2013年江苏省高考数学试卷.doc

第 1 页（共 30 页）2013 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答分请把答案填写在答题卡相印位置上题卡相印位置上1 （5 分）函数 y=3sin（2x+）的最小正周期为 2 （5 分）设 z=（2i）2（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 3 （5 分）双曲线的两条渐近线方程为 4 （5 分）集合1，0，1共有 个子集5 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值为 6 （5 分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环） ，结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 7 （5 分）现在某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n（m7，n9）可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为 8 （5 分）如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1的中第 2 页（共 30 页）点，设三棱锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1：V2= 9 （5 分）抛物线 y=x2在 x=1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D（包含三角形内部和边界） 若点 P（x，y）是区域 D 内的任意一点，则 x+2y 的取值范围是 10 （5 分）设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD=AB，BE=BC，若=1+2（1，2为实数） ，则 1+2的值为 11 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f（x）=x24x，则不等式 f（x）x 的解集用区间表示为 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为（ab0） ，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2=，则椭圆 C 的离心率为 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数y=（x0）图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 2，则满足条件的实数 a 的所有值为 14 （5 分）在正项等比数列an中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数 n 的值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答分请在答题卡指定区域内作答，解答第 3 页（共 30 页）时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知 =（cos，sin） ， =（cos，sin） ，0（1）若| |=，求证： ；（2）设 =（0，1） ，若 + = ，求 ， 的值16 （14 分）如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面SBC，ABBC，AS=AB，过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC的中点求证：（1）平面 EFG平面 ABC；（2）BCSA17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，3） ，直线 l：y=2x4，设圆 C的半径为 1，圆心在 l 上（1）若圆心 C 也在直线 y=x3 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线方程；（2）若圆 C 上存在点 M，使|MA|=2|MO|，求圆心 C 的横坐标的取值范围18 （16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50m/min在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1min 后，再从B 匀速步行到 C假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min，山路 AC 长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制第 4 页（共 30 页）在什么范围内？19 （16 分）设an是首项为 a，公差为 d 的等差数列（d0） ，Sn是其前 n 项和记 bn=，nN*，其中 c 为实数（1）若 c=0，且 b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，nN*） ；（2）若bn是等差数列，证明：c=020 （16 分）设函数 f（x）=lnxax，g（x）=exax，其中 a 为实数（1）若 f（x）在（1，+）上是单调减函数，且 g（x）在（1，+）上有最小值，求 a 的取值范围；（2）若 g（x）在（1，+）上是单调增函数，试求 f（x）的零点个数，并证明你的结论 选做题选做题 本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 选修选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）21 （10 分）如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C，AC 经过圆心 O，且BC=2OC求证：AC=2ADB 选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）22 （10 分）已知矩阵 A=，B=，求矩阵 A1B第 5 页（共 30 页）C 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）23在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（ 为参数） ，曲线C 的参数方程为（t 为参数） 试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标D 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）24已知 ab0，求证：2a3b32ab2a2b第第 25 题、第题、第 26 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25 （10 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，点D 