完全平方式 (2).ppt

8.8.3.23.2 完全平方公式完全平方公式 完完 全全 平平 方方 公公 式式 一块边长为一块边长为一块边长为一块边长为a a米的正方形实验田，米的正方形实验田，米的正方形实验田，米的正方形实验田，图图图图1 1 6 6a 因需要将因需要将因需要将因需要将其边长增加其边长增加其边长增加其边长增加 b b 米。米。米。米。形成四块形成四块形成四块形成四块实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种(如图如图如图如图1 1 6).6).用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田用不同的形式表示实验田的总面积的总面积的总面积的总面积,并进行比较并进行比较并进行比较并进行比较.abb直接求：总面积直接求：总面积直接求：总面积直接求：总面积=(a+b)；2 2间接求：总面积间接求：总面积间接求：总面积间接求：总面积=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+ab+b2.你发现了什么你发现了什么你发现了什么你发现了什么?探索探索:2公式公式:一、创设情境一、创设情境a2ababb2 完全平方公式完全平方公式(2)(2)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=推证推证推证推证(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(3)(3)a2 2ab+b2.小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式:(ab)2=a+(b)2(ab)2=她是怎么想的她是怎么想的她是怎么想的她是怎么想的?利用两数和的利用两数和的利用两数和的利用两数和的完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式推证公式推证公式推证公式推证公式(a a b b)2 2=a a+(b b)2 2=2 2 +2 2 +2 2 a aa a(b b)(b b)=a a2 22 2a ab b b b2 2.+你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗?的证明的证明 二、合作交流二、合作交流你你还还有有其其它它方方法法吗吗想想一一想想（1 1）请你说出多项式的乘法法则，并用式子表示。请你说出多项式的乘法法则，并用式子表示。请你说出多项式的乘法法则，并用式子表示。请你说出多项式的乘法法则，并用式子表示。初初 识识 完全平方公式完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 .(ab)2=a22ab+b2.a aa ab bb ba2ababb2结构特征结构特征结构特征结构特征:左边是左边是左边是左边是的平方的平方的平方的平方;二项式二项式二项式二项式右边是右边是右边是右边是a2 +b2 a2 +b2 两数和两数和两数和两数和 )(差差差差)(a a+b b)2 2=a a2 2 a ab b b b(a a b b)=a a2 222a ab b+b b2 2.=(a a b b)2 2a a b ba a b ba aa aa ab bb b(a a b b)b bb b(a a b b)2 2a a2 2+2 2a ab b+b b2 2a+bab两数的平方和两数的平方和两数的平方和两数的平方和+加上加上加上加上(减去减去减去减去)2ab2ab这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.(a a b b)2 2=a a2 2 2 2a ab b+b b2 2几几几几何何何何解解解解释释释释:用自己的语用自己的语用自己的语用自己的语言叙述上面言叙述上面言叙述上面言叙述上面的公式的公式的公式的公式语言表述语言表述语言表述语言表述:两数和两数和两数和两数和 的平方的平方的平方的平方 等于等于等于等于这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和 加上加上加上加上 这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.22(ab)2=a22ab+b2(差差差差)(减去减去减去减去)三、总结归纳三、总结归纳(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和两数和 的平方，等于这两数的的平方，等于这两数的平方和平方和，加上加上 这两数的这两数的积的积的2 2倍倍。（或差）（或差）（或减去）（或减去）口决：口决：首首平方平方，尾，尾平方平方，首尾，首尾二倍放二倍放中央。