2014年湖北省高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 28 页）2014 年湖北省高考数学试卷（理科）年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）i 为虚数单位， （）2=（ ）A1B1CiDi2 （5 分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是 84，则实数 a=（ ）A2BC1D3 （5 分）设 U 为全集，A，B 是集合，则“存在集合 C 使得 AC，BUC”是“AB=”的（ ）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要条件4 （5 分）根据如下样本数据，得到回归方程 =bx+a，则（ ）x3 45678y4.02.50.50.52.03.0Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b05 （5 分）在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2） ， （2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） ，给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）第 2 页（共 28 页）A和 B和 C和 D和6 （5 分）若函数 f（x） ，g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则 f（x） ，g（x）为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f（x）=sinx，g（x）=cosx；f（x）=x+1，g（x）=x1；f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间1，1上的正交函数的组数是（ ）A0B1C2D37 （5 分）由不等式组确定的平面区域记为 1，不等式组确定的平面区域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为（ ）ABCD8 （5 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）ABCD9 （5 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点且F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）ABC3D210 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2） ，若xR，f（x1）f（x） ，则实数 a 的取值范围为（ 第 3 页（共 28 页）A，B， C，D，二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分11 （5 分）设向量 =（3，3） ， =（1，1） ，若（ + ）（ ） ，则实数 = 12 （5 分）直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x+b 将单位圆 C：x2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= 13 （5 分）设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字三位数，将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I（a） ，按从大到小排成的三位数记为D（a） （例如 a=815，则 I（a）=158，D（a）=851） ，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a，输出的结果 b= 三、解答题三、解答题14设 f（x）是定义在（0，+）上的函数，且 f（x）0，对任意a0，b0，若经过点（a，f（a） ） ， （b，f（b） ）的直线与 x 轴的交点为（c，0） ，则称 c 为关于函数 f（x）的平均数，记为 Mf（a，b） ，例如，当f（x）=1（x0）时，可得 Mf（a，b）=c=，即 Mf（a，b）为 a，b 的算术平均数第 4 页（共 28 页）（1）当 f（x）= （x0）时，Mf（a，b）为 a，b 的几何平均数；（2）当 f（x）= （x0）时，Mf（a，b）为 a，b 的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15如图，P 为O 外一点，过 P 点作O 的两条切线，切点分别为 A，B，过PA 的中点 Q 作割线交O 于 C，D 两点，若 QC=1，CD=3，则 PB= 16已知曲线 C1的参数方程是（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 =2，则 C1与 C2交点的直角坐标为 17 （11 分）某实验室一天的温度（单位：）随时间 t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10，t0，24）（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？18 （12 分）已知等差数列an满足：a1=2，且 a1，a2，a5成等比数列（）求数列an的通项公式；（）记 Sn为数列an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn60n+800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由19 （12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1上移动，且DP=BQ=（02）（）当 =1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；（）是否存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由第 5 页（共 28 页）20 （12 分）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水年入流量 X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立（1）求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：年入流量 X40X8080X120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为 1000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 160 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F（1，0）的距离比它到 y轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C（）求轨迹 C 的方程；（）设斜率为 k 的直线 l 过定点 