2015年重庆市高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 23 页）2015 年重庆市高考数学试卷（理科）年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，B=2，3，则（ ）AA=B BAB= CABDBA2 （5 分）在等差数列an中，若 a2=4，a4=2，则 a6=（ ）A1B0C1D63 （5 分）重庆市 2013 年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）A19B20C21.5D234 （5 分） “x1”是“（x+2）0”的（ ）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD6 （5 分）若非零向量 ， 满足| |=| |，且（ ）（3 +2 ） ，则 与第 2 页（共 23 页）的夹角为（ ）ABCD7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（ ）AsBsCsDs8 （5 分）已知直线 x+ay1=0 是圆 C：x2+y24x2y+1=0 的对称轴，过点A（4，a）作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|=（ ）A2B6C4D29 （5 分）若 tan=2tan，则=（ ）A1B2C3D410 （5 分）设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为 F，右顶点为 A，过F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D若 D 到直线 BC 的距离小于 a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）第 3 页（共 23 页）A （1，0）（0，1）B （，1）（1，+） C （，0）（0，）D （，）（，+）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 小题，考生作答小题，考生作答 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.把答把答案填写在答题卡相应位置上案填写在答题卡相应位置上.11 （5 分）设复数 a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi） （abi）= 12 （5 分）的展开式中 x8的系数是 （用数字作答） 13 （5 分）在ABC 中，B=120°，AB=，A 的角平分线 AD=，则 AC= 三、考生注意：（三、考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分三题全做，则按前两题给分14 （5 分）如题图，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC的延长线交于点 P，若 PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则 BE= 15 （5 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为，则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 16若函数 f（x）=|x+1|+2|xa|的最小值为 5，则实数 a= 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （13 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选第 4 页（共 23 页）取 3 个（）求三种粽子各取到 1 个的概率；（）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望18 （13 分）已知函数 f（x）=sin（x）sinxcos2x（I）求 f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论 f（x）在，上的单调性19 （13 分）如题图，三棱锥 PABC 中，PC平面ABC，PC=3，ACB=D，E 分别为线段 AB，BC 上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2（）证明：DE平面 PCD（）求二面角 APDC 的余弦值20 （12 分）设函数 f（x）=（aR）（）若 f（x）在 x=0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若 f（x）在3，+）上为减函数，求 a 的取值范围21 （12 分）如题图，椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1（）若|PF1|=2+|=2，求椭圆的标准方程；（）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率 e第 5 页（共 23 页）22 （12 分）在数列an中，a1=3，an+1an+an+1+an2=0（nN+）（）若 =0，=2，求数列an的通项公式；（）若 =（k0N+，k02） ，=1，证明：2+2+第 6 页（共 23 页）2015 年重庆市高考数学试卷（理科）年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，B=2，3，则（ ）AA=B BAB= CABDBA【分析】直接利用集合的运算法则求解即可【解答】解：集合 A=1，2，3，B=2，3，可得 AB，AB=2，3，BA，所以 D 正确故选：D【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查2 （5 分）在等差数列an中，若 a2=4，a4=2，则 a6=（ ）A1B0C1D6【分析】直接利用等差中项求解即可【解答】解：在等差数列an中，若 a2=4，a4=2，则 a4=（a2+a6）=2，解得 a6=0故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力3 （5 分）重庆市 2013 年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）第 7 页（共 23 页）A19B20C21.5D23【分析】根据中位数的定义进行求解即可【解答】解：样本数据有 12 个，位于中间的两个数为 20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键比较基础4 （5 分） “x1”是“（x+2）0”的（ ）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】解“（x+2）0”，求出其充要条件，再和 x1 比较，从而求出答案【解答】解：由“（x+2）0”得：x+21，解得：x1，故“x1”是“（x+2）0”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 8 页（共 23 页）ABCD【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为 1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为 1，高为 2，所求几何体的体积为：=故选：A【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键6 （5 分）若非零向量 ， 满足| |=| |，且（ ）（3 +2 ） ，则 与的夹角为（ ）ABCD【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可【解答】解：（ ）（3 +2 ） ，（ ）（3 +2 ）=0，即 3222 =0，即 =3222=2，第 9 页（共 23 页）cos ， =，即 ， =，故选：A【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（ ）AsBsCsDs【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k，S 的值，当 S时，退出循环，输出 k 的值为 8，故判断框图可填入的条件是 S【解答】解：模拟执行程序框图，k 的值依次为 0，2，4，6，8，因此 S=（此时 k=6） ，因此可填：S第 10 页（共 23 