2013年陕西省高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 25 页）2013 年陕西省高考数学试卷（理科）年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分）1 （5 分）设全集为 R，函数的定义域为 M，则RM 为（ ）A1，1 B （1，1）C （，1）（1，+） D （，11，+）2 （5 分）根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为（ ）A25B30C31D613 （5 分）设 ， 为向量，则| |=| | |是“ ”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4 （5 分）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1，2，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481，720的人数为（ ）A11B12C13D145 （5 分）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常） 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）第 2 页（共 25 页）ABCD6 （5 分）设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A若|z1z2|=0，则=B若 z1=，则=z2C若|z1|=|z2|，则 z1=z2D若|z1|=|z2|，则 z12=z227 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC 的形状为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定8 （5 分）设函数 f（x）=，则当 x0 时，ff（x）表达式的展开式中常数项为（ ）A20 B20C15 D159 （5 分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园（阴影部分） ，则其边长 x（单位 m）的取值范围是（ ）A15，20B12，25C10，30D20，3010 （5 分）设x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y，有（ ）Ax=xB2x=2xCx+yx+y Dxyxy第 3 页（共 25 页）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题，每小题小题 5 分，共分，共 25 分）分）11 （5 分）双曲线=1 的离心率为，则 m 等于 12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 13 （5 分）若点（x，y）位于曲线 y=|x1|与 y=2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为 14 （5 分）观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第 n 个等式可为 选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）的第一题计分）15 （5 分） （不等式选做题） 已知 a，b，m，n 均为正数，且 a+b=1，mn=2，则（am+bn） （bm+an）的最小值为 16 （几何证明选做题）如图，弦 AB 与 CD 相交于O 内一点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P已知 PD=2DA=2，则 PE= 第 4 页（共 25 页）17 （坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 x2+y2x=0 的参数方程为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，小题，共共 75 分）分）18 （12 分）已知向量 =（cosx，） ， =（sinx，cos2x） ，xR，设函数f（x）=（） 求 f（x）的最小正周期（） 求 f（x）在0，上的最大值和最小值19 （12 分）设an是公比为 q 的等比数列（）试推导an的前 n 项和公式；（） 设 q1，证明数列an+1不是等比数列20 （12 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O平面 ABCD，（） 证明：A1C平面 BB1D1D；（） 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小第 5 页（共 25 页）21 （12 分）在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手（1 至 5 号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手（） 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；（） X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列和数学期望22 （13 分）已知动圆过定点 A（4，0） ，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8（） 求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（） 已知点 B（1，0） ，设不垂直于 x 轴的直线与轨迹 C 交于不同的两点P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明直线过定点23 （14 分）已知函数 f（x）=ex，xR（） 若直线 y=kx+1 与 f （x）的反函数 g（x）=lnx 的图象相切，求实数 k 的值；（） 设 x0，讨论曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m0）公共点的个数（） 设 ab，比较与的大小，并说明理由第 6 页（共 25 页）2013 年陕西省高考数学试卷（理科）年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分）1 （5 分）设全集为 R，函数的定义域为 M，则RM 为（ ）A1，1 B （1，1）C （，1）（1，+） D （，11，+）【分析】求出函数 f（x）的定义域得到集合 M，然后直接利用补集概念求解【解答】解：由 1x20，得1x1，即 M=1，1，又全集为 R，所以RM=（，1）（1，+） 故选：C【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题2 （5 分）根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为（ ）A25B30C31D61【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第 7 页（共 25 页）该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值当 x=60 时，则 y=25+0.6（6050）=31，故选：C【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误3 （5 分）设 ， 为向量，则| |=| | |是“ ”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用向量的数量积公式得到 =，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论【解答】解： =，若 a，b 为零向量，显然成立；若cos=±1 则 与 的夹角为零角或平角，即，故充分性成立而，则 与 的夹角为为零角或平角，有 因此是的充分必要条件故选：C【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题4 （5 分）某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1，2，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481，720的人数为（ ）A11B12C13D14【分析】根据系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，那么从 20 人抽取 1第 8 页（共 25 页）人从而得出从编号 481720 共 240 人中抽取的人数即可【解答】解：使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 20 人抽取 1人所以从编号 1480 的人中，恰好抽取=24 人，接着从编号 481720 共 240人中抽取=12 人故选：B【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题5 （5 分）如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常） 若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）ABCD【分析】根据题意，算出扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF 的面积之和为，结合矩形 ABCD 的面积为 2，可得在矩形 ABCD 内且没有信号的区域面积为 2，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率【解答】解：扇形 ADE 的半径为 1，圆心角等于 90°扇形 ADE 的面积为 S1=××12=同理可得，扇形 CBF 的在，面积 S2=又长方形 ABCD 的面积 S=2×1=2在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是第 9 页（共 25 页）P=1故选：A【点评】本题给出矩形 ABCD 内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题6 （5 分）设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A若|z1z2|=0，则=B若 z1=，则=z2C若|z1|=|z2|，则 z1=z2D若|z1|=|z2|，则 z12=z22【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案【解答】解：对（A） ，若|z1z2|=0，则 z1z2=0，z1=z2，所以为真；对（B）若，则 z1和 z2互为共轭复数，所以为真；对（C）设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，所以为真；对（D）若 z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，所以为假故选：D【点评】本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题7 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC 的形状为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的第 10 页（共 25 页）正弦公式、诱导公式求得 sinA=1，可得 A=，由此可得ABC 的形状【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得 sinA=1，故 A=，故三角形为直角三角形，故选：B【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题8 （5 分）设函数 f（x）=，则当 x0 时，ff（x）表达式的展开式中常数项为（ ）A20 B20C15 D15【分析】依题意，可求得 ff（x）=，利用二项展开式的通项公式即可求得 ff（x）表达式的展开式中常数项【解答】解：当 x0 时，ff（x）=的展开式中，常数项为：=20故选：A【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，属于中档题9 （5 分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园（阴影部分） ，则其边长 x（单位 m）的取值范围是（ ）第 11 页（共 25 页）A15，20B12，25C10，30D20，30【分析】设矩形的高为 y，由三角形相似可得，且40x0，40y0，xy300，再由，得 y=40x，代入 xy300 得到关于 x 的二次不等式，解此不等式即可得出答案【解答】解：设矩形的高为 y，由三角形相似得：，且 40x0，40y0，xy300，由，得 y=40x，x（40x）300，解得 10x30故选：C【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目10 （5 分）设x表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 x，y，有（ ）Ax=xB2x=2xCx+yx+y Dxyxy【分析】本题考查的是取整函数问题在解答时要先充分理解x的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用【解答】解：对 A，设 x=1.8，则x=1，x=2，所以 A 选项为假对 B，设 x=1.4，2x=2.8=3，2x=4，所以 B 选项为假对 C，设 x=y=1.8，对 A，x+y=3.6=3，x+y=2，所以 C 选项为假故 D 选项为真故选：D第 12 页（共 25 页）【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 4 小题，每小题，每小题小题 5 分，共分，共 25 分）分）11 （5 分）双曲线=1 的离心率为，则 m 等于 9 【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出【解答】解：双曲线可得 a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得 m=9故答案为 9【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键12 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2所以体积第 13 页（共 25 页）故答案为：【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力13 （5 分）若点（x，y）位于曲线 y=|x1|与 y=2 所围成的封闭区域，则 2xy 的最小值为 4 【分析】先根据曲线 y=|x1|与 y=2 所围成的封闭区域画出区域 D，再利用线性规划的方法求出目标函数 2xy 的最大值即可【解答】解：如图，封闭区域为三角形令|x1|=2，解得 