2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）.doc

第 1 页（共 30 页）2013 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的有一个是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x22x0，B=x|x，则（ ）AAB= BAB=R CBADAB2 （5 分）若复数 z 满足（34i）z=|4+3i|，则 z 的虚部为（ ）A4BC4D3 （5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样4 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay=By=Cy=±xDy=5 （5 分）执行程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于（ ）第 2 页（共 30 页）A3，4 B5，2 C4，3 D2，56 （5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）ABCD7 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ）A3B4C5D68 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 3 页（共 30 页）A16+8B8+8C16+16 D8+169 （5 分）设 m 为正整数， （x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为 a， （x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m=（ ）A5B6C7D810 （5 分）已知椭圆 E：的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ）ABCD11 （5 分）已知函数 f（x）=，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（ ）A （，0B （，1C2，1 D2，012 （5 分）设AnBnCn的三边长分别为 an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3若 b1c1，b1+c1=2a1，an+1=an，则（ ）ASn为递减数列第 4 页（共 30 页）BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60°， =t +（1t） 若 =0，则 t= 14 （5 分）若数列an的前 n 项和为 Sn=an+，则数列an的通项公式是 an= 15 （5 分）设当 x= 时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos= 16 （5 分）若函数 f（x）=（1x2） （x2+ax+b）的图象关于直线 x=2 对称，则f（x）的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）如图，在ABC 中，ABC=90°，AB=，BC=1，P 为ABC 内一点，BPC=90°（1）若 PB=，求 PA；（2）若APB=150°，求 tanPBA18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60°（）证明 ABA1C；（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角第 5 页（共 30 页）的正弦值19 （12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（）求这批产品通过检验的概率；（）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望20 （12 分）已知圆 M：（x+1）2+y2=1，圆 N：（x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|21 （12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d） ，若曲线 y=f（x）和曲线 y=g（x）都过点 P（0，2） ，且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2（）求 a，b，c，d 的值；（）若 x2 时，f（x）kg（x） ，求 k 的取值范围四、请考生在第四、请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答，并用题中任选一道作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.第 6 页（共 30 页）22 （10 分） （选修 41：几何证明选讲）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径23已知曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 =2sin（1）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求 C1与 C2交点的极坐标（0，02） 24已知函数 f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 x，时，f（x）g（x） ，求 a 的取值范围第 7 页（共 30 页）2013 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的有一个是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=x|x22x0，B=x|x，则（ ）AAB= BAB=R CBADAB【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合 A，再根据的定义求出 AB和 AB【解答】解：集合 A=x|x22x0=x|x2 或 x0，AB=x|2x或x0，AB=R，故选：B【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题2 （5 分）若复数 z 满足（34i）z=|4+3i|，则 z 的虚部为（ ）A4BC4D【分析】由题意可得 z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 +i，由此可得 z 的虚部【解答】解：复数 z 满足（34i）z=|4+3i|，z=+i，故 z 的虚部等于，故选：D【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题3 （5 分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取第 8 页（共 30 页）部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样 D系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题4 （5 分）已知双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则 C 的渐近线方程为（ ）Ay=By=Cy=±xDy=【分析】由离心率和 abc 的关系可得 b2=4a2，而渐近线方程为 y=±x，代入可得答案【解答】解：由双曲线 C：（a0，b0） ，则离心率 e=，即 4b2=a2，故渐近线方程为 y=±x=x，故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题第 9 页（共 30 页）5 （5 分）执行程序框图，如果输入的 t1，3，则输出的 s 属于（ ）A3，4 B5，2 C4，3 D2，5【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为 