页）故选：C【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的 S 值是解题的关键8 （5 分）已知直线 x+ay1=0 是圆 C：x2+y24x2y+1=0 的对称轴，过点A（4，a）作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|=（ ）A2B6C4D2【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线 l：x+ay1=0 经过圆 C 的圆心（2，1） ，求得 a 的值，可得点 A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值【解答】解：圆 C：x2+y24x2y+1=0，即（x2）2+（y1）2 =4，表示以 C（2，1）为圆心、半径等于 2 的圆由题意可得，直线 l：x+ay1=0 经过圆 C 的圆心（2，1） ，故有 2+a1=0，a=1，点 A（4，1） AC=2，CB=R=2，切线的长|AB|=6故选：B【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题9 （5 分）若 tan=2tan，则=（ ）A1B2C3D4【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可第 11 页（共 23 页）【解答】解：tan=2tan，则=3故选：C【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力10 （5 分）设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为 F，右顶点为 A，过F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D若 D 到直线 BC 的距离小于 a+，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A （1，0）（0，1）B （，1）（1，+） C （，0）（0，）第 12 页（共 23 页）D （，）（，+）【分析】由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上，设 D（x，0） ，则由 BDAB 得=1，求出 cx，利用 D 到直线 BC 的距离小于 a+，即可得出结论【解答】解：由题意，A（a，0） ，B（c，） ，C（c，） ，由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上，设 D（x，0） ，则由 BDAB 得=1，cx=，D 到直线 BC 的距离小于 a+，cx=|a+，c2a2=b2，01，双曲线的渐近线斜率的取值范围是（1，0）（0，1） 故选：A【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定 D 到直线 BC 的距离是关键二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 小题，考生作答小题，考生作答 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.把答把答案填写在答题卡相应位置上案填写在答题卡相应位置上.11 （5 分）设复数 a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi） （abi）= 3 【分析】将所求利用平方差公式展开得到 a2+b2，恰好为已知复数的模的平方【解答】解：因为复数 a+bi（a，bR）的模为，第 13 页（共 23 页）所以 a2+b2=3，则（a+bi） （abi）=a2+b2=3；故答案为：3【点评】本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题12 （5 分）的展开式中 x8的系数是 （用数字作答） 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 8，求得 r 的值，即可求得展开式中的 x8的系数【解答】解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1=，令 15=8，求得 r=2，故开式中 x8的系数是 =，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题13 （5 分）在ABC 中，B=120°，AB=，A 的角平分线 AD=，则 AC= 【分析】利用已知条件求出 A，C，然后利用正弦定理求出 AC 即可【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，ADB=45°，A=180°120°45°，可得 A=30°，则 C=30°，三角形 ABC 是等腰三角形，AC=2=故答案为：【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力三、考生注意：（三、考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若）三题为选做题，请从中任选两题作答，若第 14 页（共 23 页）三题全做，则按前两题给分三题全做，则按前两题给分14 （5 分）如题图，圆 O 的弦 AB，CD 相交于点 E，过点 A 作圆 O 的切线与 DC的延长线交于点 P，若 PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则 BE= 2 【分析】利用切割线定理计算 CE，利用相交弦定理求出 BE 即可【解答】解：设 CE=2x，ED=x，则过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P，由切割线定理可得 PA2=PCPD，即 36=3×（3+3x） ，x=3，由相交弦定理可得 9BE=CEED，即 9BE=6×3，BE=2故答案为：2【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础15 （5 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为，则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 （2，） 【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我 2 极坐标即可【解答】解：直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，它的直角坐标方程为：xy+2=0；曲线 C 的极坐标方程为，可得它的直角坐标方程为：x2y2=4，x0第 15 页（共 23 页）由，可得 x=2，y=0，交点坐标为（2，0） ，它的极坐标为（2，） 故答案为：（2，） 【点评】本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查16若函数 f（x）=|x+1|+2|xa|的最小值为 5，则实数 a= 6 或 4 【分析】分类讨论 a 与1 的大小关系，化简函数 f（x）的解析式，利用单调性求得 f（x）的最小值，再根据 f（x）的最小值等于 5，求得 a 的值【解答】解：函数 f（x）=|x+1|+2|xa|，故当 a1 时，f（x）=，根据它的最小值为 f（a）=3a+2a1=5，求得 a=6当 a=1 时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为 0，不满足条件当 a1 时，f（x）=，根据它的最小值为 f（a）=a+1=5，求得 a=4综上可得，a=6 或 a=4，故答案为：6 或 4【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演第 16 页（共 23 页）算步骤算步骤17 （13 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个（）求三种粽子各取到 1 个的概率；（）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望【分析】 （）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（）随机变量 X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望【解答】解：（）令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率公式有 P（A）=（）随机变量 X 