2014年陕西省高考数学试卷（文科）.doc

第 1 页（共 22 页）2014 年陕西省高考数学试卷（文科）年陕西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分）1 （5 分）设集合 M=x|x0，xR，N=x|x21，xR，则 MN=（ ）A0，1 B （0，1）C （0，1 D0，1）2 （5 分）函数 f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（ ）ABC2D43 （5 分）已知复数 z=2i，则 z 的值为（ ）A5BC3D4 （5 分）根据如图所示的框图，对大于 2 的整数 N，输出的数列的通项公式是（ ）Aan=2nBan=2（n1） Can=2nDan=2n15 （5 分）将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）第 2 页（共 22 页）A4B3C2D6 （5 分）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）ABCD7 （5 分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y） ”的单调递增函数是（ ）Af（x）=x3Bf（x）=3xCf（x）=xDf（x）=（）x8 （5 分）原命题为“若an，nN+，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A真、真、真 B假、假、真 C真、真、假 D假、假、假9 （5 分）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1，x2，x10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ，s2+1002B +100，s2+1002C ，s2D +100，s210 （5 分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切） ，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）Ay=x3x2x By=x3+x23xCy=x3x Dy=x3+x22x二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分）11 （5 分）抛物线 y2=4x 的准线方程是 第 3 页（共 22 页）12 （5 分）已知 4a=2，lgx=a，则 x= 13 （5 分）设 0，向量 =（sin2，cos） ， =（1，cos） ，若 =0，则 tan= 14 （5 分）已知 f（x）=，x0，若 f1（x）=f（x） ，fn+1（x）=f（fn（x） ） ，nN+，则 f2014（x）的表达式为 选考题（请在选考题（请在 15-17 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题不等式选做题15 （5 分）设 a，b，m，nR，且 a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为 几何证明选做题几何证明选做题16如图，ABC 中，BC=6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F，若AC=2AE，则 EF= 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题17在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 75 分）分）18 （12 分）ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，求 cosB 的值19 （12 分）四面体 ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 AB、BD、DC、CA 于点 E、F、G、H第 4 页（共 22 页）（）求四面体 ABCD 的体积；（）证明：四边形 EFGH 是矩形20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，1） ，B（2，3） ，C（3，2） ，点 P（x，y）在ABC 三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，nR）（）若 m=n=，求|；（）用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值21 （12 分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）01000200030004000车辆数（辆）500130100150120（）若每辆车的投保金额均为 2800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（）在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000元的概率22 （13 分）已知椭圆+=1（ab0）经过点（0，） ，离心率为，左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） （）求椭圆的方程；（）若直线 l：y=x+m 与椭圆交于 A、B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于C、D 两点，且满足=，求直线 l 的方程第 5 页（共 22 页）23 （14 分）设函数 f（x）=lnx+，mR（）当 m=e（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值；（）讨论函数 g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意 ba0，1 恒成立，求 m 的取值范围第 6 页（共 22 页）2014 年陕西省高考数学试卷（文科）年陕西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分）分）1 （5 分）设集合 M=x|x0，xR，N=x|x21，xR，则 MN=（ ）A0，1 B （0，1）C （0，1 D0，1）【分析】先解出集合 N，再求两集合的交即可得出正确选项【解答】解：M=x|x0，xR，N=x|x21，xR=x|1x1，xR，MN=0，1） 故选：D【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键2 （5 分）函数 f（x）=cos（2x+）的最小正周期是（ ）ABC2D4【分析】由题意得 =2，再代入复合三角函数的周期公式求解【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数 f（x）=cos（2x+）的最小正周期是 ，故选：B【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题3 （5 分）已知复数 z=2i，则 z 的值为（ ）A5BC3D【分析】由 z 求出 ，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解【解答】解：由 z=2i，得 z =（2i） （2+i）=4i2=5故选：A第 7 页（共 22 页）【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题4 （5 分）根据如图所示的框图，对大于 2 的整数 N，输出的数列的通项公式是（ ）Aan=2nBan=2（n1） Can=2nDan=2n1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，数列为公比为 2 的等比数列，an=2n故选：C【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键5 （5 分）将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）A4B3C2D第 8 页（共 22 页）【分析】边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积【解答】解：边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2×1=2，故选：C【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力6 （5 分）从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）ABCD【分析】设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2个点，共有 10 条线段，4 条长度为 1，4 条长度为，两条长度为，即可得出结论【解答】解：设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，共有 