椭圆的几何性质及综合问题汇总.pdf

精选 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a,b,c 的关系”；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：caPFca1.5.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围；(2)由性质写椭圆的标准方程；(3)求离心率的值或范围 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点)2,0(),0,3(QP；（2）长轴长等于 20，离心率等于53.【典例 2】求椭圆400251622yx的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例 3】已知 A，P，Q 为椭圆 C：)0(12222babyax上三点，若直线 PQ 过原点，且直线 AP，AQ 的斜率之积为21，则椭圆 C 的离心率为（）A.22 B.21 C.42 D.41【练习】(1)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个焦点是圆 x2y26x80 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为()A(3，0)B(4，0)C(10，0)D(5，0)（2）椭圆x29y24k1 的离心率为45，则 k 的值为()A21 B21 C1925或 21 D1925或 21(3)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点为 F1，F2，过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_【典例 4】已知 F1，F2为椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且215PFPF，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆1162522yx的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分与 P1,P2,P7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PFPFPF=精选【典例 5】若“过椭圆x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点 F1，F2的两条互相垂直的直线 l1，l2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围 【典例 6】已知椭圆 C：x29y241，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|_ 【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数 a,b,c 之间的关系，以减少运算量 3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化 4.求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a，b，c 的等式(或不等式)，利用 a2b2c2消去 b，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围 5.在探寻 a,b,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例 5.【本节练习】1已知椭圆的长轴长是 8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是()Ax216y271 Bx216y271 或x27y2161 Cx216y2251 Dx216y2251 或x225y2161 2.设 e 是椭圆x24y2k1 的离心率，且 e(12，1)，则实数 k 的取值范围是()A(0，3)B(3，163)C(0，3)(163，)D(0，2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B1，B2，焦点为 F1，F2，若四边形 B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率 e 等于()A22 B12 C32 D33 4.如图，焦点在 x 轴上的椭圆x24y2b21 的离心率 e12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PFPA的最大值为_ 精选 5.已知椭圆 C：)0(12222babyax的左、右焦点为21,FF，离心率为33，过 F2的直线 l 交 C 于 A,B 两点，若AF1B 的周长为34，则 C 的方程为（）A.12322yx B.1322 yx C.181222yx D.141222yx 6.已知 F1、F2是椭圆x2100y2641 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 PF1PF2，则F1PF2的面积为_ 7.设21,FF是椭圆 E：)0(12222babyax的左、右焦点，P 为直线23ax 上一点，12PFF是底角为 300的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A.21 B.32 C.43 D.54 8.过椭圆)0(12222babyax的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2为右焦点，若02160PFF，则椭圆的离心率为（）A.25 B.33 C.21 D.31 9.已知椭圆)0(12222babyax的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，若BABF，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 10.已知1F为椭圆的左焦点，A，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当AFPF11，POAB（O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为 11已知方程x22ky22k11 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是()A(12，2)B(1，)C(1，2)D(12，1)精选 12矩形 ABCD 中，|AB|4，|BC|3，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的短轴的长为()A2 3 B2 6 C4 2 D4 3 13一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()Ax28y261 Bx216y261 Cx28y241 Dx216y241 14.