2014年上海市高考数学试卷（文科）.doc

第 1 页（共 21 页）2014 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 题，满分题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。分，否则一律得零分。1 （4 分）函数 y=12cos2（2x）的最小正周期是 2 （4 分）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（z+） = 3 （4 分）设常数 aR，函数 f（x）=|x1|+|x2a|，若 f（2）=1，则 f（1）= 4 （4 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 5 （4 分）某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名，1200 名，800 名为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 6 （4 分）若实数 x，y 满足 xy=1，则 x2+2y2的最小值为 7 （4 分）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）8 （4 分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 9 （4 分）设 f（x）=，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为 第 2 页（共 21 页）10 （4 分）设无穷等比数列an的公比为 q，若 a1=（a3+a4+an） ，则 q= 11 （4 分）若 f（x）=，则满足 f（x）0 的 x 的取值范围是 12 （4 分）方程 sinx+cosx=1 在闭区间0，2上的所有解的和等于 13 （4 分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 （结果用最简分数表示） 14 （4 分）已知曲线 C：x=，直线 l：x=6，若对于点 A（m，0） ，存在C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得+= ，则 m 的取值范围为 二、选择题（共二、选择题（共 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得分）每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，分，否则一律得零分否则一律得零分15 （5 分）设 a，bR，则“a+b4”是“a2 且 b2”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16 （5 分）已知互异的复数 a，b 满足 ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=（ ）A2B1C0D117 （5 分）如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，7）是小正方形的其余顶点，则（i=1，2，7）的不同值的个数为（ ）A7B5C3D1第 3 页（共 21 页）18 （5 分）已知 P1（a1，b1）与 P2（a2，b2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组的解的情况是（ ）A无论 k，P1，P2如何，总是无解B无论 k，P1，P2如何，总有唯一解C存在 k，P1，P2，使之恰有两解D存在 k，P1，P2，使之有无穷多解三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分）19 （12 分）底面边长为 2 的正三棱锥 PABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积 V20 （14 分）设常数 a0，函数 f（x）=（1）若 a=4，求函数 y=f（x）的反函数 y=f1（x） ；（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f（x）的奇偶性，并说明理由21 （14 分）如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端，AC 长 35 米，CB 长 80 米，设点 A、B 在同一水平面上，从 A和 B 看 D 的仰角分别为 和 （1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求 2，问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 =38.12°，=18.45°，求CD 的长（结果精确到 0.01 米） 22 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l：ax+by+c=0 和点第 4 页（共 21 页）P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，记 =（ax1+by1+c） （ax2+by2+c） ，若 0，则称点P1，P2被直线 l 分隔，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1、P2被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线（1）求证：点 A（1，2） ，B（1，0）被直线 x+y1=0 分隔；（2）若直线 y=kx 是曲线 x24y2=1 的分隔线，求实数 k 的取值范围；（3）动点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E，求 E 的方程，并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线23 （18 分）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若 a2=2，a3=x，a4=9，求 x 的取值范围；（2）若an是等比数列，且 am=，求正整数 m 的最小值，以及 m 取最小值时相应an的公比；（3）若 a1，a2，a100成等差数列，求数列 a1，a2，a100的公差的取值范围第 5 页（共 21 页）2014 年上海市高考数学试卷（文科）年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 题，满分题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。分，否则一律得零分。1 （4 分）函数 y=12cos2（2x）的最小正周期是 【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期【解答】解：y=12cos2（2x）=2cos2（2x）1=cos4x，函数的最小正周期为 T=故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题2 （4 分）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（z+） = 6 【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可【解答】解：复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（z+） =（1+2i） （12i）+1=14i2+1=2+4=6故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查第 6 页（共 21 页）3 （4 分）设常数 aR，函数 f（x）=|x1|+|x2a|，若 f（2）=1，则 f（1）= 3 【分析】利用 f（x）=|x1|+|x2a|，f（2）=1，求出 a，然后求解 f（1）即可【解答】解：常数 aR，函数 f（x）=|x1|+|x2a|，若 f（2）=1，1=|21|+|22a|，a=4，函数 f（x）=|x1|+|x24|，f（1）=|11|+|124|=3，故答案为：3【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查4 （4 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=2 【分析】由题设中的条件 y2=2px（p0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0） ，又 y2=2px（p0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2 得 p=4，抛物线的准线方程为 x=2故答案为：x=2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题第 