P（2，1） ，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围22 （14 分） 为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数（）求函数 f（x）=的单调区间；（）求 e3，3e，e，e，3，3这 6 个数中的最大数和最小数；第 6 页（共 28 页）（）将 e3，3e，e，e，3，3这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论第 7 页（共 28 页）2014 年湖北省高考数学试卷（理科）年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）i 为虚数单位， （）2=（ ）A1B1CiDi【分析】可先计算出的值，再计算平方的值【解答】解：由于，所以， （）2=（i）2=1故选：A【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2 （5 分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是 84，则实数 a=（ ）A2BC1D【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过 x 幂指数为3，求出 a 即可【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中 x3项的系数为 84，所以 Tr+1=，令7+2r=3，解得 r=2，代入得：，解得 a=1，故选：C【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查第 8 页（共 28 页）3 （5 分）设 U 为全集，A，B 是集合，则“存在集合 C 使得 AC，BUC”是“AB=”的（ ）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果【解答】解：由题意 AC，则UCUA，当 BUC，可得“AB=”；若“AB=”能推出存在集合 C 使得 AC，BUC，U 为全集，A，B 是集合，则“存在集合 C 使得 AC，BUC”是“AB=”的充分必要的条件故选：C【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题4 （5 分）根据如下样本数据，得到回归方程 =bx+a，则（ ）x3 45678y4.02.50.50.52.03.0Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a 的符号【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以 b0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以 a0故选：B【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查5 （5 分）在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2） ， （2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） ，给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）第 9 页（共 28 页）A和 B和 C和 D和【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为，故选：D【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题6 （5 分）若函数 f（x） ，g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则 f（x） ，g（x）为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f（x）=sinx，g（x）=cosx；f（x）=x+1，g（x）=x1；f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间1，1上的正交函数的组数是（ ）第 10 页（共 28 页）A0B1C2D3【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论【解答】解：对于：sinxcosxdx=（sinx）dx=cosx=0，f（x） ，g（x）为区间1，1上的一组正交函数；对于：（x+1） （x1）dx=（x21）dx=（）0，f（x） ，g（x）不是区间1，1上的一组正交函数；对于：x3dx=（）=0，f（x） ，g（x）为区间1，1上的一组正交函数，正交函数有 2 组，故选：C【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题7 （5 分）由不等式组确定的平面区域记为 1，不等式组确定的平面区域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为（ ）ABCD【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论【解答】解：平面区域 1，为三角形 AOB，面积为，平面区域 2，为AOB 内的四边形 BDCO，其中 C（0，1） ，由，解得，即 D（，） ，则三角形 ACD 的面积 S=，第 11 页（共 28 页）则四边形 BDCO 的面积 S=，则在 1中随机取一点，则该点恰好在 2内的概率为，故选：D【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键8 （5 分） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）ABCD【分析】根据近似公式 VL2h，建立方程，即可求得结论【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则 L=2r，=（2r）2h，=第 12 页（共 28 页）故选：B【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题9 （5 分）已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点且F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）ABC3D2【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论【解答】解：设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1， （aa1） ，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2F1PF2=，由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即 4c2=4a23r1r2，即，在双曲线中，化简为即 4c2=4a12+r1r2，即，联立得，=4，由柯西不等式得（1+） （）（1×+）2，即（）=即，d 当且仅当时取等号，第 13 页（共 28 页）法 2：设椭圆的长半轴为 