t1 我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式【解答】解：由判断框中的条件为 t1，可得：函数分为两段，即 t1 与 t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即 t1 时，函数的解析式为：s=4tt2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的 t1，3，画出此分段函数在 t1，3时的图象，则输出的 s 属于3，4故选：A第 10 页（共 30 页）【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；根据判断框中的条件，设置分类标准；根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式6 （5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）ABCD【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆 M，可得圆心 M 为正方体上底面正方形的中心设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质建立关于 R 的方程并解出 R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积第 11 页（共 30 页）【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆 M，则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心如图设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质，得 R2=（R2）2+42，解出 R=5，根据球的体积公式，该球的体积 V=故选：A【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题7 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ）A3B4C5D6【分析】由 an与 Sn的关系可求得 am+1与 am，进而得到公差 d，由前 n 项和公式及 Sm=0 可求得 a1，再由通项公式及 am=2 可得 m 值【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差 d=am+1am=1，Sm=0，得 a1=2，所以 am=2+（m1）1=2，解得 m=5，另解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，即有数列成等差数列，则，成等差数列，第 12 页（共 30 页）可得 2=+，即有 0=+，解得 m=5又一解：由等差数列的求和公式可得（m1） （a1+am1）=2，m（a1+am）=0，（m+1） （a1+am+1）=3，可得 a1=am，2am+am+1+am+1=+=0，解得 m=5故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及通项 an与 Sn的关系，考查学生的计算能力8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A16+8B8+8C16+16 D8+16【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为4长方体的体积=4×2×2=16，第 13 页（共 30 页）半个圆柱的体积=×22××4=8所以这个几何体的体积是 16+8；故选：A【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9 （5 分）设 m 为正整数， （x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为 a， （x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m=（ ）A5B6C7D8【分析】根据二项式系数的性质求得 a 和 b，再利用组合数的计算公式，解方程 13a=7b 求得 m 的值【解答】解：m 为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为 a，以及二项式系数的性质可得 a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，可得 b=再由 13a=7b，可得 13=7，即 13×=7×，即 13=7×，即 13（m+1）=7（2m+1） ，解得 m=6，故选：B【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题10 （5 分）已知椭圆 E：的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的第 14 页（共 30 页）直线交椭圆 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1） ，则 E 的方程为（ ）ABCD【分析】设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算公式可得=于是得到，化为 a2=2b2，再利用 c=3=，即可解得 a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，代入椭圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2，=，第 15 页（共 30 页）化为 a2=2b2，又 c=3=，解得 a2=18，b2=9椭圆 E 的方程为故选：D【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键11 （5 分）已知函数 f（x）=，若|f（x）|ax，则 a 的取值范围是（ ）A （，0B （，1C2，1 D2，0【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合可得 a 的范围【解答】解：由题意可作出函数 y=|f（x）|的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线 l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为 y=x22x，求其导数可得 y=2x2，因为 x0，故 y2，故直线 l 的斜率为2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于2 与 0 之间即可，即 a2，0故选：D第 16 页（共 30 页）【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题12 （5 分）设AnBnCn的三边长分别为 an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3若 b1c1，b1+c1=2a1，an+1=an，则（ ）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【分析】由 an+1=an可知AnBnCn的边 BnCn为定值 a1，由 bn+1+cn+12a1=及 b1+c1=2a1得 bn+cn=2a1，则在AnBnCn中边长 BnCn=a1为定值，另两边 AnCn、AnBn的长度之和 bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点 An在以 Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据 bn+1cn+1=，得bncn=，可知 n+时 bncn，据此可判断AnBnCn的边 BnCn的高 hn随着 n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案【解答】解：b1=2a1c1且 