是 BC 的中点（1）求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；（2）求平面 ADC1与 ABA1所成二面角的正弦值26 （10 分）设数列an：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，即当n（kN*）时，记 Sn=a1+a2+an（nN） 对于 lN，定义集合 Pl=n|Sn为 an的整数倍，nN，且 1nl（1）求 P11中元素个数；第 6 页（共 30 页）（2）求集合 P2000中元素个数第 7 页（共 30 页）2013 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答分请把答案填写在答题卡相印位置上题卡相印位置上1 （5 分）函数 y=3sin（2x+）的最小正周期为 【分析】将题中的函数表达式与函数 y=Asin（x+）进行对照，可得 =2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期【解答】解：函数表达式为 y=3sin（2x+） ，=2，可得最小正周期 T=|=|=故答案为：【点评】本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin（x+）的周期公式的知识，属于基础题2 （5 分）设 z=（2i）2（i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 5 【分析】把给出的复数展开化为 a+bi（a，bR）的形式，然后直接利用模的公式计算【解答】解：z=（2i）2=44i+i2=34i所以，|z|=5故答案为 5【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题3 （5 分）双曲线的两条渐近线方程为 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程第 8 页（共 30 页）【解答】解：双曲线的 a=4，b=3，焦点在 x 轴上而双曲线的渐近线方程为 y=±x双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想4 （5 分）集合1，0，1共有 8 个子集【分析】集合 P=1，2，3的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集【解答】解：因为集合1，0，1，所以集合1，0，1的子集有：1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，共 8 个故答案为：8【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合 M 的子集问题一般来说，若M 中有 n 个元素，则集合 M 的子集共有 2n个5 （5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值为 5 第 9 页（共 30 页）【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算 a 值，并输出满足 a16 的最大 n 值，模拟程序的运行过程可得答案【解答】解：当 n=1，a=1 时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出 n 值为 5故答案为：5【点评】本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行6 （5 分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环） ，结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 2 【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；第 10 页（共 30 页），方差=4=2所以乙运动员的成绩较稳定，方差为 2故答案为 2【点评】本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的知识点，是基础题7 （5 分）现在某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n（m7，n9）可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为 【分析】求出 m 取小于等于 7 的正整数，n 取小于等于 9 的正整数，m 取到奇数，n 取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解【解答】解：m 取小于等于 7 的正整数，n 取小于等于 9 的正整数，共有7×9=63 种取法m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5种情况，则 m，n 都取到奇数的方法种数为 4×5=20 种所以 m，n 都取到奇数的概率为故答案为【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题8 （5 分）如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1的中点，设三棱锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1：V2= 1：24 第 11 页（共 30 页）【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的 2 倍，然后直接由体积公式可得比值【解答】解：因为 D，E，分别是 AB，AC 的中点，所以 SADE：SABC=1：4，又 F 是 AA1的中点，所以 A1到底面的距离 H 为 F 到底面距离 h 的 2 倍即三棱柱 A1B1C1ABC 的高是三棱锥 FADE 高的 2 倍所以 V1：V2=1：24故答案为 1：24【点评】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题9 （5 分）抛物线 y=x2在 x=1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D（包含三角形内部和边界） 若点 P（x，y）是区域 D 内的任意一点，则 x+2y 的取值范围是 2， 【分析】利用导数求出抛物线在 x=1 处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则 x+2y 的取值范围可求【解答】解：由 y=x2得，y=2x，所以 y|x=1=2，则抛物线 y=x2在 x=1 处的切线方程为 y=2x1令 z=x+2y，则画出可行域如图，所以当直线过点（0，1）时，zmin=2过点（）时，第 12 页（共 30 页）故答案为【点评】本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础题10 （5 