的取值为：0，1，2，则 P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X012PEX=0×+1×+2×=【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键18 （13 分）已知函数 f（x）=sin（x）sinxcos2x（I）求 f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论 f（x）在，上的单调性【分析】 （）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得 f（x）的最小正周期和最大值（）根据 2x0，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得 f（x）在第 17 页（共 23 页）上的单调性【解答】解：（）函数 f（x）=sin（x）sinxx=cosxsinx（1+cos2x）=sin2xcos2x=sin（2x），故函数的周期为=，最大值为 1（）当 x 时，2x0，故当 02x时，即 x，时，f（x）为增函数；当2x 时，即 x，时，f（x）为减函数【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题19 （13 分）如题图，三棱锥 PABC 中，PC平面ABC，PC=3，ACB=D，E 分别为线段 AB，BC 上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2（）证明：DE平面 PCD（）求二面角 APDC 的余弦值【分析】 （）由已知条件易得 PCDE，CDDE，由线面垂直的判定定理可得；（）以 C 为原点，分别以，的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，的坐标，可求平面 PAD 的法向量，平面 PCD 的法第 18 页（共 23 页）向量可取，由向量的夹角公式可得【解答】 （）证明：PC平面 ABC，DE平面 ABC，PCDE，CE=2，CD=DE=，CDE 为等腰直角三角形，CDDE，PCCD=C，DE 垂直于平面 PCD 内的两条相交直线，DE平面 PCD（）由（）知CDE 为等腰直角三角形，DCE=，过点 D 作 DF 垂直 CE 于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1，故 FB=2，由ACB=得 DFAC，故 AC=DF=，以 C 为原点，分别以，的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0） ，P（0，0，3） ，A（，0，0） ，E（0，2，0） ，D（1，1，0） ，=（1，1，0） ，=（1，1，3） ，=（，1，0） ，设平面 PAD 的法向量=（x，y，z） ，由，故可取=（2，1，1） ，由（）知 DE平面 PCD，故平面 PCD 的法向量可取=（1，1，0） ，两法向量夹角的余弦值 cos，=二面角 APDC 的余弦值为第 19 页（共 23 页）【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题20 （12 分）设函数 f（x）=（aR）（）若 f（x）在 x=0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）若 f（x）在3，+）上为减函数，求 a 的取值范围【分析】 （I）f（x）=，由 f（x）在 x=0 处取得极值，可得f（0）=0，解得 a可得 f（1） ，f（1） ，即可得出曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（II）解法一：由（I）可得：f（x）=，令 g（x）=3x2+（6a）x+a，由 g（x）=0，解得 x1=，x2=对 x 分类讨论：当 xx1时；当 x1xx2时；当 xx2时由 f（x）在3，+）上为减函数，可知：x2=3，解得即可解法二：“分离参数法”：由 f（x）在3，+）上为减函数，可得 f（x）0，可得 a，在3，+）上恒成立令 u（x）=，利用导数研第 20 页（共 23 页）究其最大值即可【解答】解：（I）f（x）=，f（x）在 x=0 处取得极值，f（0）=0，解得 a=0当 a=0 时，f（x）=，f（x）=，f（1）=，f（1）=，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为，化为：3xey=0；（II）解法一：由（I）可得：f（x）=，令 g（x）=3x2+（6a）x+a，由 g（x）=0，解得 x1=，x2=当 xx1时，g（x）0，即 f（x）0，此时函数 f（x）为减函数；当 x1xx2时，g（x）0，即 f（x）0，此时函数 f（x）为增函数；当 xx2时，g（x）0，即 f（x）0，此时函数 f（x）为减函数由 f（x）在3，+）上为减函数，可知：x2=3，解得 a因此 a 的取值范围为：解法二：由 f（x）在3，+）上为减函数，f（x）0，可得 a，在3，+）上恒成立令 u（x）=，u（x）=0，u（x）在3，+）上单调递减，au（3）=第 21 页（共 23 页）因此 a 的取值范围为：【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、 “分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）如题图，椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1（）若|PF1|=2+|=2，求椭圆的标准方程；（）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率 e【分析】 （）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出 a，再根据 2c=|F1F2|=2，求出 c，进而求出椭圆的标准方程；（）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a2|PF1|，解得|PF1|=2（2）a，从而|PF2|=2a|PF1|=2（1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率【解答】解：（）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2+2=4，故 a=2，设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF2PF1，因此2c=|F1F2|=2，即 c=，从而 b=1，故所求椭圆的标准方程为（）连接 F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，第 22 页（共 23 页）有|QF1|=4a2|PF1|，又由 PQPF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a2|PF1|，解得|PF1|=2（2）a，从而|PF2|=2a|PF1|=2（1）a，由 PF2PF1，知 2c=|F1F2|=，因此 e=【点评】本题考查了椭圆的定义 2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题22 （12 分）在数列an中，a1=3，an+1an+an+1+an2=0（nN+）（）若 =0，=2，求数列an的通项公式；（）若 =（k0N+，k02） ，=1，证明：2+2+【分析】 （）把 =0，=2 代入数列递推式，得到（ nN+） ，分析 an0 后可得 an+1=2an（nN+） ，即an是一个公比 q=2 的等比数列从而可得数列的通项公式；（）把代入数列递推式，整理后可得（nN） 进一步得到=，对 n=1，2，k0求和后放缩可得不等式左边，结合，进一步利用放缩法证明不等式右边【解答】 （）解：由 =0，=2，有 （ nN+） 若存在某个 n0N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得 a1=0，此与 a1=3 矛盾，对任意 nN+，an0第 23 页（共 23 页）从而 an+1=2an（nN+） ，即an是一个公比 q=2 的等比数列故（）证明：由，数列an的递推关系式变为，变形为：（nN） 由上式及 a1=30，归纳可得3=a1a2anan+10=，对 n=1，2，k0求和得：=另一方面，由上已证的不等式知，得=2+综上，2+2+【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目