2014年四川省高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 26 页）2014 年四川省高考数学试卷（理科）年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给处的四个分在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|x2x20，集合 B 为整数集，则 AB=（ ）A1，0，1，2B2，1，0，1 C0，1 D1，02 （5 分）在 x（1+x）6的展开式中，含 x3项的系数为（ ）A30B20C15D103 （5 分）为了得到函数 y=sin（2x+1）的图象，只需把 y=sin2x 的图象上所有的点（ ）A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度C向左平行移动 1 个单位长度 D向右平行移动 1 个单位长度4 （5 分）若 ab0，cd0，则一定有（ ）ABCD5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，yR，那么输出的 S 的最大值为（ ）A0B1C2D36 （5 分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）第 2 页（共 26 页）A192 种B216 种C240 种D288 种7 （5 分）平面向量 =（1，2） ， =（4，2） ， =m + （mR） ，且 与 的夹角等于 与 的夹角，则 m=（ ）A2B1C1D28 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P在线段 CC1上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是（ ）A，1B，1C，D，19 （5 分）已知 f（x）=ln（1+x）ln（1x） ，x（1，1） 现有下列命题：f（x）=f（x） ；f（）=2f（x）|f（x）|2|x|其中的所有正确命题的序号是（ ）A BCD10 （5 分）已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，=2（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（ ）A2B3CD二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）复数= 12 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1）时，第 3 页（共 26 页）f（x）=，则 f（）= 13 （5 分）如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46m，则河流的宽度 BC 约等于 m （用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73）14 （5 分）设 mR，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线mxym+3=0 交于点 P（x，y） 则|PA|PB|的最大值是 15 （5 分）以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数 （x） ，存在一个正数 M，使得函数 （x）的值域包含于区间M，M例如，当 1（x）=x3，2（x）=sinx 时，1（x）A，2（x）B现有如下命题：设函数 f（x）的定义域为 D，则“f（x）A”的充要条件是“bR，aD，f（a）=b”；函数 f（x）B 的充要条件是 f（x）有最大值和最小值；若函数 f（x） ，g（x）的定义域相同，且 f（x）A，g（x）B，则 f（x）+g（x）B若函数 f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，则 f（x）B其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤16 （12 分）已知函数 f（x）=sin（3x+） （1）求 f（x）的单调递增区间；第 4 页（共 26 页）（2）若 是第二象限角，f（）=cos（+）cos2，求 cossin 的值17 （12 分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得200 分） 设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立（1）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因18 （12 分）三棱锥 ABCD 及其侧视图、俯视图如图所示，设 M，N 分别为线段 AD，AB 的中点，P 为线段 BC 上的点，且 MNNP（1）证明：P 是线段 BC 的中点；（2）求二面角 ANPM 的余弦值19 （12 分）设等差数列an的公差为 d，点（an，bn）在函数 f（x）=2x的图象上（nN*） （1）若 a1=2，点（a8，4b7）在函数 f（x）的图象上，求数列an的前 n 项和Sn；（2）若 a1=1，函数 f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在 x 轴上的截距为 2，求数列的前 n 项和 Tn第 5 页（共 26 页）20 （13 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x=3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） ；当最小时，求点 T 的坐标21 （14 分）已知函数 f（x）=exax2bx1，其中 a，bR，e=2.71828为自然对数的底数（1）设 g（x）是函数 f（x）的导函数，求函数 g（x）在区间0，1上的最小值；（2）若 f（1）=0，函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，求 a 的取值范围第 6 页（共 26 页）2014 年四川省高考数学试卷（理科）年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给处的四个分在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|x2x20，集合 B 为整数集，则 AB=（ ）A1，0，1，2B2，1，0，1 C0，1 D1，0【分析】计算集合 A 中 x 的取值范围，再由交集的概念，计算可得【解答】解：A=x|1x2，B=Z，AB=1，0，1，2故选：A【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分2 （5 分）在 x（1+x）6的展开式中，含 x3项的系数为（ ）A30B20C15D10【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第 r+1 项，令 x 的指数为2 求出展开式中 x2的系数然后求解即可【解答】解：（1+x）6展开式中通项 Tr+1=C6rxr，令 r=2 可得，T3=C62x2=15x2，（1+x）6展开式中 x2项的系数为 15，在 x（1+x）6的展开式中，含 x3项的系数为：15故选：C【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用牢记公式是基础，计算准确是关键3 （5 分）为了得到函数 y=sin（2x+1）的图象，只需把 y=sin2x 的图象上所有的第 7 页（共 26 页）点（ ）A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度C向左平行移动 