b1c1，2a1c1c1，a1c1，b1a1=2a1c1a1=a1c10，b1a1c1，又 b1c1a1，2a1c1c1a1，2c1a1，由题意，+an，bn+1+cn+12an=（bn+cn2an） ，bn+cn2an=0，bn+cn=2an=2a1，bn+cn=2a1，由此可知顶点 An在以 Bn、Cn为焦点的椭圆上，又由题意，bn+1cn+1=，=a1bn，bn+1a1=，bna1=，第 17 页（共 30 页），cn=2a1bn=，=单调递增（可证当 n=1 时0）故选：B【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）已知两个单位向量 ， 的夹角为 60°， =t +（1t） 若 =0，则 t= 2 【分析】由于 =0，对式子 =t +（1t） 两边与 作数量积可得=0，经过化简即可得出【解答】解：，=0，tcos60°+1t=0，1=0，解得 t=2故答案为 2【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键14 （5 分）若数列an的前 n 项和为 Sn=an+，则数列an的通项公式是 an= （2）n1 【分析】把 n=1 代入已知式子可得数列的首项，由 n2 时，an=SnSn1，可得数列为等比数列，且公比为2，代入等比数列的通项公式分段可得答案第 18 页（共 30 页）【解答】解：当 n=1 时，a1=S1=，解得 a1=1当 n2 时，an=SnSn1=（）（）=，整理可得，即=2，故数列an从第二项开始是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故当 n2 时，an=（2）n1，经验证当 n=1 时，上式也适合，故答案为：（2）n1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题15 （5 分）设当 x= 时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos= 【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 x= 时，函数 f（x）取得最大值，得到 sin2cos=，与sin2+cos2=1 联立即可求出 cos 的值【解答】解：f（x）=sinx2cosx=（sinxcosx）=sin（x） （其中cos=，sin=） ，x= 时，函数 f（x）取得最大值，sin（）=1，即 sin2cos=，又 sin2+cos2=1，联立得（2cos+）2+cos2=1，解得 cos=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键第 19 页（共 30 页）16 （5 分）若函数 f（x）=（1x2） （x2+ax+b）的图象关于直线 x=2 对称，则f（x）的最大值为 16 【分析】由题意得 f（1）=f（3）=0 且 f（1）=f（5）=0，由此求出 a=8 且b=15，由此可得 f（x）=x48x314x2+8x+15利用导数研究 f（x）的单调性，可得 f（x）在区间（，2） 、 （2，2+）上是增函数，在区间（2，2） 、（2+，+）上是减函数，结合 f（2）=f（2+）=16，即可得到 f（x）的最大值【解答】解：函数 f（x）=（1x2） （x2+ax+b）的图象关于直线 x=2 对称，f（1）=f（3）=0 且 f（1）=f（5）=0，即1（3）2（3）2+a（3）+b=0 且1（5）2（5）2+a（5）+b=0，解之得，因此，f（x）=（1x2） （x2+8x+15）=x48x314x2+8x+15，求导数，得 f（x）=4x324x228x+8，令 f（x）=0，得 x1=2，x2=2，x3=2+，当 x（，2）时，f（x）0；当 x（2，2）时，f（x）0； 当 x（2，2+）时，f（x）0； 当 x（2+，+）时，f（x）0f（x）在区间（，2） 、 （2，2+）上是增函数，在区间（2，2） 、（2+，+）上是减函数又f（2）=f（2+）=16，f（x）的最大值为 16故答案为：16【点评】本题给出多项式函数的图象关于 x=2 对称，求函数的最大值着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属第 20 页（共 30 页）于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）如图，在ABC 中，ABC=90°，AB=，BC=1，P 为ABC 内一点，BPC=90°（1）若 PB=，求 PA；（2）若APB=150°，求 tanPBA【分析】 （I）在 RtPBC，利用边角关系即可得到PBC=60°，得到PBA=30°在PBA 中，利用余弦定理即可求得 PA（II）设PBA=，在 RtPBC 中，可得 PB=sin在PBA 中，由正弦定理得，即，化简即可求出【解答】解：（I）在 RtPBC 中，=，PBC=60°，PBA=30°在PBA 中，由余弦定理得 PA2=PB2+AB22PBABcos30°=PA=（II）设PBA=，在 RtPBC 中，PB=BCcos（90°）=sin在PBA 中，由正弦定理得，即，第 21 页（共 30 页）化为【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键18 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60°（）证明 ABA1C；（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值【分析】 （）取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B，由已知可证OA1AB，AB平面 OA1C，进而可得 ABA1C；（）易证 OA，OA1，OC 两两垂直以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的正向，|为单位长，建立坐标系，可得，的坐标，设=（x，y，z）为平面 BB1C1C 的法向量，则，可解得=（，1，1） ，可求|cos ，|，即为所求正弦值【解答】解：（）取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B，因为 CA=CB，所以 OCAB，由于 AB=AA1，BAA1=60°，所以AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB，又因为 OCOA1=O，所以 AB平面 OA1C，又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C；（）由（）知 OCAB，OA1AB，又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为AB，第 22 页（共 30 页）所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两垂直以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的正向，|为单位长，建立如图所示的坐标系，可得 A（1，0，0） ，A1（0，0） ，C（0，0，） ，B（1，0，0） ，则=（1，0，） ，=（1，0） ，=（0，） ，设 =（x，y，z）为平面 BB1C1C 的法向量，则，即，可取 y=1，可得 =（，1，1） ，故 cos ，=，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为：【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题19 （12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（）求这批产品通过检验的概率；（）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这第 23 页（共 30 页）批产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望【分析】 （）设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有 