分）设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD=AB，BE=BC，若=1+2（1，2为实数） ，则 1+2的值为 【分析】由题意和向量的运算可得=，结合=1+2，可得1，2的值，求和即可【解答】解：由题意结合向量的运算可得=，又由题意可知若=1+2，故可得 1=，2=，所以 1+2=故答案为：【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题第 13 页（共 30 页）11 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f（x）=x24x，则不等式 f（x）x 的解集用区间表示为 （5，0）（5，） 【分析】作出 x 大于 0 时，f（x）的图象，根据 f（x）为定义在 R 上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出 x 小于 0 的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在 y=x 上方，利用图形即可求出解集【解答】解：作出 f（x）=x24x（x0）的图象，如图所示，f（x）是定义在 R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称作出 x0 的图象，不等式 f（x）x 表示函数 y=f（x）图象在 y=x 上方，f（x）图象与 y=x 图象交于 P（5，5） ，Q（5，5） ，则由图象可得不等式 f（x）x 的解集为（5，0）（5，+） 故答案为：（5，0）（5，+）【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为（ab0） ，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B，设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2=，则椭圆 C 的离心率为 【分析】根据“d2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，第 14 页（共 30 页）再由等面积法可得 d1=，从而得到 a 与 b 的关系，可求得，从而求出离心率【解答】解：如图，准线 l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若 d2=，则，整理得a2ab=0，两边同除以 a2，得+（）=0，解得e=故答案为：【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A（a，a） ，P 是函数y=（x0）图象上一动点，若点 P，A 之间的最短距离为 2，则满足条件的实数 a 的所有值为 1 或 【分析】设点 P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出 a 的值【解答】解：设点 P，则|PA|=，第 15 页（共 30 页）令，x0，t2，令 g（t）=t22at+2a22=（ta）2+a22，当 a2 时，t=2 时 g（t）取得最小值 g（2）=24a+2a2=，解得 a=1；当 a2 时，g（t）在区间2，a）上单调递减，在（a，+）单调递增，t=a，g（t）取得最小值 g（a）=a22，a22=，解得 a=综上可知：a=1 或故答案为1 或【点评】本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力14 （5 分）在正项等比数列an中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数 n 的值为 12 【分析】设正项等比数列an首项为 a1，公比为 q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和 a1+a2+an及 a1a2an的表达式，化简可得关于 n 的不等式，解之可得 n 的范围，取上限的整数部分即可得答案【解答】解：设正项等比数列an首项为 a1，公比为 q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为 an=2n6记 Tn=a1+a2+an=，Sn=a1a2an=25×24×2n6=254+n6=第 16 页（共 30 页）由题意可得 TnSn，即，化简得：2n1，即 2n1，因此只须 n，即 n213n+100解得 n，由于 n 为正整数，因此 n 最大为的整数部分，也就是 12故答案为：12【点评】本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知 =（cos，sin） ， =（cos，sin） ，0（1）若| |=，求证： ；（2）设 =（0，1） ，若 + = ，求 ， 的值【分析】 （1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到 coscos+sinsin=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出 + ，由 + =（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得 ， 的值【解答】解：（1）由 =（cos，sin） ， =（cos，sin） ，则=（coscos，sinsin） ，由=22（coscos+sinsin）=2，得 coscos+sinsin=0所以即；（2）由得，2+2得：因为 0，所以 0第 17 页（共 30 页）所以，代入得：因为所以所以，【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题16 （14 分）如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面SBC，ABBC，AS=AB，过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC的中点求证：（1）平面 EFG平面 ABC；（2）BCSA【分析】 （1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出 F 为 SB 的中点从而得到SAB 和SAC 中，EFAB 且 EGAC，利用线面平行的判定定理，证出 EF平面 ABC 且 EG平面 ABC因为 EF、EG 是平面 EFG 内的相交直线，所以平面EFG平面 ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出 AF平面 SBC，从而得到 AFBC结合AF、AB 是平面 SAB 内的相交直线且 ABBC，可得 BC平面 SAB，从而证出BCSA【解答】解：（1）ASB 中，SA=AB 且 AFSB，F 为 SB 的中点E、G 分别为 SA、SC 的中点，第 18 页（共 30 页）EF、EG 分别是SAB、SAC 的中位线，可得 EFAB 且 EGACEF平面 ABC，AB平面 ABC，EF平面 ABC，同理可得 EG平面 ABC又EF、EG 是平面 EFG 内的相交直线，平面 EFG平面 