1 个单位长度 D向右平行移动 1 个单位长度【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+） ，利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：y=sin（2x+1）=sin2（x+） ，把 y=sin2x 的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数 y=sin（2x+1）的图象，故选：A【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题4 （5 分）若 ab0，cd0，则一定有（ ）ABCD【分析】利用特例法，判断选项即可【解答】解：不妨令 a=3，b=1，c=3，d=1，则，A、B 不正确；，=，C 不正确，D 正确解法二：cd0，cd0，ab0，acbd，第 8 页（共 26 页）故选：D【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确5 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，yR，那么输出的 S 的最大值为（ ）A0B1C2D3【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数 S=2x+y 的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y 的最大值，画出可行域如图：第 9 页（共 26 页）当时，S=2x+y 的值最大，且最大值为 2故选：C【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键6 （5 分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A192 种B216 种C240 种D288 种【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论【解答】解：最左端排甲，共有=120 种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96 种，根据加法原理可得，共有 120+96=216 种故选：B【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题7 （5 分）平面向量 =（1，2） ， =（4，2） ， =m + （mR） ，且 与 的夹角等于 与 的夹角，则 m=（ ）A2B1C1D2【分析】由已知求出向量 的坐标，再根据 与 的夹角等于 与 的夹角，代入第 10 页（共 26 页）夹角公式，构造关于 m 的方程，解方程可得答案【解答】解：向量 =（1，2） ， =（4，2） ， =m + =（m+4，2m+2） ，又 与 的夹角等于 与 的夹角，=，=，=，解得 m=2，故选：D【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档8 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P在线段 CC1上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是（ ）A，1B，1C，D，1【分析】由题意可得：直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 的取值范围是再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：由题意可得：直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 的取值范围是不妨取 AB=2第 11 页（共 26 页）在 RtAOA1中，=sinC1OA1=sin（2AOA1）=sin2AOA1=2sinAOA1cosAOA1=，=1sin 的取值范围是故选：B【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题9 （5 分）已知 f（x）=ln（1+x）ln（1x） ，x（1，1） 现有下列命题：f（x）=f（x） ；f（）=2f（x）|f（x）|2|x|其中的所有正确命题的序号是（ ）A BCD【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案【解答】解：f（x）=ln（1+x）ln（1x） ，x（1，1） ，f（x）=ln（1x）ln（1+x）=f（x） ，即正确；f（）=ln（1+）ln（1）=ln（）ln（）=ln（第 12 页（共 26 页）=ln（）2=2ln（）=2ln（1+x）ln（1x）=2f（x） ，故正确；当 x0，1）时，|f（x）|2|x|f（x）2x0，令 g（x）=f（x）2x=ln（1+x）ln（1x）2x（x0，1） ）g（x）=+2=0，g（x）在0，1）单调递增，g（x）=f（x）2xg（0）=0，又 f（x）2x，又 f（x）与 y=2x 为奇函数，所以|f（x）|2|x|成立，故正确；故正确的命题有，故选：A【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档10 （5 分）已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，=2（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是（ ）A2B3CD【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=2 消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题【解答】解：设直线 AB 的方程为：x=ty+m，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 AB 与 x 轴的交点为 M（m，0） ，由y2tym=0，根据韦达定理有 y1y2=m，=2，x1x2+y1y2=2，第 13 页（共 26 页）结合及，得，点 A，B 位于 x 轴的两侧，y1y2=2，故 m=2不妨令点 A 在 x 轴上方，则 y10，又，SABO+SAFO×2×（y1y2）+×y1，=当且仅当，即时，取“=”号，ABO 与AFO 面积之和的最小值是 3，故选 B【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消 x 或 y 后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）复数= 2i 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果【解答】解：复数=2i，故答案为：2i第 14 页（共 26 页）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题12 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1）时，f（x）=，则 f（）= 1 【分析】由函数的周期性 f（x+2）=f（x） ，将求 f（）的值转化成求 f（）的值【解答】解：f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的函数，=1故答案为：1【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”13 （5 分）如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46m，则河流的宽度 