a1，双曲线的实半轴为 a2， （a1a2） ，半焦距为 c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2F1PF2=，由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos=（r1）2+（r2）2r1r2，由，得，=，令 m=，当时，m，即的最大值为，法 3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则 a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°）=故选：A【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键难度较大第 14 页（共 28 页）10 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2） ，若xR，f（x1）f（x） ，则实数 a 的取值范围为（ ）A，B， C，D，【分析】把 x0 时的 f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得 x0 时的函数的最大值，由对xR，都有 f（x1）f（x） ，可得2a2（4a2）1，求解该不等式得答案【解答】解：当 x0 时，f（x）=，由 f（x）=x3a2，x2a2，得 f（x）a2；当 a2x2a2时，f（x）=a2；由 f（x）=x，0xa2，得 f（x）a2当 x0 时，函数 f（x）为奇函数，当 x0 时，对xR，都有 f（x1）f（x） ，2a2（4a2）1，解得：故实数 a 的取值范围是故选：B第 15 页（共 28 页）【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对xR，都有 f（x1）f（x）得到不等式2a2（4a2）1，是中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分11 （5 分）设向量 =（3，3） ， =（1，1） ，若（ + ）（ ） ，则实数 = ±3 【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论【解答】解：向量 =（3，3） ， =（1，1） ，向量| |=3，| |=，向量 =33=0，若（ + ）（ ） ，则（ + ）（ ）=，即 1822=0，则 2=9，解得 =±3，故答案为：±3，【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础12 （5 分）直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x+b 将单位圆 C：x2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= 2 【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即=cos45°，由此求得 a2+b2的值【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，=cos45°=，a2+b2=2，第 16 页（共 28 页）故答案为：2【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到=cos45°是解题的关键，属于基础题13 （5 分）设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字三位数，将组成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I（a） ，按从大到小排成的三位数记为D（a） （例如 a=815，则 I（a）=158，D（a）=851） ，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 a，输出的结果 b= 495 【分析】给出一个三位数的 a 值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的 a 值，可得答案【解答】解：由程序框图知：例当 a=123，第一次循环a=123，b=321123=198；第二次循环 a=198，b=981189=792；第三次循环 a=792，b=972279=693；第四次循环 a=693，b=963369=594；第五次循环 a=594，b=954459=495；第六次循环 a=495，b=954459=495，满足条件 a=b，跳出循环体，输出 b=495第 17 页（共 28 页）故答案为：495【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法三、解答题三、解答题14设 f（x）是定义在（0，+）上的函数，且 f（x）0，对任意a0，b0，若经过点（a，f（a） ） ， （b，f（b） ）的直线与 x 轴的交点为（c，0） ，则称 c 为关于函数 f（x）的平均数，记为 Mf（a，b） ，例如，当f（x）=1（x0）时，可得 Mf（a，b）=c=，即 Mf（a，b）为 a，b 的算术平均数（1）当 f（x）= （x0）时，Mf（a，b）为 a，b 的几何平均数；（2）当 f（x）= x （x0）时，Mf（a，b）为 a，b 的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【分析】 （1）设 f（x）=， （x0） ，在经过点（a，） 、 （b，）的直线方程中，令 y=0，求得 x=c=，从而得出结论（2）设 f（x）=x， （x0） ，在经过点（a，a） 、 （b，b）的直线方程中，令y=0，求得 x=c=，从而得出结论【解答】解：（1）设 f（x）=， （x0） ，则经过点（a，） 、 （b，）的直线方程为=，令 y=0，求得 x=c=，当 f（x）=， （x0）时，Mf（a，b）为 a，b 的几何平均数，故答案为：（2）设 f（x）=x， （x0） ，则经过点（a，a） 、 （b，b）的直线方程为=，令 y=0，求得 x=c=，第 18 页（共 28 页）当 f（x）=x（x0）时，Mf（a，b）为 a，b 的调和平均数，故答案为：x【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题15如图，P 为O 外一点，过 P 点作O 的两条切线，切点分别为 A，B，过PA 的中点 Q 作割线交O 于 C，D 两点，若 QC=1，CD=3，则 PB= 4 【分析】利用切割线定理可得 QA2=QCQD，可求 QA，可得 PA，利用圆的切线长定理，可得 PB【解答】解：QA 是O 的切线，QA2=QCQD，QC=1，CD=3，QA2=4，QA=2，PA=4，PA，PB 是O 的切线，PB=PA=4故答案为：4【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题16已知曲线 C1的参数方程是（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 =2，则 C1与 C2交点第 19 页（共 28 页）的直角坐标为 （，1） 【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 C1与 C2交点的直角坐标【解答】解：把曲线 C1的参数方程是（t 为参数） ，消去参数化为直角坐标方程为 x2=3y2 （x0，y0） ，即 y=x （x0） 曲线 C2的极坐标方程是 =2，化为直角坐标方程为 x2+y2=4解方程组 ，再结合 x0、y0，求得 ，C1与 C2交点的直角坐标为（，1） ，故答案为：（，1） 【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题17 （11 分）某实验室一天的温度（单位：）随时间 t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10，t0，24）（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？