ABC；（2）平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBC=SB，AF平面 ASB，AFSBAF平面 SBC又BC平面 SBC，AFBCABBC，AFAB=A，BC平面 SAB又SA平面 SAB，BCSA【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，3） ，直线 l：y=2x4，设圆 C的半径为 1，圆心在 l 上（1）若圆心 C 也在直线 y=x3 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线方程；（2）若圆 C 上存在点 M，使|MA|=2|MO|，求圆心 C 的横坐标的取值范围【分析】 （1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点 C，M 的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步第 19 页（共 30 页）将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论【解答】解：（1）由题设，圆心 C 在 y=x3 上，也在直线 y=2x4 上，2a4=a3，a=1，C（1，2） C：（x1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过 A 点切线方程可设为 y=kx+3，即 kxy+3=0，则=1，解得：k=，（4 分）又当斜率不存在时，也与圆相切，所求切线为 x=0 或 y=x+3，即 x=0 或 12x+5y15=0；（2）设点 M（x，y） ，由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，点 M 的轨迹为以（0，1）为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D，又点 M 在圆 C 上，圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切，1|CD|3，其中|CD|=，13，解得：0a【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题18 （16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50m/min在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1min 后，再从B 匀速步行到 C假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min，山路 AC 长为1260m，经测量，cosA=，cosC=第 20 页（共 30 页）（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【分析】 （1）根据正弦定理即可确定出 AB 的长；（2）设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离 A 处 130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为 v m/min，从而求出 v 的取值范围【解答】解：（1）在ABC 中，因为 cosA=，cosC=，所以 sinA=，sinC=，从而 sinB=sin（A+C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理，得 AB=1040m所以索道 AB 的长为 1040m（2）假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）22×130t×（100+50t）×=200（37t270t+50）=20037（t）2+，因 0t，即 0t8，故当 t=min 时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理，得 BC=500m，乙从 B 出发时，甲已经走了 50×（2+8+1）=550m，还需走 710m 才能到达 C设乙步行的速度为 v m/min，由题意得33，解得，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制第 21 页（共 30 页）在范围内【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型19 （16 分）设an是首项为 a，公差为 d 的等差数列（d0） ，Sn是其前 n 项和记 bn=，nN*，其中 c 为实数（1）若 c=0，且 b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，nN*） ；（2）若bn是等差数列，证明：c=0【分析】 （1）写出等差数列的通项公式，前 n 项和公式，由 b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前 n 项和公式得到 Sn，在前 n 项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把 Sn代入中整理得到 bn=，由等差数列的通项公式是 an=An+B 的形式，说明，由此可得到 c=0【解答】证明：（1）若 c=0，则 an=a1+（n1）d，当 b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又 d0，故 d=2a因此：，故：（k，nN*） （2）=第 22 页（共 30 页）= 若bn是等差数列，则bn的通项公式是 bn=An+B 型观察式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故 c=0经检验，当 c=0 时bn是等差数列【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数，此题是中档题20 （16 分）设函数 f（x）=lnxax，g（x）=exax，其中 a 为实数（1）若 f（x）在（1，+）上是单调减函数，且 g（x）在（1，+）上有最小值，求 a 的取值范围；（2）若 g（x）在（1，+）上是单调增函数，试求 f（x）的零点个数，并证明你的结论【分析】 （1）求导数，利用 f（x）在（1，+）上是单调减函数，转化为a0 在（1，+）上恒成立，利用 g（x）在（1，+）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定 a 的范围，再分类讨论，确定 f（x）的单调性，从而可得 f（x）的零点个数【解答】解：（1）求导数可得 f（x）=af（x）在（1，+）上是单调减函数，a0 在（1，+）上恒成立，a，x（1，+） a1令 g（x）=exa=0，得 x=lna当 xlna 时，g（x）0；当 xlna 时，g（x）第 23 页（共 30 页）0又 g（x）在（1，+）上有最小值，所以 lna1，即 ae故 a 的取值范围为：ae（2）当 a0 时，g（x）必为单调函数；当 a0 时，令 g（x）=exa0，解得aex，即 