂 直 其中，所有真命题的序号是_8. 已知 tan ，tan ，且、(0，)，则1 71 3 2_.9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的S_.10. 已知圆x2y2m与圆x2y26x8y110 相交，则实数m的取值范围为 _11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径 40 mm，满盘时直径 120 mm.已知卫生纸的 厚度为 0.1 mm，则满盘时卫生纸的总长度大约是_m( 取 3.14，精确到 1 m)12. 已知数列an满足a12，an1(nN N*)，则数列an的前 100 项的和为5an13 3an7 _13. 已知ABC的三边长a、b、c满足b2c3a，c2a3b，则 的取值范围为b a _14. 在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线yx31 上的一个动点，过点P 作切线与两个坐标轴交于A、B两点，则AOB的面积的最小值为_2二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.在ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(abc)(bca)3bc. (1) 求A； (2) 若BC90°，c4，求b.(结果用根式表示)16.三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABA1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点 (1) 求证：AB1平面A1BD； (2) 若点E为AO的中点，求证：EC平面A1BD.317. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段为了保证安全，交通部门规定，隧 道内的车距d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长l(m)的积，且车距不得小于一个车身 长l(假设所有车身长均为l)而当车速为 60(km/h)时，车距为 1.44 个车身长 (1) 求通过隧道的最低车速； (2) 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？18.如图，椭圆1 的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆、x2 4y2 3 x轴于B、C两点 (1) 若，求实数的值； (2) 设点P为ACF的外接圆上的任意一点，当PAB的面积最大时，求点P的坐标419. 设数列an的前n项和为Sn，已知(nN N*)1 S11 S21 Snn n1 (1) 求S1，S2及Sn；(2) 设bn( )an，若对一切nN N*，均有bk( ，m26m)，求实数m的取1 2nk= 11 m16 3 值范围20. 设函数f(x)lnxlna(x0，a0 且a为常数)kxaax (1) 当k1 时，判断函数f(x)的单调性，并加以证明； (2) 当k0 时，求证：f(x)0 对一切x0 恒成立； (3) 若k0，且k为常数，求证：f(x)的极小值是一个与a无关的常数.5数学试卷数学试卷附加题附加题 21B B选修选修 4 42 2 矩阵与变换矩阵与变换已知矩阵A A，B B2 1 1 21 20 1 (1) 计算ABAB； (2) 若矩阵B B把直线l：xy20 变为直线l'，求直线l'的方程C C选修选修 4 44 4 参数方程与极坐标参数方程与极坐标已知O1和O2的极坐标方程分别是2cos和2asin（a是常数） （1）分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两个圆的圆心距为，求a的值5622如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，AB2，BC1，AA1，6 D是棱CC1的中点 (1) 证明：A1D平面AB1C1； (2) 求二面角BAB1C1的余弦值23某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著 A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能 与一本名著连线每连对一个得3分，连错得1分，一名观众随意连线，他的得分记作 X (1) 求该观众得分非负的概率； (2) 求X的分布列及数学期望ABCA1B1C1D7高二暑假综合练习（一）参考答案高二暑假综合练习（一）参考答案 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 34i 2. 3. 2 4. 5. 6. 10 7. 8. 9. 25 10. 3 45 8 41m121 11. 100 12. 200 13. ( ， ) 14. 3 45 33324 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 15. 解：(1) 由条件，得(bc)2a23bc，即b2c2a2bc，(2 分) cosA .(4 分)b2c2a2 2bc1 2 A是三角形内角， A60°.(6 分) (2) 由Error!得B105°，C15°.(8 分)由正弦定理得，即b.(10 分)b sin105°4 sin15°4sin105° sin15° b4tan75°.(12 分) tan75°tan(45°30°)2，1tan30° 1tan30°3 b84.(14 分)3 16. 证明：(1) 连DA、DB1、DO， ABA1A，D为C1C的中点， 而DB1，DA，DC2 1C1B2 1DC2CA2 DB1DA.(2 分) 又O是正方形A1ABB1对角线的交点， DOAB1.(4 分) 又A1BAB1，A1BDOO， AB1平面A1BD.(7 分) (2) 取A1O的中点F，在A1OA中， E是OA中点， EF AA1.(9 分)1 2又D为C1C的中点， CD AA1.1 2 EFCD，故四边形CDFE是平行四边形 CEDF.