A=（A1B1）（A2B2） ，且 A1B1与 A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（）X 可能的取值为 400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值【解答】解：（）设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A=（A1B1）（A2B2） ，且 A1B1与 A2B2互斥，所以 P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）=（）X 可能的取值为 400，500，800，并且 P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1=，故 X 的分布列如下：X 400 500 800 P故 EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题20 （12 分）已知圆 M：（x+1）2+y2=1，圆 N：（x1）2+y2=9，动圆 P 与圆 M外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C第 24 页（共 30 页）（）求 C 的方程；（）l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|【分析】 （I）设动圆的半径为 R，由已知动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y） ，由于|PM|PN|=2R242=2，所以R2，当且仅当P 的圆心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4分l 的倾斜角为 90°，此时 l 与 y 轴重合，可得|AB|若 l 的倾斜角不为 90°，由于M 的半径 1R，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为Q，根据，可得 Q（4，0） ，所以可设 l：y=k（x+4） ，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出【解答】解：（I）由圆 M：（x+1）2+y2=1，可知圆心 M（1，0） ；圆N：（x1）2+y2=9，圆心 N（1，0） ，半径 3设动圆的半径为 R，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，|PM|+|PN|=R+1+（3R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，a=2，c=1，b2=a2c2=3曲线 C 的方程为（x2） （II）设曲线 C 上任意一点 P（x，y） ，由于|PM|PN|=2R231=2，所以 R2，当且仅当P 的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x2）2+y2=4l 的倾斜角为 90°，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|=第 25 页（共 30 页）若 l 的倾斜角不为 90°，由于M 的半径 1R，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则，可得 Q（4，0） ，所以可设 l：y=k（x+4） ，由 l 于 M 相切可得：，解得当时，联立，得到 7x2+8x8=0，|AB|=由于对称性可知：当时，也有|AB|=综上可知：|AB|=或【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法21 （12 分）已知函数 f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d） ，若曲线 y=f（x）和曲线 y=g（x）都过点 P（0，2） ，且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2（）求 a，b，c，d 的值；（）若 x2 时，f（x）kg（x） ，求 k 的取值范围【分析】 （）对 f（x） ，g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线 y=g（x）都过点 P（0，2） ，从而解出 a，b，c，d 的值；（）由（I）得出 f（x） ，g（x）的解析式，再求出 F（x）及它的导函数，通过对 k 的讨论，判断出 F（x）的最值，从而判断出 f（x）kg（x）恒成立，从而求出 k 的范围【解答】解：（）由题意知 f（0）=2，g（0）=2，f（0）=4，g（0）=4，而 f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+d+c） ，故 b=2，d=2，a=4，d+c=4，第 26 页（共 30 页）从而 a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）设 F（x）=kg（x）f（x）=2kex（x+1）x24x2，则 F（x）=2kex（x+2）2x4=2（x+2） （kex1） ，由题设得 F（0）0，即 k1，令 F（x）=0，得 x1=lnk，x2=2，若 1ke2，则2x10，从而当 x（2，x1）时，F（x）0，当x（x1，+）时，F（x）0，即 F（x）在（2，x1）上减，在（x1，+）上是增，故 F（x）在2，+）上的最小值为 F（x1） ，而 F（x1）=x1（x1+2）0，x2 时 F（x）0，即 f（x）kg（x）恒成立若 k=e2，则 F（x）=2e2（x+2） （exe2） ，从而当 x（2，+）时，F（x）0，即 F（x）在（2，+）上是增，而 F（2）=0，故当 x2 时，F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若 ke2时，F（x）2e2（x+2） （exe2） ，而 F（2）=2ke2+20，所以当 x2 时，f（x）kg（x）不恒成立，综上，k 的取值范围是1，e2【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题四、请考生在第四、请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答，并用题中任选一道作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22 （10 分） （选修 41：几何证明选讲）第 27 页（共 30 页）如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径【分析】 （I）连接 DE 交 BC 于点 G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分线可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知 DBBE，可知 DE 为O 的直径，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB（II）由（I）可知：DG 是 BC 的垂直平分线，即可得到 BG=设 DE 的中点为 O，连接 BO，可得BOG=60°从而ABE=BCE=CBE=30°得到CFBF进而得到 RtBCF 的外接圆的半径=【解答】 （I）证明：连接 DE 交 BC 于点 G由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE又DBBE，DE 为O 的直径，DCE=90°DBEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC故 DG 是 BC 的垂直平分线，BG=设 DE 的中点为 O，连接 BO，则BOG=60°从而ABE=BCE=CBE=30°CFBFRtBCF 的外接圆的半径=第 28 页（共 30 页）【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力23已知曲线