BC 约等于 60 m （用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73）【分析】过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D，分别在 RtACD、RtABD 中利用三角函数的定义，算出 CD、BD 的长，从而可得 BC，即为河流在B、C 两地的宽度【解答】解：过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D，则 RtACD 中，C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，得 BC=60m第 15 页（共 26 页）故答案为：60m【点评】本题给出实际应用问题，求河流在 B、C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题14 （5 分）设 mR，过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线mxym+3=0 交于点 P（x，y） 则|PA|PB|的最大值是 5 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即 A 和 B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有 PAPB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|PB|的最大值【解答】解：由题意可知，动直线 x+my=0 经过定点 A（0，0） ，动直线 mxym+3=0 即 m（x1）y+3=0，经过点定点 B（1，3） ，注意到动直线 x+my=0 和动直线 mxym+3=0 始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有 PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10故|PA|PB|=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题15 （5 分）以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数 （x） ，存在一个正数 M，使得函数 （x）的值域包含于区间M，M例如，当 1（x）=x3，2（x）=sinx 时，1（x）A，2（x）B现有如下命题：第 16 页（共 26 页）设函数 f（x）的定义域为 D，则“f（x）A”的充要条件是“bR，aD，f（a）=b”；函数 f（x）B 的充要条件是 f（x）有最大值和最小值；若函数 f（x） ，g（x）的定义域相同，且 f（x）A，g（x）B，则 f（x）+g（x）B若函数 f（x）=aln（x+2）+（x2，aR）有最大值，则 f（x）B其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题是否正确，再利用导数研究命题中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论【解答】解：（1）对于命题，若对任意的 bR，都aD 使得 f（a）=b，则f（x）的值域必为 R反之，f（x）的值域为 R，则对任意的 bR，都aD 使得f（a）=b，故是真命题；（2）对于命题，若函数 f（x）B，即存在一个正数 M，使得函数 f（x）的值域包含于区间M，MMf（x）M例如：函数 f（x）满足2f（x）5，则有5f（x）5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故是假命题；（3）对于命题，若函数 f（x） ，g（x）的定义域相同，且 f（x）A，g（x）B，则 f（x）值域为 R，f（x）（，+） ，并且存在一个正数M，使得Mg（x）M故 f（x）+g（x）（，+） 则 f（x）+g（x）B，故是真命题；（4）对于命题，当 a0 或 a0 时，aln（x+2）（，+） ，f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则 a=0，此时 f（x）=，f（x）B，故是真命题故答案为【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定第 17 页（共 26 页）义概念的应用和极限思想本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤16 （12 分）已知函数 f（x）=sin（3x+） （1）求 f（x）的单调递增区间；（2）若 是第二象限角，f（）=cos（+）cos2，求 cossin 的值【分析】 （1）令 2k3x+2k+，kz，求得 x 的范围，可得函数的增区间（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（+） ，又 f（）=cos（+）cos2，可得 sin（+）=cos（+）cos2，化简可得 （cossin）2=再由 是第二象限角，cossin0，从而求得 cossin 的值【解答】解：（1）函数 f（x）=sin（3x+） ，令 2k3x+2k+，kZ，求得 x+，故函数的增区间为，+，kZ（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（+） ，又 f（）=cos（+）cos2，sin（+）=cos（+）cos2，即 sin（+）=cos（+）（cos2sin2） ，sincos+cossin=（coscossinsin） （cossin） （cos+sin）即 （sin+cos）=（cossin）2（cos+sin） ，又 是第二象限角，cossin0，第 18 页（共 26 页）当 sin+cos=0 时，tan=1，sin=，cos=，此时 cossin=当 sin+cos0 时，此时 cossin=综上所述：cossin=或【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题17 （12 分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得200 分） 设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立（1）设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因【分析】 （1）设每盘游戏获得的分数为 X，求出对应的概率，即可求 X 的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可【解答】解：（1）X 可能取值有200，10，20，100则 P（X=200）=，P（X=10）=P（X=20）=，P（X=100）=，故分布列为：X20010 20100 第 19 页（共 26 页）P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是 p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率 p=1由（1）知，每盘游戏获得的分数为 X 的数学期望是 E（X）=（200）×+10×+20××100=这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力18 （12 分）三棱锥 ABCD 及其侧视图、俯视图如图所示，设 M，N 分别为线段 AD，AB 的中点，P 为线段 BC 上的点，且 MNNP（1）证明：P 是线段 BC 的中点；（2）求二面角 ANPM 的余弦值【分析】 （1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角 ANPM 的余弦值【解答】解：（1）由三棱锥 ABCD 及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥 ABCD中：平面 ABD平面 CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设 O 为 BD 的中点，连接 OA，OC第 20 页（共 26 页）于是 OABD，OCBD 所以 BD平面 OACBDAC因为 M，N 分别为线段 AD，AB 的中点，所以 MNBD，MNNP，故 BDNP假设 P 不是线段 BC 的中点，则直线 NP 与直线 AC 是平面 ABC 内相交直线从而 BD平面 ABC，这与DBC=60°矛盾，所以 P 为线段 BC 的中点（2）以 O 为坐标原点，OB，OC，OA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A（0，0，） ，M（，O，） ，N（，0，） ，P（，0）于是，设平面 ANP 和平面 NPM 的法向量分别为和由，则，设 z1=1，则由，则，设 z2=1，则cos=所以二面角 ANPM 的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题19 （12 分）设等差数列an的公差为 d，点（an，bn）在函数 f（x）=2x的图象上（nN*） （1）若 a1=2，点（a8，4b7）在函数 f（x）的图象上，求数列an的前 n 项和Sn；（2）若 a1=1，函数 f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在 x 轴上的截距为 2，求数列的前 n 项和 Tn【分析】 （1）由于点（an，bn）在函数 f（x）=2x的图象上，可得，又等第 21 页（共 26 页）差数列an的公差为 d，利用等差数列的通项公式可得=2d由于点（a8，4b7）在函数 f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得 d再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出（2）利用导数的几何意义可得函数 f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得 a2进而得到 an，bn再利用“错位相减法”即可得出【解答】解：（1）点（an，bn）在函数 f（x）=2x的图象上，又等差数列an的公差为 d，=2d，点（a8，4b7）在函数 f（x）的图象上，=b8，=4=2d，解得 d=2又 a1=2，Sn=2n+=n23n（2）由 f（x）=2x，f（x）=2xln2，函数 f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令 y=0 可得 x=，解得 a2=2d=a2a1=21=1an=a1+（n1）d=1+（n1）×1=n，bn=2n第 22 页（共 26 页）Tn=+，2Tn=1+，两式相减得 Tn=1+=【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、 “错位相减法”，属于难题20 （13 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x=3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） ；当最小时，求点 T 的坐标【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距 2c=4 建立方程组求得 a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线 PQ 的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点 T的坐标【解答】解：（1）依题意有解得第 23 页（共 26 页）所以椭圆 C 的标准方程为+=1（2）设 T（3，t） ，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，PQ 的中点为 N（x0，y0） ，证明：由 F（2，0） ，可设直线 PQ 的方程为 x=my2，则 PQ 的斜率由（m2+3）y24my2=0，所以，于是，从而，即，则直线 ON 的斜率，又由 PQTF 知，直线 TF 的斜率，得 t=m从而，即 kOT=kON，所以 O，N，T 三点共线，从而 OT 平分线段 PQ，故得证由两点间距离公式得，由弦长公式得=，所以，令，则（当且仅当 x2=2 时，取“=”号） ，第 24 页（共 26 页）所以当 最小时，由 x2=2=m2+1，得 m=1 或 m=1，此时点 T 的坐标为（3，1）或（3，1） 【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或 y 一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题21 （14 分）已知函数 f（x）=exax2bx1，其中 a，bR，e=2.71828为自然对数的底数（1）设 g（x）是函数 f（x）的导函数，求函数 g（x）在区间0，1上的最小值；（2）若 f（1）=0，函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，求 a 的取值范围【分析】 （1）求出 f（x）的导数得 g（x） ，再求出 g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断 g（x）的单调性，求出 g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以 g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点【解答】解：f（x）=exax2bx1，g（x）=f（x）=ex2axb，又 g（x）=ex2a，x0，1，1exe，当时，则 2a1，g（x）=ex2a0，函数 g（x）在区间0，1上单调递增，g（x）min=g（0）=1b；当，则 12ae，当 0xln（2a）时，g（x）=ex2a0，当 ln（2a）x1 时，g（x）=ex2a0，函数 g（x）在区间0，ln（2a）上单调递减，在区间ln（2a） ，1上单调递第 25 页（共 26 页）增，g（x）min=gln（2a）=2a2aln（2a）b；当时，则 2ae，g（x）=ex2a0，函数 g（x）在区间0，1上单调递减，g（x）min=g（1）=e2ab，综上：函数 g（x）在区间0，1上的最小值为；（2）由 f（1）=0，eab1=0b=ea1，又 f（0）=0，若函数 f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当 a或 a时，函数 g（x）在区间0，1上单调，不可能满足“函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求若，则 gmin（x）=2a2aln（2a）b=3a2aln（2a）e+1令 h（x）= （1xe）则=，由0xh（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=0，即 gmin（x）0 恒成立，函数 f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，又，所以 e2a1，第 26 页（共 26 页）综上得：e2a1【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点是一道导数的综合题，难度较大