x1=1，x2=3，所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0， ） ， （1，2） ， （3，2） ，把 z=2xy 变形为 y=2xz，则直线经过点（1，2）时 z 取得最小值；所以 zmin=2×（1）2=4，故 2xy 在点（1，2）取最小值4故答案为：4【点评】本题考查简单线性规划以及利用线性规划求函数的最值属于基础题第 14 页（共 25 页）14 （5 分）观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第 n 个等式可为 【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第 n 个等式左边为 1222+3242+（1）n1n2再分 n 为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可【解答】解：观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10分 n 为奇数和偶数讨论：第 n 个等式左边为 1222+3242+（1）n1n2当 n 为偶数时，分组求和（1222）+（3242）+（n1）2n2=，当 n 为奇数时，第 n 个等式左边=（1222）+（3242）+（n2）2（n1）2+n2=+n2=综上，第 n 个等式为故答案为：【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系第 15 页（共 25 页）选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）的第一题计分）15 （5 分） （不等式选做题） 已知 a，b，m，n 均为正数，且 a+b=1，mn=2，则（am+bn） （bm+an）的最小值为 2 【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，dR 均为实数，则（a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2其中等号当且仅当时成立，即可求出（am+bn） （bm+an）的最小值【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2可得（am+bn） （bm+an）（+）2=mn（a+b）2=2×1=2，当且仅当即 m=n 时，取得最小值 2故答案为：2【点评】本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识，属于基础题16 （几何证明选做题）如图，弦 AB 与 CD 相交于O 内一点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P已知 PD=2DA=2，则 PE= 【分析】利用已知条件判断EPDAPE，列出比例关系，即可求解 PE 的值【解答】解：因为 BCPE，BCD=PED，且在圆中BCD=BADPED=BAD，EPDAPE，PD=2DA=2第 16 页（共 25 页）PE2=PAPD=3×2=6，PE=故答案为：【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力17 （坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 x2+y2x=0 的参数方程为 ，R，且 【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出 OP，进而表示出 x 与 y，即为圆的参数方程【解答】解：将圆方程化为（x）2+y2=，可得半径 r=，OP=2rcos=cos，x=OPcos=cos2，y=OPsin=sincos，则圆的参数方程为，R，且 故答案为：，R，且 【点评】此题考查了圆的参数方程，涉及的知识有：圆的标准方程，锐角三角函数定义，以及解直角三角形，弄清题意是解本题的关键三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，小题，第 17 页（共 25 页）共共 75 分）分）18 （12 分）已知向量 =（cosx，） ， =（sinx，cos2x） ，xR，设函数f（x）=（） 求 f（x）的最小正周期（） 求 f（x）在0，上的最大值和最小值【分析】 （）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求 f （x）的最小正周期（） 通过 x 在0，求出 f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值【解答】解：（）函数 f（x）=（cosx，）（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x）最小正周期为：T=（）当 x0，时，2x，由正弦函数 y=sinx 在的性质可知，sinx，sin（2x），f（x），1，所以函数 f （x）在0，上的最大值和最小值分别为：1，【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力19 （12 分）设an是公比为 q 的等比数列（）试推导an的前 n 项和公式；（） 设 q1，证明数列an+1不是等比数列第 18 页（共 25 页）【分析】 （I）分 q=1 与 q1 两种情况讨论，当 q1，0 时，利用错位相减法即可得出；（II）分当存在 nN*，使得 an+1=0 成立时，显然不成立；当nN*（n2） ，使得 an+10 成立时，使用反证法即可证明【解答】解：（I）当 q=1 时，Sn=na1；当 q0，1 时，由 Sn=a1+a2+an，得 qSn=a1q+a2q+an1q+anq两式错位相减得（1q）Sn=a1+（a2a1q）+（anan1q）anq， （*）由等比数列的定义可得，a2a1q=a3a2q=0（*）化为（1q）Sn=a1anq，；（）用反证法：设an是公比为 q1 的等比数列，数列an+1是等比数列当存在 nN*，使得 an+1=0 成立时，数列an+1不是等比数列当nN*（n2） ，使得 an+10 成立时，则=，化为（qn11） （q1）=0，q1，q10，qn110，故矛盾综上两种情况：假设不成立，故原结论成立【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、前 n 项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力20 （12 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中第 19 页（共 25 页）心，A1O平面 ABCD，（） 证明：A1C平面 BB1D1D；（） 求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小【分析】 （）要证明 A1C平面 BB1D1D，只要证明 A1C 垂直于平面 BB1D1D 内的两条相交直线即可，由已知可证出 A1CBD，取 B1D1的中点为 E1，通过证明四边形 A1OCE1为正方形可证 A1CE1O由线面垂直的判定定理问题得证（）以 O 为原点，分别以 OB，OC，OA1所在直线为 x，y，Z 轴建立空间直角坐标系，然后求出平面 OCB1与平面 BB1D1D 的法向量，利用法向量所成的角求平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 的大小【解答】 （）证明：A1O面 ABCD，且 BD面 ABCD，A1OBD；又在正方形 ABCD 中，ACBD，A1OAC=O，BD面 A1AC，且 A1C面 