(12 分) 又DF平面A1BD，CE平面A1BD， EC平面A1BD.(14 分) 17. 解：(1) 依题意，设dkv2l，其中k是待定系数， 当v60 时，d1.44l， 1.44lk×602l.(2 分) k0.000 4.则d0.000 4v2l.(4 分) dl， 0.000 4v2ll. 则v50. 最低车速为 50 km/h.(7 分) (2) 因为两车间距为d，则两辆车头间的距离为ld(m)，一小时内通过汽车的数量为Q，即Q.(9 分)1 000v l0.000 4v2l1 000 l(f(1,v)0.000 4v) 0.000 4v20.04， Q.(12 分)1 v1 v× 0.000 4v25 000 l当 0.000 4v，即v50 时，Q取得最大值为.1 v25 000 l 当v50 km/h 时，单位时段内通过的汽车数量最多(14 分) 18. 解：(1) 由条件，得F(1,0)，A(0，)，直线AF的斜率k1.338 ABAF， 直线AB的斜率为.33则直线AB的方程为yx.(2 分)333 令y0，得x3. 点C的坐标为(3,0)(3 分)由Error!得 13x224x0.解得x10(舍)，x2.24 13 点B的坐标为(，)(5 分)24 135 313 ， 0，且.AB BC .(7 分)24 13324138 5 (2) ACF是直角三角形， ACF外接圆的圆心为 D(1,0)，半径为 2. 圆D的方程为(x1)2y24.(9 分) AB是定值， 当PAB的面积最大时，点P到直线 AC的距离最大 过D作直线AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交 点(11 分) 直线m的方程为y(x1)(13 分)3 代入圆D的方程，得(x1)23(x1)24.(14 分) x0 或x2(舍) 则点P的坐标为(0，)(16 分)3 19. 解：(1) 依题意，n1 时，S12，n2 时，S26.(2 分) ，1 S11 S21 Snn n1n2 时，1 S11 S21 Sn1n1 n，得， Snn(n1)(4 分)1 Snn n1n1 n 上式对n1 也成立， Snn(n1)(nN N*)(5 分) (2) 由(1)知，Snn(n1)， 当n2 时，anSnSn12n.(7 分) a12， an2n(nN N*)(8 分) bn( )n.1 4 ， 数列bn是等比数列(10 分)bn1 bn1 4则k (1)(12 分)n k1b1 4(1f(1,4n)1141 31 4n (1)随n的增大而增大， k .(13 分)1 31 4n1 4n k1b1 3 依条件，得Error!(14 分)9即Error! m0 或m5.(16 分)20. (1) 解：当k1 时，f(x)lnx·xx lna，1a1 2a1 2 f(x) ·x x (1 分)1 x12a1 2a23 20，(3 分)(r(x)r(a)22axx 函数f(x)在(0，)上是单调减函数(4 分)(2) 证明：当k0 时，f(x)lnxx lna，a1 2f(x) ，1 xa2x x2xa2x x令f(x)0，解得x .(6 分)a 4当 0x 时，f(x)0，f(x)是单调减函数；a 4当x 时，f(x)0，f(x)是单调幸函数a 4 当x 时，f(x)有极小值为f( )22ln2.(8 分)a 4a 4 e2， f(x)的极小值f( )2(1ln2)2ln 0.a 4e 2 f(x)0 恒成立(10 分)(3) 证明： f(x)lnx·xx lna， f(x).ka1 2a1 2kx2axa2axx 令f(x0)0，得kx02a0.(12 分)ax0 .(舍去)x0a1 1kkx0a1 1kk x0.(14 分)a (1r(1k)2 当 0xx0时，f(x)0，f(x)是单调减函数； 当xx0时，f(x)0，f(x)是单调增函数 因此，当xx0时，f(x)有极小值f(x0)(15 分)又f(x0)lnk，而是与a无关的常数，x0 ax0 aa x0x0 a1 (1r(1k)2 ln，k，均与a无关x0 ax0 aa x0 f(x0)是与a无关的常数 则f(x)的极小值是一个与a无关的常数(16 分) 21B解：(1) ABAB ， 3 分2 31 4 (2) 设P(x，y)是直线l'上一点，P(x，y)由直线l上点P'(x'，y')经矩阵B B变换得到， 4 分则 ， 6 分xy 1 20 1 x' y' x'2y' y'所以 解得 8 分xx'2y'，yy'，)x'x2y，y'y) 代入直线l的方程xy2=0，得x2yy20，即x3y20， 故直线l'的方程为x3y20 10 分10C解：（1）两圆原方程可化为22cos和22asin 两圆的直角坐标方程分别是x2y22x0 和x2y22ay0 （2）根据（1）可知道两圆圆心的直角坐标分别是O1(1，0)和O2(0，a) 由题知 1a25，解得a±222证明(1) ACB90°，BCAC 三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，BCCC1 ACCC1C，BC平面ACC1A1 以C为坐标原点， ， ，分别为x轴、 y轴、z轴正方向的方向向量，建立如图所示的 空间直角坐标系 AB2，BC1，AA1，C(0，0，0)，B(1，0，0)，A(0，0，)，63C1(0，0)，B1(1，0)，A1(0，)，D(0，0)6663(1) (0，)，(1，0，0)，(1，)，363 ·0，·0，即AD1B1C1，AD1AB1 B1C1AB1B1，B1C1，AB1平面AB1C1，A1D平面AB1C1(2) 设n n(x，y，z)是平面ABB1的法向量，由得 取z1，则n n(，0，1)是平面ABB1的一个法向量3又(0，)是平面AB1C1的一个法向量，3 且，n n与二面角BAB1C1的大小相等由 cos，n n故二面角BAB1C1的余弦值为23解：(1) X的可能取值为4，0，4，12 P(X12)； 1 24P(X4) ；6 241 4P(X0) ；8 241 3该同学得分非负的概率为P(X12)P(X4)P(X0)15 24(2) P(X4)9 24 X的分布列为: E(X)4×4× 12×09 241 41 24X40412P9 241 31 41 24yzxABCA1B1C1D