10 条线段，4 条长度为 1，4 条长度为，两条长度为，所求概率为=故选：B【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键7 （5 分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y） ”的单调递增函数是（ ）Af（x）=x3Bf（x）=3xCf（x）=xDf（x）=（）x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，然后考虑函数的单调性，即可得到答案【解答】解：Af（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，故 A 错；第 9 页（共 22 页）Bf（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，且f（x）在 R 上是单调增函数，故 B 正确；Cf（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，故 C 错；Df（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足 f（x+y）=f（x）f（y） ，但 f（x）在 R 上是单调减函数，故 D 错故选：B【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题8 （5 分）原命题为“若an，nN+，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A真、真、真 B假、假、真 C真、真、假 D假、假、假【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假【解答】解：an=an+1an，nN+，an为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若an，nN+，则an不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，命题的逆命题，逆否命题都是真命题故选：A【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键9 （5 分）某公司 10 位员工的月工资（单位：元）为 x1，x2，x10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）A ，s2+1002B +100，s2+1002第 10 页（共 22 页）C ，s2D +100，s2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论【解答】解：由题意知 yi=xi+100，则 =（x1+x2+x10+100×10）=（x1+x2+x10）= +100，方差 s2=（x1+100（ +100）2+（x2+100（ +100）2+（x10+100（ +100）2=（x1 ）2+（x2 ）2+（x10 ）2=s2故选：D【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式10 （5 分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切） ，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）Ay=x3x2x By=x3+x23xCy=x3x Dy=x3+x22x【分析】由题设， “需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切） “可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线 y=x 相切，在（2，0）点处与 y=3x6 相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线A、，将 0，2 代入，解得此时切线的斜率分别是1，3，符合题意，故 A 正确；第 11 页（共 22 页）B、，将 0 代入，此时导数为3，不为1，故 B 错误；C、，将 2 代入，此时导数为1，与点（2，0）处切线斜率为 3 矛盾，故 C 错误；D、，将 0 代入，此时导数为2，与点（0，0）处切线斜率为1矛盾，故 D 错误故选：A【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分）11 （5 分）抛物线 y2=4x 的准线方程是 x=1 【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出 p，再根据开口方向，写出其准线方程【解答】解：2p=4，p=2，开口向右，准线方程是 x=1故答案为 x=1【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误12 （5 分）已知 4a=2，lgx=a，则 x= 【分析】化指数式为对数式求得 a，代入 lgx=a 后由对数的运算性质求得 x 的值【解答】解：由 4a=2，得，再由 lgx=a=，得 x=第 12 页（共 22 页）故答案为：【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题13 （5 分）设 0，向量 =（sin2，cos） ， =（1，cos） ，若 =0，则 tan= 【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sincoscos2=0，再利用同角三角函数的基本关系求得 tan【解答】解：=sin2cos2=2sincoscos2=0，0，2sincos=0，tan=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题14 （5 分）已知 f（x）=，x0，若 f1（x）=f（x） ，fn+1（x）=f（fn（x） ） ，nN+，则 f2014（x）的表达式为 【分析】由题意，可先求出 f1（x） ，f2（x） ，f3（x），归纳出 fn（x）的表达式，即可得出 f2014（x）的表达式【解答】解：由题意第 13 页（共 22 页）故 f2014（x）=故答案为：【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征选考题（请在选考题（请在 15-17 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题不等式选做题15 （5 分）设 a，b，m，nR，且 a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为 【分析】根据柯西不等式（a2+b2） （c2+d2）（ac+bd）2当且仅当 ad=bc 取等号，问题即可解决【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2（m2+n2） （a2+b2）a2+b2=5，ma+nb=5，（m2+n2）5的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题几何证明选做题几何证明选做题16如图，ABC 中，BC=6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F，若AC=2AE，则 EF= 3 【分析】证明AEFACB，可得，即可得出结论第 14 页（共 22 页）【解答】解：由题意，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F，AEF=C，EAF=CAB，AEFACB，BC=6，AC=2AE，EF=3故答案为：3【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题17在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：点 P（2，）化为=，y=2=1，P直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0点 P 到直线的距离 d=1故答案为：1【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 75 分）分）18 （12 分）ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c第 15 页（共 22 页）（）若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C） ；（）若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，求 cosB 的值【分析】 （）由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质得到 a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；（）由 a，b，c 