A1AC，故 A1CBD在正方形 ABCD 中，AO=1，在 RtA1OA 中，A1O=1设 B1D1的中点为 E1，则四边形 A1OCE1为正方形，A1CE1O又 BD面 BB1D1D，且 E10面 BB1D1D，且 BDE1O=O，A1C面 BB1D1D；（）解：以 O 为原点，分别以 OB，OC，OA1所在直线为 x，y，Z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，A1（0，0，1） ，B1（1，1，1） ，第 20 页（共 25 页）由（）知，平面 BB1D1D 的一个法向量，设平面 OCB1的法向量为，由，得，取 z=1，得 x=1则=所以，平面 OCB1与平面 BB1D1D 的夹角 为【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题21 （12 分）在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手（1 至 5 号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手（） 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；（） X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列和数学期望【分析】 （I）设事件 A 表示：“观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手”，第 21 页（共 25 页）观众甲选中 3 号歌手的概率为，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；（II）由题意，X 可取 0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到 X 的分布列与数学期望【解答】解：（）设事件 A 表示：“观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手”，观众甲选中 3 号歌手的概率为，观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1=，P（A）=，观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为；（） X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则 X 可取0，1，2，3观众甲选中 3 号歌手的概率为，观众乙选中 3 号歌手的概率为，当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时，这时 X=0，P（X=0）=（1） （1）2=，当观众甲、乙、丙只有一人选中 3 号歌手时，这时 X=1，P（X=1）=（1）2+（1）（1）+（1） （1）=，当观众甲、乙、丙只有二人选中 3 号歌手时，这时 X=2，P（X=2）=（1）+（1）+（1）=，当观众甲、乙、丙都选中 3 号歌手时，这时 X=3，P（X=3）=（）2=，X 的分布列如下：X0123P数学期望 EX=0×+1×+2×+3×=【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的第 22 页（共 25 页）关键是确定变量的取值，求出相应的概率22 （13 分）已知动圆过定点 A（4，0） ，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8（） 求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（） 已知点 B（1，0） ，设不垂直于 x 轴的直线与轨迹 C 交于不同的两点P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明直线过定点【分析】 （）设圆心 C（x，y） ，过点 C 作 CEy 轴，垂足为 E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出（）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由题意可知 y1+y20，y1y20.，利用角平分线的性质可得 kPB=kQB，可化为化为 8+y1y2=0又直线 PQ的方程为，代入化简整理为 y（y1+y2）+8=8x，令 y=0，则x=1 即可得到定点【解答】解：（）设圆心 C（x，y） （x0） ，过点 C 作 CEy 轴，垂足为 E，则|ME|=|MN|，|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，（x4）2+y2=42+x2，化为 y2=8x当 x=0 时，也满足上式动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x（）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由题意可知 y1+y20，y1y20.，x 轴是PBQ 的角平分线，kPB=kQB，化为 8+y1y2=0第 23 页（共 25 页）直线 PQ 的方程为，化为，化为，y（y1+y2）+8=8x，令 y=0，则 x=1，直线 PQ 过 定点（1，0）【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题23 （14 分）已知函数 f（x）=ex，xR（） 若直线 y=kx+1 与 f （x）的反函数 g（x）=lnx 的图象相切，求实数 k 的值；（） 设 x0，讨论曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m0）公共点的个数（） 设 ab，比较与的大小，并说明理由【分析】 （I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；（II）由 f（x）=mx2，令 h（x）=，利用导数研究函数 h（x）的单调性即可得出；第 24 页（共 25 页）（III）利用作差法得 =，令 g（x）=x+2+（x2）ex（x0） ，利用导数研究其单调性即可证明【解答】解：（I）函数 f（x）=ex的反函数为 g（x）=lnx，设直线 y=kx+1 与 g（x）的图象相切于点 P（x0，y0） ，则，解得，k=e2，k=e2（II）当 x0，m0 时，令 f（x）=mx2，化为 m=，令 h（x）=，则，则 x（0，2）时，h（x）0，h（x）单调递减；x（2，+）时，h（x）0，h（x）单调递增当 x=2 时，h（x）取得极小值即最小值，当时，曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m0）公共点的个数为0；当时，曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m0）公共点的个数为 1；当时，曲线 y=f （x） 与曲线 y=mx2（m0）公共点个数为 2（） =，令 g（x）=x+2+（x2）ex（x0） ，则 g（x）=1+（x1）exg（x）=xex0，g（x）在（0，+）上单调递增，且 g（0）=0，第 25 页（共 25 页）g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递增，而 g（0）=0，在（0，+）上，有 g（x）g（0）=0当 x0 时，g（x）=x+2+（x2）ex0，且 ab，即当 ab 时，【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力