7 页（共 21 页）5 （4 分）某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名，1200 名，800 名为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 70 【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论【解答】解：高一、高二、高三分别有学生 1600 名，1200 名，800 名，若高三抽取 20 名学生，设共需抽取的学生数为 x，则，解得 x=90，则高一、高二共需抽取的学生数为 9020=70，故答案为：70【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础6 （4 分）若实数 x，y 满足 xy=1，则 x2+2y2的最小值为 2 【分析】由已知可得 y=，代入要求的式子，由基本不等式可得【解答】解：xy=1，y=x2+2y2=x2+2=2，当且仅当 x2=，即 x=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题7 （4 分）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与轴所成角的大小为 arcsin （结果用反三角函数值表示）【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴第 8 页（共 21 页）所成角【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为 ，圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，=3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则 sin=，=arcsin，故答案为：arcsin【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，是解答的关键8 （4 分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 24 【分析】由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可知：大长方体的长，宽，高分别为：3，4，5，故大长方体的体积为：60，第 9 页（共 21 页）切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为 3 的柱体，其底面面积为 4×52×2×2×2=12，故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36，故切割掉的两个小长方体的体积之和为：6036=24，故答案为：24【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键9 （4 分）设 f（x）=，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为 （，2 【分析】分别由 f（0）=a，x2，ax+综合得出 a 的取值范围【解答】解：当 x=0 时，f（0）=a，由题意得：ax+，又x+2=2，a2，故答案为：（，2【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题10 （4 分）设无穷等比数列an的公比为 q，若 a1=（a3+a4+an） ，则 q= 【分析】由已知条件推导出 a1=，由此能求出 q 的值【解答】解：无穷等比数列an的公比为 q，a1=（a3+a4+an）第 10 页（共 21 页）=（a1a1q）=，q2+q1=0，解得 q=或 q=（舍） 故答案为：【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用11 （4 分）若 f（x）=，则满足 f（x）0 的 x 的取值范围是 （0，1） 【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可【解答】解：f（x）=，若满足 f（x）0，即，y=是增函数，的解集为：（0，1） 故答案为：（0，1） 【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力12 （4 分）方程 sinx+cosx=1 在闭区间0，2上的所有解的和等于 【分析】由三角函数公式可得 sin（x+）=，可知 x+=2k+，或第 11 页（共 21 页）x+=2k+，kZ，结合 x0，2，可得 x 值，求和即可【解答】解：sinx+cosx=1，sinx+cosx=，即 sin（x+）=，可知 x+=2k+，或 x+=2k+，kZ，又x0，2，x=，或 x=，+=故答案为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题13 （4 分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 （结果用最简分数表示） 【分析】要求在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，选择的 3天恰好为连续 3 天的概率，须先求在 10 天中随机选择 3 天的情况，再求选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况，即可得到答案【解答】解：在未来的连续 10 天中随机选择 3 天共有种情况，其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种，分别是（1，2，3） ， （2，3，4） ，（3，4，5） ， （4，5，6） ，（5，6，7） ， （6，7，8） ， （7，8，9） ， （8，9，10） ，选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是，故答案为：【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题第 12 页（共 21 页）14 （4 分）已知曲线 C：x=，直线 l：x=6，若对于点 A（m，0） ，存在C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得+= ，则 m 的取值范围为 2，3 【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+= ，说明 A 是 PQ 的中点，结合 x 的范围，求出 m 的范围即可【解答】解：曲线 C：x=，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP2，0，对于点 A（m，0） ，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得+= ，说明 A 是 PQ 的中点，Q 的横坐标 x=6，m=2，3故答案为：2，3【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想二、选择题（共二、选择题（共 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得分）每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，分，否则一律得零分否则一律得零分15 （5 分）设 a，bR，则“a+b4”是“a2 且 b2”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定【解答】解：当 a=5，b=0 时，满足 a+b4，但 a2 且 b2 不成立，即充分性不成立，若 a2 且 b2，则必有 a+b4，即必要性成立，故“a+b4”是“a2 且 b2”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础16 （5 分）已知互异的复数 a，b 满足 ab0，集合a，b=a2，b2，则第 13 页（共 21 页）a+b=（ ）A2B1C0D1【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论【解答】解：根据集合相等的条件可知，若a，b=a2，b2，则或，由得，ab0，a0 且 b0，即 a=1，b=1，此时集合1，1不满足条件由得，若 b=a2，a=b2，则两式相减得 a2b2=ba，即（ab） （a+b）=（ab） ，互异的复数 a，b，ab0，即 a+b=1，故选：D【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论17 （5 分）如图，四个边长为 1 的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，7）是小正方形的其余顶点，则（i=1，2，7）的不同值的个数为（ ）A7B5C3D1【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案【解答】解：如图建立平面直角坐标系，第 14 页（共 21 页）则 A（0，0） ，B（0，2） ，P1（0，1） ，P2（1，0） ，P3（1，1） ，P4（1，2） ，P5（2，0） ，P6（2，1） ，P7（2，2） ，=（0，1） ，=（1，0） ，=（1，1） ，=（1，2） ，=（2，0） ，=（2，1） ，=（2，2） ，=2，=0，=2，=4，=0，=2，=4，（i=1，2，7）的不同值的个数为 3，故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属基础题18 （5 分）已知 P1（a1，b1）与 P2（a2，b2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组的解的情况是（ ）A无论 k，P1，P2如何，总是无解B无论 k，P1，P2如何，总有唯一解C存在 k，P1，P2，使之恰有两解D存在 k，P1，P2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出 a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可【解答】解：P1（a1，b1）与 P2（a2，b2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y=kx+1 的斜率存在，k=，即 a1a2，并且第 15 页（共 21 页）b1=ka1+1，b2=ka2+1，a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a1，×b2×b1得：（a1b2a2b1）x=b2b1，即（a1a2）x=b2b1方程组有唯一解故选：B【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分）19 （12 分）底面边长为 2 的正三棱锥 PABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积 V【分析】利用侧面展开图三点共线，判断P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，ABP1=BAP1=CBP2，ABC=60°，ABP1=BAP1=CBP2=60°，P1=60°，同理P2=P3=60°，P1P2P3是等边三角形，PABC 是正四面体，P1P2P3的边长为 4，VPABC=【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体第 16 页（共 21 页）积的求法20 （14 分）设常数 a0，函数 f（x）=（1）若 a=4，求函数 y=f（x）的反函数 y=f1（x） ；（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f（x）的奇偶性，并说明理由【分析】 （1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出 a 的值，若为奇函数，求出 a 的值，问题得以解决【解答】解：（1）a=4，调换 x，y 的位置可得，x（，1）（1，+） （2）若 f（x）为偶函数，则 f（x）=f（x）对任意 x 均成立，=，整理可得 a（2x2x）=02x2x不恒为 0，a=0，此时 f（x）=1，xR，满足条件；若 f（x）为奇函数，则 f（x）=f（x）对任意 x 均成立，=，整理可得 a21=0，a=±1，a0，a=1，第 17 页（共 21 页）此时 f（x）=，满足条件；当 a0 且 a1 时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a=0 时，f（x）是偶函数，a=1 时，f（x）是奇函数当 a0 且a1 时，f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21 （14 分）如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端，AC 长 35 米，CB 长 80 米，设点 A、B 在同一水平面上，从 A和 B 看 D 的仰角分别为 和 （1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求 2，问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 =38.12°，=18.45°，求CD 的长（结果精确到 0.01 米） 【分析】 （1）设 CD 的长为 x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论【解答】解：（1）设 CD 的长为 x 米，则 tan=，tan=，0，tantan20，tan，即=，第 18 页（共 21 页）解得 028.28，即 CD 的长至多为 28.28 米（2）设 DB=a，DA=b，CD=m，则ADB=180°=123.43°，由正弦定理得，即 a=，m=26.93，答：CD 的长为 26.93 米【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键22 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l：ax+by+c=0 和点P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，记 =（ax1+by1+c） （ax2+by2+c） ，若 0，则称点P1，P2被直线 l 分隔，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 P1、P2被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线（1）求证：点 A（1，2） ，B（1，0）被直线 x+y1=0 分隔；（2）若直线 y=kx 是曲线 x24y2=1 的分隔线，求实数 k 的取值范围；（3）动点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E，求 E 的方程，并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线【分析】 （1）把 A、B 两点的坐标代入 =（ax1+by1+c） （ax2+by2+c） ，再根据0，得出结论（2）联立 可得 （14k2）x2=1，根据此方程无解，可得 14k20，从而求得 k 的范围（3）设点 M（x，y） ，与条件求得曲线 E 的方程为x2+（y2）2x2=1 由于y 轴为 x=0，显然与方程联立无解把 P1、P2的坐标代入 x=0，由=1×（1）=10，可得 x=0 是一条分隔线第 19 页（共 21 页）【解答】解：（1）把点（1，2） 、 （1，0）分别代入 x+y1 可得 =（1+21）（11）=40，点（1，2） 、 （1，0）被直线 x+y1=0 分隔（2）联立 可得 （14k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有14k20，|k|当|k|时，对于直线 y=kx，曲线 x24y2=1 上的点（1，0）和（1，0）满足 =k20，即点（1，0）和（1，0）被 y=kx 分隔故实数 k 的取值范围是（，+） （3）设点 M（x，y） ，则 |x|=1，故曲线 E 的方程为x2+（y2）2x2=1 对任意的 y0， （0，y0）不是上述方程的解，即 y 轴与曲线 E 没有公共点 又曲线 E 上的点（1，2） 、 （1，2）对于 y 轴（x=0）满足 =1×（1）=10，即点（1，2）和（1，2）被 y 轴分隔，所以 y 轴为曲线 E 的分隔线【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题23 （18 分）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若 a2=2，a3=x，a4=9，求 x 的取值范围；（2）若an是等比数列，且 am=，求正整数 m 的最小值，以及 m 取最小值时相应an的公比；（3）若 a1，a2，a100成等差数列，求数列 a1，a2，a100的公差的取值范围【分析】 （1）由题意可得：，代入解出即可；第 20 页（共 21 页）（2）设公比为 q，由已知可得，由于，可得而，可得，再利用对数的运算法则和性质即可得出（3）设公差为 d，由已知可得31+（n2）d，其中2n100，即，解出即可【解答】解；（1）由题意可得：，；又，3x27综上可得：3x6（2）设公比为 q，由已知可得，又，因此，m=1logq1000=1=7.29m 的最小值是 8，因此 q7=，=（3）设公差为 d，由已知可得1+nd31+（n1）d即，令 n=1，得当 2n99 时，不等式即，综上可得：公差 d 的取值范围是【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于第 21 页（共 21 页）难题