如图，已知抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F，且这两条曲线交点的连线过点 F，则该椭圆的离心率为_ 15.已知抛物线42xy 与椭圆)0(118222ayax在第一象限相交于 A 点，F 为抛物线的焦点，ABy 轴于 B 点，当BAF=300时，a=16.设 F1，F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最大值为_ 17椭圆x236y291 上有两个动点 P、Q，E(3，0)，EPEQ，则EPQP的最小值为()A6 B3 3 C9 D126 3 18椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3，则这个椭圆方程为_ 19若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是_ 20.已知圆锥曲线 mx24y24m 的离心率 e 为方程 2x25x20 的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为()A4 B3 C2 D1 14.椭 圆01:2222babyax的 左 右 焦 点 分 别 为21,FF,焦 距 为c2，若 直 线cxy3与椭圆的一个交点满足12212FMFFMF,则该椭圆的离心率等于_ 设 F1(c,0),F2(c,0)是椭圆12222byax(ab0)的两个焦点，P 是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2=5PF2F1，则该椭圆的离心率为 精选 （A）316 （B）23 （C）22 （D）32 若椭圆22221xyab的焦点在x轴上，过点（1，12）作圆22+=1xy的切线，切点分别为 A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 21.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F1，左焦点为 F2，若椭圆上存在一点 P，满足线段 PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段 PF1的中点，则该椭圆的离心率为()A53 B23 C22 D59 22.已知,A P Q为椭圆:C22221(0)xyabab上三点，若直线PQ过原点，且直线,AP AQ的斜率之积为12，则椭圆C的离心率等于()A22 B12 C24 D14 题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例 1】当 m 为何值时，直线mxyl:与椭圆14416922yx相切、相交、相离？【典例 2】已知椭圆192522yx，直线04054:yxl，椭圆上是否存在一点，它到直线 l 的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012 福建）如图，椭圆 E：)0(12222babyax的左右焦点分别为 F1、F2，离心率21e，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，且ABF2 的周长为 8.（1）求椭圆 E 的方程；（2）设动直线 l：mkxy与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 交于 Q，试探究：在坐标平面内，是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M，若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由.精选【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤：联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程；当0 时，直线与椭圆相交；当0 时，直线与椭圆相切；当0 时，直线与椭圆相离 注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题 该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例 1】已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆1422 yx的右焦点，交椭圆于 A,B 两点，求弦AB 的长及1ABF的周长、面积.【典例 2】已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：y12xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以F1F2为直径的圆交于 C，D 两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l 的方程 【典例 3】已知一直线与椭圆369422yx相交于 A,B 两点，弦 AB 的中点坐标为 M(1,1)，求直线 AB 的方程.变式：过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于,A B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 【典例 4】（2015 新课标文）已知椭圆2222:10 xyCabab 的 离心率为22,点2,2在 C 上.（I）求 C 的方程；精选（II）直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点为M，证明：直线 OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例 5】已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2 33，O为坐标原点.（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.【典例 6】已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：mkxy与椭圆C 相交于 A，B 两点（A，B 均不在左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：若已知直线过 y 轴上的定点 P(0,b)，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即 y=kx+b，但要讨论斜率是否存在；若已知直线过 x 轴上的定点 P(a,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即 x=my+a，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的 k 用m1替换.（3）直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2（11k2）（y1y2）24y1y2(k 为直线斜率)【本节练习】1.