中央。结构特征结构特征：(首首 尾尾)=首首 2首首尾尾+尾尾四、帮助记忆四、帮助记忆完全平方公式完全平方公式代数式代数式代数式代数式首首首首尾尾尾尾中间中间中间中间符号符号符号符号完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式(a+3)(a+3)2 2()()2 2_2()()+()_2()()+()2 2(y-1/2)(y-1/2)2 2()()2 2_2()()+()_2()()+()2 2(-2s+t)(-2s+t)2 2()()2 2_2()()+()_2()()+()2 2(-3x-4y)(-3x-4y)2 2()()2 2_2()()+()_2()()+()2 2-+-结论结论*首尾平方总得正首尾平方总得正；*中间符号看中间符号看首尾首尾，同号同号得得正，正，异号异号得得负负*中间中间两倍两倍 要记牢要记牢a3y-2s t-3x 4ya3a+3yy-2s-2stt+-3x-3x4y4y-五、与我同行五、与我同行 例例例例1 1 利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：(1)(1)(2(2x x 3)3)2 2 ；(2)(2)(4(4x x+5 5y y)2 2;(3)(3)(mnmn a a)2 2 在使用完全平方公式时，在使用完全平方公式时，在使用完全平方公式时，在使用完全平方公式时，注意注意注意注意先把要计算的式子先把要计算的式子先把要计算的式子先把要计算的式子明确个是明确个是明确个是明确个是 a a,哪个是哪个是哪个是哪个是 b.b.第一数第一数第一数第一数2 2x x4 4x x2 22 2x x的平方的平方的平方的平方,()()2 2 减去减去减去减去2 2x x第一数第一数第一数第一数与第二数与第二数与第二数与第二数 2 2x x3 3 乘积乘积乘积乘积的的的的2 2倍倍倍倍,2 2加上加上加上加上+第二数第二数第二数第二数3 3的平方的平方的平方的平方.2 2=1212x x+9 9 ;解：解：(1)(2(2x x 3)3)2 2 做题时要做题时要做题时要做题时要边念边写：边念边写：边念边写：边念边写：=与完全平方公式对照与完全平方公式对照与完全平方公式对照与完全平方公式对照,例例1 1 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算：解解 (2x+y)2=(2x)2=4x2(a+b)2=a2 +2 ab+b2 +22x y +y2 +4xy +y2 使用完全平方公式时使用完全平方公式时使用完全平方公式时使用完全平方公式时，先把要计算的式子先把要计算的式子先把要计算的式子先把要计算的式子与完全平方公式对照与完全平方公式对照与完全平方公式对照与完全平方公式对照，看是否符合公式的特看是否符合公式的特看是否符合公式的特看是否符合公式的特点点点点 ，明确哪个是，明确哪个是，明确哪个是，明确哪个是a a，哪个是，哪个是，哪个是，哪个是b b，再确定是，再确定是，再确定是，再确定是和的平方还是差的平方，然后套用公式。和的平方还是差的平方，然后套用公式。和的平方还是差的平方，然后套用公式。和的平方还是差的平方，然后套用公式。注注意意：(1)(2x+y)2五、与我同行例例1 1 运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算：解：解：(3a-2b)2=9a2(2)(3a-2b)2(a-b)2=a2 -2 ab +b2(3a)2 -23a 2b+(2b)2 -12ab +4b2解题过程分解题过程分3步步：记清公式、代准数式、准确计算。记清公式、代准数式、准确计算。五、与我同行计算：计算：接纠错练习接纠错练习接纠错练习接纠错练习六、你会了吗六、你会了吗1.(3x+7y)2=2.(-2a+3b)2=下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x-y)2=x2-y2(3)(x-y)2=x2+2xy+y2(4)(x+y)2=x2+xy+y2错错错错错错错错(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(x+y)2=x2+2xy+y2七、纠错练习八、错题解读八、错题解读 下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立?说明理由说明理由说明理由说明理由(1)(1)(4a4a+1)1)2 2=(1=(1 4a)4a)2 2；(2)(2)(4a4a 1)1)2 2=(4a=(4a+1)1)2 2；(3)(3)(4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2；(4)(4)(4a(4a 1)(1)(1 1 4a)4a)(4a(4a 1)(4a1)(4a+1).1).