【分析】 （）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为 f（t）102sin（t+） ，t0，24） ，利用正弦函数的定义域和值域求得 f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差（）由题意可得，当 f（t）11 时，需要降温，由 f（t）11，求得 sin（t+），即 t+，解得 t 的范围，可得结论【解答】解：（）f（t）=10=102sin（t+） ，t0，24） ，t+，故当t+=时，及 t=14 时，函数取得最大值为第 20 页（共 28 页）10+2=12，当t+=时，即 t=2 时，函数取得最小值为 102=8，故实验室这一天的最大温差为 128=4（）由题意可得，当 f（t）11 时，需要降温，由（）可得 f（t）=102sin（t+） ，由 102sin（t+）11，求得 sin（t+），即 t+，解得 10t18，即在 10 时到 18 时，需要降温【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题18 （12 分）已知等差数列an满足：a1=2，且 a1，a2，a5成等比数列（）求数列an的通项公式；（）记 Sn为数列an的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn60n+800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由【分析】 （）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得 d，则数列的通项公式可得（）利用（）中数列的通项公式，表示出 Sn根据 Sn60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断【解答】解：（）设数列an的公差为 d，依题意，2，2+d，2+4d 成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d） ，化简得 d24d=0，解得 d=0 或 4，当 d=0 时，an=2，当 d=4 时，an=2+（n1）4=4n2（）当 an=2 时，Sn=2n，显然 2n60n+800，此时不存在正整数 n，使得 Sn60n+800 成立，第 21 页（共 28 页）当 an=4n2 时，Sn=2n2，令 2n260n+800，即 n230n4000，解得 n40，或 n10（舍去） ，此时存在正整数 n，使得 Sn60n+800 成立，n 的最小值为 41，综上，当 an=2 时，不存在满足题意的正整数 n，当 an=4n2 时，存在满足题意的正整数 n，最小值为 41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆19 （12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1上移动，且DP=BQ=（02）（）当 =1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；（）是否存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由【分析】 （）建立坐标系，求出=2，可得 BC1FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线 BC1平面 EFPQ；（）求出平面 EFPQ 的一个法向量、平面 MNPQ 的一个法向量，利用面 EFPQ与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论【解答】 （）证明：以 D 为原点，射线 DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立坐标系，则 B（2，2，0） ，C1（0，2，2） ，E（2，1，0） ，第 22 页（共 28 页）F（1，0，0） ，P（0，0，） ，=（2，0，2） ，=（1，0，） ，=（1，1，0）=1 时，=（2，0，2） ，=（1，0，1） ，=2，BC1FP，FP平面 EFPQ，BC1平面 EFPQ，直线 BC1平面 EFPQ；（）设平面 EFPQ 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则，取 =（，1） 同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 =（2，2，1） ，若存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则 =（2）（2）+1=0，=1±存在 =1±，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用20 （12 分）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水年入流量 X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且第 23 页（共 28 页）不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立（1）求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：年入流量 X40X8080X120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为 1000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 160 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【分析】 （1）依题意，p1=0.2，p2=0.7，p3=0.1由二项分布能求出在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率（2）记水电站年总利润为 Y，分别求出安装 1 台、2 台、3 台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机【解答】解：（1）依题意，p1=P（40X80）=0.2，p2=P（80X120）=0.7，p3=P（X120）=0.1由二项分布得，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为p=（1p3）4+（1p3）3p3=0.94+4×0.93×0.1=0.9477（5 分）（2）记水电站年总利润为 Y（单位：万元） 安装 1 台发电机的情形由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润Y=1000，E（Y）=1000×1=1000（7 分）安装 2 台发电机的情形依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y=1000160=840，因此第 24 页（共 28 页）P（Y=840）=P（40X80）=p1=0.