(2014高考安徽卷)设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y2b21(0bb0)的离心率为63，右焦点为(2 2，0)斜率为 1 的直线 l与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3，2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)求PAB 的面积 5.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为12(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 经过点 M(0，1)，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，若AM2MB，求直线 l 的方程 5.已知椭圆)0(12222babyax的离心率为23，右焦点到直线06 yx的距离为32.(1)求椭圆的方程；（2）过点)1,0(M作直线 l 交椭圆于A，B 两点，交 x 轴于 N 点，满足NBNA57，求直线 l 的方程.6.已知椭圆)0(12222babyax的离心率为23，且长轴长为 12，过点 P(4,2)的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点.(1)求椭圆方程；（2）当直线 l 的斜率为21时，求AB的值；(3)当点 P 恰好为线段 AB 的中点时，求直线l 的方程.精选 7.平面直角坐标系 xoy 中,过椭圆 M：)0(12222babyax的右焦点 F 作直线03 yx交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为21.()求 M 的方程;()C,D为M上的两点,若四边形ACBD 的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.8.设12,F F分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为 1 的直线 l 与E相交于,A B两点，且22,AFABBF成等差数列.（1）求E的离心率；（2）设点(0,1)p满足PAPB，求E的方程.9.设 F1，F2分别是椭圆 C：12222byax（ab0）的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直，直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.（I）若直线 MN 的斜率为43，求 C 的离心率；（II）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|，求 a，b.10 如图，点 F1(c，0)，F2(c，0)分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P，过点 F2作直线 PF2的垂线交直线 xa2c于点 Q(1)如果点 Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆 C 的方程；(2)证明：直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点 精选 11.已知椭圆 C：x22y24(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，（文）求线段 AB 长度的最小值（理）试判断直线 AB 与圆222 yx的位置关系.圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”.一、最值问题【规律方法】：（1）最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2）两种常见方法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法.（3）圆锥曲线的综合问题要四重视：重视定义在解题中的作用；重视平面几何知识在解题中的作用；重视根与系数的关系在解题中的作用；重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中 2014江西文科考题，范围中的题 6、7.1.已知椭圆 C：1222 yax（a0）的焦点在 x 轴上，右顶点与上顶点分别为 A、B.顶点在原点，分别以 A、B 为焦点的抛物线 C1、C2交于点 P（不同于 O 点），且以 BP 为直径的圆经过点 A.（）求椭圆 C 的标准方程；（）若与 OP 垂直的动直线 l 交椭圆 C 于 M、N 不同两点，求OMN 面积的最大值和此时直线 l 的方程.2.已知椭圆 C：)0(12222babyax的上顶点为（0，1），且离心率为23.（）求椭圆 C 的方程；（）证 明：过 椭 圆)0(12222nmnymx上 一 点),(00yxQ的 切 线 方 程 为12020nyymxx；（）从圆1622 yx上一点 P 向椭圆 C 引两条切线，切点分别为 A、B，当直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点时，求MN的最小值.精选 3.已知动点 P 到定点 F（1，0）和到定直线 x=2 的距离之比为22，设动点 P 的轨迹为曲线E，过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A，B 两点，直线 l：nmxy与曲线 E交于 C、D 两点，与线段 AB 相交于一点（与 A、B 不重合）.（）求曲线 E 的方程；（）当直线 l 与圆122 yx相切时，四边形 ACBD 的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由.4.已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为2 33，O为坐标原点.（）求E的方程；（）设过点A的动直线l与E相交于,P Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.5.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆)0(1:2222babyaxC的离心率为23，且点)21,3(在椭圆C上，（）求椭圆C的方程；（）设椭圆144:2222byaxE，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线mkxy交椭圆E 于BA,两点，射线PO交椭圆 E 于点Q.（）求OPOQ的值；（）求ABQ面积的最大值。二、定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率、某些代数表达式的值等）的大小与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直精选 线方程、数量积、比例关系等不受变化的量所影响的一个值即为定值.求定值的基本方法：1.