(1)(1)由加法交换律由加法交换律由加法交换律由加法交换律 4a4a+l ll l 4a4a。成立成立成立成立理由理由理由理由:(2)(2)4a4a 1 1 (4a+1)(4a+1)，成立成立成立成立(4a4a 1)1)2 2 (4a(4a+1)1)2 2(4a+1)(4a+1)2 2.(3)(3)(1(1 4a)4a)(1 1+4a)4a)不成立不成立不成立不成立即即即即 (1(1 4a)4a)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)1)，(4a(4a 1)(11)(1 4a)4a)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)1)(4a(4a 1)(4a1)(4a 1)1)(4a(4a 1)1)2 2。不成立不成立不成立不成立(4)(4)右边应为右边应为右边应为右边应为:(4a(4a 1)(4a+1)1)(4a+1)。九、接受挑战九、接受挑战解解：？第二小第二小题怎么题怎么做呢？做呢？十、温馨提示十、温馨提示 如果如果如果如果把完全平方公式中的字母把完全平方公式中的字母把完全平方公式中的字母把完全平方公式中的字母“a a”换成换成换成换成“m+nm+n”，公公公公式中的式中的式中的式中的“b b”换成换成换成换成“p p”，那么，那么，那么，那么 (a a+b b)2 2 变成怎样的式子变成怎样的式子变成怎样的式子变成怎样的式子?(a a+b b)2 2变成变成变成变成(m+n+pm+n+p)2 2。怎样计算怎样计算怎样计算怎样计算(m+n+pm+n+p)2呢呢呢呢?(m+n+pm+n+p)2=(m+nm+n)+)+p p 2逐步计算得到：逐步计算得到：逐步计算得到：逐步计算得到：=(m+nm+n)2+2(+2(m+nm+n)p p+p p2=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np 把所得结果作为推广了的完全把所得结果作为推广了的完全把所得结果作为推广了的完全把所得结果作为推广了的完全平方公式，试用语言叙述这一公式：平方公式，试用语言叙述这一公式：平方公式，试用语言叙述这一公式：平方公式，试用语言叙述这一公式：三个数和的完全平方等于三个数和的完全平方等于三个数和的完全平方等于三个数和的完全平方等于这三个数的平方和，这三个数的平方和，这三个数的平方和，这三个数的平方和，再加上每两数乘积的再加上每两数乘积的再加上每两数乘积的再加上每两数乘积的2 2倍。倍。倍。倍。仿照上述结果，你能说出仿照上述结果，你能说出仿照上述结果，你能说出仿照上述结果，你能说出(a(a b+c)b+c)2 2所得的结果吗所得的结果吗所得的结果吗所得的结果吗?=a a2+b2+c2-2ab+2bc-2bc你你 难难 不不 倒倒 我我每位同学出一道要求运用每位同学出一道要求运用完全平方公式来解的计算完全平方公式来解的计算题。然后同位交换互测。题。然后同位交换互测。1.已知已知;a+b=5,ab=-5,求求a2+b2的值的值2.已知：已知：a2+b2=2,a+b=4,求求ab的值的值能力提升能力提升本节课你的收获是什么？本节课你的收获是什么？1 1、完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式（1 1 1 1）公式的左边是二次三项式的完全平方，）公式的左边是二次三项式的完全平方，）公式的左边是二次三项式的完全平方，）公式的左边是二次三项式的完全平方，（2 2 2 2）公式的右边是两数和）公式的右边是两数和）公式的右边是两数和）公式的右边是两数和或差或差或差或差的平方和，加上或的平方和，加上或的平方和，加上或的平方和，加上或减去减去减去减去这这这这(a b)2a2 2ab+b2的特征的特征 （4 4）公示的逆向使用）公示的逆向使用）公示的逆向使用）公示的逆向使用 a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2 a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=(a-b)=(a-b)2 2（3 3）在解题过程中要准确确定）在解题过程中要准确确定）在解题过程中要准确确定）在解题过程中要准确确定a a和和和和b b、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边、对照公式原形的两边,做做做做到不丢项、不弄错符号。到不丢项、不弄错符号。到不丢项、不弄错符号。到不丢项、不弄错符号。口诀口诀：首首平方平方，尾，尾平方平方，首尾，首尾二倍放二倍放中央中央 两数两数两数两数积的二倍积的二倍积的二倍积的二倍.1、课本、课本p67页页1、2、32、如果多项式、如果多项式X2+kx+25是完全平式，求是完全平式，求k的值。的值。