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y=1000×2=2 000，因此 P（Y=2 000）=P（X80）=p2+p3=0.8由此得 Y 的分布列如下：Y8402 000P0.20.8所以，E（Y）=840×0.2+2 000×0.8=1768（9 分）安装 3 台发电机的情形依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y=1000320=680，因此 P（Y=680）=P（40X80）=p1=0.2；当 80X120 时，两台发电机运行，此时 Y=1000×2160=1840，因此 P（Y=1840）=P（80X120）=p2=0.7；当 X120 时，三台发电机运行，此时 Y=1000×3=3 000，因此 P（Y=3 000）=P（X120）=p3=0.1由此得 Y 的分布列如下：Y68018403 000P0.20.70.1所以，E（Y）=680×0.2+1840×0.7+3 000×0.1=1724（11 分）综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台（12 分）【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用21 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F（1，0）的距离比它到 y轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C（）求轨迹 C 的方程；（）设斜率为 k 的直线 l 过定点 P（2，1） ，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围第 25 页（共 28 页）【分析】 （）设出 M 点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到 M 的轨迹 C 的方程；（）设出直线 l 的方程为 y1=k（x+2） ，和（）中的轨迹方程联立化为关于y 的一元二次方程，求出判别式，再在直线 y1=k（x+2）中取 y=0 得到然后分判别式小于 0、等于 0、大于 0 结合 x00 求解使直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围【解答】解：（）设 M（x，y） ，依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x点 M 的轨迹 C 的方程为；（）在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y2=4x（x0） ，C2：y=0（x0） 依题意，可设直线 l 的方程为 y1=k（x+2） 由方程组，可得 ky24y+4（2k+1）=0当 k=0 时，此时 y=1，把 y=1 代入轨迹 C 的方程，得故此时直线 l：y=1 与轨迹 C 恰好有一个公共点（） 当 k0 时，方程 ky24y+4（2k+1）=0 的判别式为=16（2k2+k1） 设直线 l 与 x 轴的交点为（x0，0） ，则由 y1=k（x+2） ，取 y=0 得若，解得 k1 或 k即当 k时，直线 l 与 C1没有公共点，与 C2有一个公共点，故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点第 26 页（共 28 页）若或，解得 k=1 或 k=或即当 k=1 或 k=时，直线 l 与 C1只有一个公共点，与 C2有一个公共点当时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2无公共点故当 k=1 或 k=或时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点若，解得1k或 0k即当1k或 0k时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2有一个公共点此时直线 l 与 C 恰有三个公共点综上，当 k0时，直线 l 与 C 恰有一个公共点；当 k1，时，直线 l 与 C 恰有两个公共点；当 k时，直线 l 与轨迹 C 恰有三个公共点【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题22 （14 分） 为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数（）求函数 f（x）=的单调区间；（）求 e3，3e，e，e，3，3这 6 个数中的最大数和最小数；（）将 e3，3e，e，e，3，3这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论【分析】 （）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式 f（x）0，f（x）0 即可得到单调增、减区间；（）由 e3，得 eln3eln，lneln3，即 ln3elne，lneln3再根据函数 y=lnx，y=ex，y=x在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3，从而六个数的最大数在 3与 3之中，最小数在 3e与e3之中由 e3 及（）的结论，得 f（）f（3）f（e） ，即第 27 页（共 28 页），由此进而得到结论；（）由（）可知，3ee33，3ee3，又由（）知，得 ee，故只需比较 e3与 e和 e与 3的大小由（）可得 0xe 时， ，令 x=，有 ln，从而 2ln，即得 ln，由还可得 lnelne3，3ln，由此易得结论；【解答】解：（）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）=，f（x）=，当 f（x）0，即 0xe 时，函数 f（x）单调递增；当 f（x）0，即 xe 时，函数 f（x）单调递减故函数 f（x）的单调递增区间为（0，e） ，单调递减区间为（e，+） （）e3，eln3eln，lneln3，即 ln3elne，lneln3于是根据函数 y=lnx，y=ex，y=x在定义域上单调递增，可得3ee3，e3e3，故这六个数的最大数在 3与 3之中，最小数在 3e与 e3之中由 e3 及（）的结论，得 f（）f（3）f（e） ，即，由，得 ln3ln3，33；由，得 ln3elne3，3ee3综上，6 个数中的最大数是 3，最小数是 3e（）由（）知，3ee33，3ee3，又由（）知，得 ee，故只需比较 e3与 e和 e与 3的大小由（）知，当 0xe 时，f（x）f（e）=，即在上式中，令 x=，又，则 ln，第 28 页（共 28 页）从而 2ln，即得 ln由得，elne（2）2.7