直接推理计算，通过消参得到定值：直接推理计算，通过消参得到定值的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量（如 2015 高考文科）2.从特殊入手，求出定值，再证明，即从特殊到一般法：从动点或动直线的特殊位置入手，计算出定值或定点，然后验证一般情形，即证明这个值与变量无关.【注】：无论哪种方法，其求解过程仍始终贯穿一条主线.1.已知椭圆 C：22221(0)xyabab的离心率为22，点(2,2)在 C 上.（1）求 C 的方程；（2）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.2.已知椭圆 C：)0(9222mmyx，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.（）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（）若 l 过点mm,3，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，请说明理由.3.已知动直线l与椭圆C：22132xy交于1122,P x yQ xy两不同点，且OPQ的面积62OPQS，其中O为坐标原点（）证明：2212xx和2212yy均为定值；（）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；（）椭圆C上是否存在三点,D E G，使得62ODEODGOEGSSS？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由（安排此题的目的有两个：一是在处理(1)时，所建立的等式62OPQS中含有两个变量，精选 且这两个变量间再无直接关系，此时可通过观察等式的结构，通过换元，再借助此等式，探索原来两个变量间的关系，以达到消元的目的；二是在处理（2）时，可通过观察2OM和2PQ的结构，通过变形，使之满足均值不等式求最值的三个条件）4.如题（20）图，椭圆的中心为原点O，离心率e，一条准线的方程为x （）求该椭圆的标准方程；（）设动点P满足：ONOMOP2，其中,M N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在两个定点,F F，使得PFPF为定值？若存在，求,F F的坐标；若不存在，说明理由 4.已知椭圆 E：)0(12222babyax其焦点为 F1，F2，离心率为22，直线 l：x+2y-2=0与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B.（1）若点 A 是椭圆 E 的一个顶点，求椭圆的方程；（2）若线段 AB 上存在点 P 满足aPFPF221，求 a 的取值范围.5.已知椭圆：)0(12222babyax的长轴长为 4，且过点)21,3(.（1）求椭圆的方程；（2）设 A，B，M 是椭圆上的三点.若OBOAOM5453，点 N 为线段 AB 的中点，)0,26(C，)0,26(D，求证：22 NDNC.精选 （2014 江西文）如图，已知抛物线2:4C xy，过点(0,2)M任作一直线与C相交于,A B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴）与直线2y 相交于点1N，与（1）中的定直线相交于点2N，证明：2221|MNMN为定值，并求此定值.三、定点问题（同定值问题）1.已知椭圆 C 的中心在为坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3，最小值为 1.（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l：mkxy与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 均不在左、右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标.2.（2013 陕西）已知动圆过定点 A(4,0),且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.()求动圆圆心的轨迹 C 的方程;()已知点 B(1,0),设不垂直于 x 轴的直线l与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.精选 2.（2014 课标 1）在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y 与直线:(0)l ykxa a交与,M N两点，（）当0k 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y轴上是否存在点 P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.3.设动直线 l 与抛物线 E：yx42相切于点 P，与直线1y相交于点 Q，证明：以 PQ为直径的圆恒过 y 轴上某定点.4.已知结论：若点 P(x0,y0)为椭圆12222byax上一点，则直线 l:12020byyaxx与椭圆相切，现过椭圆 C:14922yx上一点 P 作椭圆的切线交直线559x于点 A，试判断以线段 AP 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.5.已知椭圆12222byax的两个焦点为)0,(),0,(21cFcF，其中 a,b,c 都是正数，长轴长为 4，原点到过点 A(0,-b)和 B(a,0)两点的直线的距离为7212.(1)求椭圆的方程；(2)若点 M,N 是定直线 x=4 上的两个动点，021NFMF，证明：以 MN 为直径的圆过定点，并求定点坐标.5.(2015 广东汕头二模)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C：)0(12222babyax的离心率为22，左顶点 A 与上顶点 B 的距离为6.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过原点 O 的动直线（与坐标轴不重合）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA、QA 分别精选 与 y 轴交于 M、N 两点，问：以 MN 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.6.如图，椭圆 E:22221(0)xyabab的离心率是22，过点 P(0，1)的动直线l与椭圆交于 A、B 两点当直线l平行于 x 轴时，直线l被椭圆 E 截的线段长为2 2（）求椭圆 E 的方程（）在平面直角坐标系中是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得QAPAQBPB恒成立，若存在，求出 Q 点的坐标，若不存在，说明理由.7.已知椭圆 C:)1(12222babyax的离心率22e，右焦点到直线022byax的距离为32.