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将 c=2a 代入表示出 b，利用余弦定理表示出 cosB，将三边长代入即可求出 cosB 的值【解答】解：（）a，b，c 成等差数列，a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，sinB=sin（A+C）=sin（A+C） ，则 sinA+sinC=2sin（A+C） ；（）a，b，c 成等比数列，b2=ac，将 c=2a 代入得：b2=2a2，即 b=a，由余弦定理得：cosB=【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19 （12 分）四面体 ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱 AD，BC 的平面分别交四面体的棱 AB、BD、DC、CA 于点 E、F、G、H（）求四面体 ABCD 的体积；（）证明：四边形 EFGH 是矩形【分析】 （）证明 AD平面 BDC，即可求四面体 ABCD 的体积；第 16 页（共 22 页）（）证明四边形 EFGH 是平行四边形，EFHG，即可证明四边形 EFGH 是矩形【解答】 （）解：由题意，BDDC，BDAD，ADDC，BD=DC=2，AD=1，AD平面 BDC，四面体 ABCD 的体积 V=；（）证明：BC平面 EFGH，平面 EFGH平面 BDC=FG，平面 EFGH平面ABC=EH，BCFG，BCEH，FGEH同理 EFAD，HGAD，EFHG，四边形 EFGH 是平行四边形，AD平面 BDC，ADBC，EFFG，四边形 EFGH 是矩形【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，1） ，B（2，3） ，C（3，2） ，点 P（x，y）在ABC 三边围成的区域（含边界）上，且=m+n（m，nR）（）若 m=n=，求|；（）用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值【分析】 （）由点的坐标求出向量和的坐标，结合 m=n=，再由=m第 17 页（共 22 页）+n求得的坐标，然后由模的公式求模；（）由=m+n得到，作差后得到 mn=yx，令 yx=t，然后利用线性规划知识求得 mn 的最大值【解答】解：（）A（1，1） ，B（2，3） ，C（3，2） ，又 m=n=，；（），两式相减得，mn=yx令 yx=t，由图可知，当直线 y=x+t 过点 B（2，3）时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为：1【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题21 （12 分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）01000200030004000第 18 页（共 22 页）车辆数（辆）500130100150120（）若每辆车的投保金额均为 2800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（）在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000元的概率【分析】 （）设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元， ”B 表示事件“赔付金额为4000 元”，以频率估计概率，求得 P（A） ，P（B） ，再根据投保额为 2800 元，赔付金额大于投保金额得情形是 3000 元和 4000 元，问题得以解决（）设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率【解答】解：（）设 A 表示事件“赔付金额为 3000 元， ”B 表示事件“赔付金额为 4000 元”，以频率估计概率得P（A）=，P（B）=，由于投保额为 2800 元，赔付金额大于投保金额得情形是 3000 元和 4000 元，所以其概率为 P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27（）设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.1×1000=100，而赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机的有 0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为，由频率估计概率得 P（C）=0.24【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题22 （13 分）已知椭圆+=1（ab0）经过点（0，） ，离心率为，左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） （）求椭圆的方程；（）若直线 l：y=x+m 与椭圆交于 A、B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于第 19 页（共 22 页）C、D 两点，且满足=，求直线 l 的方程【分析】 （）由题意可得，解出即可（）由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线 l 的距离 d 及 d1，可得 m 的取值范围利用弦长公式可得|CD|=2设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|=由=，即可解得 m【解答】解：（）由题意可得，解得，c=1，a=2椭圆的方程为（）由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1圆心到直线 l 的距离 d=，由 d1，可得 （*）|CD|=2=设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 第 20 页（共 22 页）联立，化为 x2mx+m23=0，可得 x1+x2=m，|AB|=由=，得，解得满足（*） 因此直线 l 的方程为【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题23 （14 分）设函数 f（x）=lnx+，mR（）当 m=e（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值；（）讨论函数 g（x）=f（x）零点的个数；（）若对任意 ba0，1 恒成立，求 m 的取值范围【分析】 （）m=e 时，f（x）=lnx+，利用 f（x）判定 f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（）由函数 g（x）=f（x），令 g（x）=0，求出 m；设 （x）=m，求出（x）的值域，讨论 m 的取值，对应 g（x）的零点情况；（）由 ba0，1 恒成立，等价于 f（b）bf（a）a 恒成立；即 h（x）=f（x）x 在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出 m 的取值范围第 21 页（共 22 页）【解答】解：（）当 m=e 时，f（x）=lnx+，f（x）=；当 x（0，e）时，f（x）0，f（x）在（0，e）上是减函数；当 x（e，+）时，f（x）0，f（x）在（e，+）上是增函数；x=e 时，f（x）取得极小值为 f（e）=lne+=2；（）函数 g（x）=f（x）=（x0） ，令 g（x）=0，得 m=x3+x（x0） ；设 （x）=x3+x（x0） ，（x）=x2+1=（x1） （x+1） ；当 x（0，1）时，（x）0，（x）在（0，1）上是增函数，当 x（1，+）时，（x）0，（x）在（1，+）上是减函数；x=1 是 （x）的极值点，且是极大值点，x=1 是 （x）的最大值点，（x）的最大值为 （1）=；又 （0）=0，结合 y=（x）的图象，如图；可知：当 m时，函数 g（x）无零点；当 m=时，函数 g（x）有且只有一个零点；当 0m时，函数 g（x）有两个零点；当 m0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；综上，当 m时，函数 g（x）无零点；当 m=或 m0 时，函数 g（x）有且只有一个零点；当 0m时，函数 g（x）有两个零点；（）对任意 ba0，1 恒成立，第 22 页（共 22 页）等价于 f（b）bf（a）a 恒成立；设 h（x）=f（x）x=lnx+x（x0） ，则 h（b）h（a） h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10 在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0） ，m；对于 m=，h（x）=0 仅在 x=时成立；m 的取值范围是，+） 【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题