xlna，因为 g（x）在（1，+）上是单调增函数，类似（1）有 lna1，即0结合上述两种情况，有当 a=0 时，由 f（1）=0 以及 f（x）=0，得 f（x）存在唯一的零点；当 a0 时，由于 f（ea）=aaea=a（1ea）0，f（1）=a0，且函数 f（x）在ea，1上的图象不间断，所以 f（x）在（ea，1）上存在零点另外，当 x0 时，f（x）=a0，故 f（x）在（0，+）上是单调增函数，所以 f（x）只有一个零点当 0a时，令 f（x）=a=0，解得 x=当 0x时，f（x）0，当 x时，f（x）0，所以，x=是 f（x）的最大值点，且最大值为 f（）=lna1（i）当lna1=0，即 a=时，f（x）有一个零点 x=e；（ii）当lna10，即 0a时，f（x）有两个零点；实际上，对于 0a，由于 f（）=10，f（）0，且函数 f（x）在上的图象不间断，所以 f（x）在（）上存在零点另外，当 0x时，f（x）=a0，故 f（x）在（0，）上时单调增函数，所以 f（x）在（0，）上只有一个零点下面考虑 f（x）在（，+）上的情况，先证明 f（）=a（）0为此，我们要证明：当 xe 时，exx2设 h（x）=exx2，则 h（x）=ex2x，再第 24 页（共 30 页）设 l（x）=h（x）=ex2x，则 l（x）=ex2当 x1 时，l（x）=ex2e20，所以 l（x）=h（x）在（1，+）上时单调增函数；故当 x2 时，h（x）=ex2xh（2）=e240，从而 h（x）在（2，+）上是单调增函数，进而当 xe 时，h（x）=exx2h（e）=eee20，即当 xe 时，exx2当 0a，即e 时，f（）=a（）0，又 f（）0，且函数 f（x）在，上的图象不间断，所以 f（x）在（，）上存在零点又当 x时，f（x）=a0，故 f（x）在（，+）上是单调减函数，所以f（x）在（，+）上只有一个零点综合（i） （ii） （iii） ，当 a0 或 a=时，f（x）的零点个数为 1，当 0a时，f（x）的零点个数为 2【点评】此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大 选做题选做题 本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 选修选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）21 （10 分）如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C，AC 经过圆心 O，且BC=2OC求证：AC=2AD第 25 页（共 30 页）【分析】证明 RtADORtACB，可得，结合 BC=2OC=2OD，即可证明结论【解答】证明：连接 OD因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，所以 ADO=ACB=90° 又因为A=A，所以 RtADORtACB，所以，因为 BC=2OC=2OD所以 AC=2AD【点评】本题考查圆的切线，考查三角形相似的判定与性质，比较基础B 选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）22 （10 分）已知矩阵 A=，B=，求矩阵 A1B【分析】设矩阵 A1=，通过 AA1为单位矩阵可得 A1，进而可得结论【解答】解：设矩阵 A 的逆矩阵为，则=，即=，故 a=1，b=0，c=0，d=，从而 A1=，第 26 页（共 30 页）A1B=【点评】本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题C 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）23在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（ 为参数） ，曲线C 的参数方程为（t 为参数） 试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标【分析】运用代入法，可将直线 l 和曲线 C 的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标【解答】解：直线 l 的参数方程为（ 为参数） ，由 x=t+1 可得 t=x1，代入 y=2t，可得直线 l 的普通方程：2xy2=0曲线 C 的参数方程为（t 为参数） ，化为 y2=2x，联立，解得，于是交点为（2，2） ，【点评】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查了转化能力，属于基础题D 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）24已知 ab0，求证：2a3b32ab2a2b【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可【解答】证明：2a3b32ab2+a2b=2a（a2b2）+b（a2b2）=（ab） （a+b） （2a+b） ，ab0，ab0，a+b0，2a+b0，第 27 页（共 30 页）从而：（ab） （a+b） （2a+b）0，2a3b32ab2a2b【点评】本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查逻辑推理能力第第 25 题、第题、第 26 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25 （10 分）如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC，AB=AC=2，AA1=4，点D 是 BC 的中点（1）求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；（2）求平面 ADC1与 ABA1所成二面角的正弦值【分析】 （1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值（2）分别求出平面 ABA1的法向量和平面 ADC1的法向量，利用向量法能求出平面 ADC1与 ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面 ADC1与ABA1所成二面角的正弦值【解答】解：（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则由题意知 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，2，0） ，A1（0，0，4） ，D（1，1，0） ，C1（0，2，4） ，=（1，1，4） ，第 28 页（共 30 页）cos=，异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为（2） 是平面 ABA1的一个法向量，设平面 ADC1的法向量为，取 z=1，得 y=2，x=2，平面 ADC1的法向量为，设平面 ADC1与 ABA1所成二面角为 ，cos=|cos|=|=，sin=平面 ADC1与 ABA1所成