（）求椭圆 C 的方程；（）已知直线0myx与椭圆 C 交于不同的两点 M、N，且线段 MN 的中点不在圆122 yx内，求实数 m 的取值范围；（）过点)31,0(P的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，是否存在点 Q，使得以 AB 为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知圆2221)1(:ryxF与圆2222)4()1(:ryxF(0r0)的直线交 E 于 A,M 两点，点 N 在 E 上，MANA.（I）当 t=4，ANAM 时，求AMN 的面积；（II）当ANAM 2时，求 k 的取值范围.1.若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A3,3 B(3,3)C33,33 D33(,)33 2.已知 P 为抛物线221xy 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是)217,6(，则PMPA 的最小值是（）A.8 B.219 C.10 D.221 3.椭圆 C：22221xyab（ab0）的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 32，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l.（）求椭圆 C 的方程；（）点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1、PF2,设F1PF2的角平分线 精选 PM 交 C 的长轴于点 M（m，0），求 m 的取值范围；（）在（）的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF1,PF2的斜率分别为 k1，k2，若 k0，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值.3.已知椭圆2212xy上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+12对称（1）求实数 m 的取值范围；（2）求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）4.已知椭圆1222 yx的左焦点为 F，O 为坐标原点.设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.5.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在x轴上，短轴长为 2，离心率为22.(I)求椭圆 C 的方程；(II)A,B 为椭圆 C 上满足AOB的面积为64的任意两点，E 为线段 AB 的中点，射线OE 交椭圆 C 与点 P，设OPtOEuuu ruuu r，求实数t的值.6.已知椭圆 E：)0(12222babyax 的离心率为22，过其右焦点 F2作与 x 轴垂直的直线 l 与该椭圆交于 A、B 两点，与抛物线xy42交于 C、D 两点，且CDAB22.（1）求椭圆 E 的方程；（2）若过点 M(2,0)的直线与椭圆 E 相交于 G、H 两点，设 P 为椭圆 E 上一点，且满足精选 为坐标原点）OtOPtOHOG,0(，当3118OHOG时，求实数 t 的取值范围.7.如图、椭圆22221xyab（ab0）的一个焦点是 F（1，0），O 为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，恒有222ABOBOA,求 a 的取值范围.8.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆)0(12222babyax的离心率为22，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 的斜率为 0 时，23 CDAB.（1）求椭圆的方程；（2）求由 A，B，C，D 四点构成的四边形的面积的取值范围.9.已知椭圆)0(1:22221babxayC与抛物线)0(2:22ppyxC有一个公共焦点，抛物线 C2的准线 l 与椭圆 C1有一坐标是)2,2(的交点.（1）求椭圆 C1与抛物线 C2的方程；（2）若点 P 是直线 l 上的动点，过点 P 作抛物线的两条切线，切点分别为 A，B，直线 AB与椭圆 C1分别交于点 E，F，求OFOE 的取值范围.五、存在性问题 1.已知椭圆)0(12222babyax，直线cax2（c 是椭圆的焦距长的一半）交 x 轴于点A，椭圆的上顶点为 B，过椭圆的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 P（P 在第一象限），交 AB 于点 D，且满足OPOFOD2（O 为坐标原点）.（1）求椭圆的离心率；精选（2）若椭圆的半焦距为 3，过点 A 的直线交椭圆于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在定点 C使得CNCM 为常数？若存在，求出点 C 的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由.2.已知椭圆 C：)0(12222babyax的离心率为21，右顶点为 A，上顶点为 B，以坐标原点 O 为圆心、椭圆 C 的短轴长为直径作圆 O，截直线 AB 的弦长为)(77622ba.（）求椭圆 C 的标准方程；（）是否存在过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l，与椭圆 C 相交于 G，H 两点，使得AFG 与AFH 的面积比为 1:2？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.六、动点轨迹方程问题 1.已知椭圆 C：)0(12222babyax的一个焦点为)0,5(，离心率为35.（）求椭圆 C 的标准方程；（）若动点),(00yxP为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程.2.已知圆 M：1)1(22yx，圆 N：9)1(22yx，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.（）求 C 的方程；（）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求AB.3.如图，抛物线 C1：yx42，C2：)0(22ppyx.点),(00yxM在抛物线 C2上，过M 作 C1的切线，切点为 A，B（M 为原点 O 时，A，B 重合于 O）.当210 x时，切线MA 的斜率为21.（）求 p 的值；（）当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O）.精选 4.如图，设 P 是圆2522 yx上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且PDMD54.（）当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；（）求过点(3,0)且斜率为54的直线被 C 所截线段的长度.